2023-2024学年天津市西青区杨柳青高一下学期第一次月考数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年天津市西青区杨柳青高一下册第一次月考数学试题
一、单选题
1．下列命题正确的是（）
A ．若a ，b 都是单位向量，则a b
=
B ．若向量a b ∥ ，b c ∥
，则a c
∥ C ．与非零向量a
共线的单位向量是唯一的
D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ= ，则a 与b
共线【正确答案】D
【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误；
当0b =
时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误；非零向量a
共线的单位向量有a a
± ，故C 错误；
由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ= ，则a 与b
共线，故D 正确.
故选：D.
2．是()1,2a =-r
，()3,4b =- ，()3,2c = ，则
()
2a b c +⋅= （）
A ．12
B ．0
C ．-3
D ．-11
【正确答案】C
【分析】计算出2a b +
的坐标，然后根据向量数量积计算公式计算即可.【详解】由题可知：()256a b +=-
，
，所以
()
()253623a b c +⋅=-⨯+⨯=-
故选：C
3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =- 与12b e e λ=+
共线，则λ=（
）
A ．2
B ．2
-C ．12
-
D ．1
2
【正确答案】C
【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】因为122a e e =- 与12b e e λ=+ 共线，所以k a b =
，0k ≠，
所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+
，
因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ
=⎧⎨-=⎩，解得1
2λ=-，
故选：C ．
4．在ABC 中，已知D 为AC 上一点，若2AD DC =uuu r uuu r ，则BD =
（）
A ．1233
BC BA
--
B ．1233
BC BA
+
C ．2133
BC BA
--
D ．2133
BC BA
+
【正确答案】D
【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出BD
关于BA 、BC 的表达式.
【详解】如下图所示，()
22123333
BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+
.
故选：D.
5．在ABC 中，2,60a c A ===︒，则C =（）
A ．30°
B ．45°
C ．30°或150°
D ．60°
【正确答案】A
【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用.
【详解】由正弦定理sin sin a c A C
=，可得2sin 12sin 2c A C a ´
×==，∵a c >，则A C >，即060C ︒≤≤︒，∴30C =︒.故选：A.
6．在ABC 中，若sin cos cos A B C
a b c
==，则ABC 是（）
A ．正三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．有一内角为60°的直角三
角形
【正确答案】C
根据正弦定理得到sin cos B B =，sin cos C C =，故4
B C π
==，得到答案.
【详解】根据正弦定理：
sin sin sin A B C
a b c
==，故sin cos B B =，sin cos C C =，即tan tan 1B C ==，(),0,B C π∈，故4
B C π
==，故2
A π
=
.
故选.C
本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=
成立，则m =A ．2
B ．3
C ．4
D ．
32
【正确答案】B
【分析】根据0MA MB MC ++=
得到M 为重心，再根据2AB AC AD += （D 为BC 的中点）得到
m 的值．
【详解】由题根据0MA MB MC ++=
，则M 为ABC ∆的重心．设点D 为底边BC 的中点，则()()
22113323
AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+ ，所以3AB AC AM += ，故3m =，选B.
一般地，在ABC ∆中，（1）如果0MA MB MC ++=
，则M 为ABC ∆的重心；
（2）如果···MA MB MB MC MC MA ==
，则M 为ABC ∆的垂心；
（3）如果0aOA bOB cOC ++=
（,,a b c 为,,A B C 的对边），则M 为ABC ∆的内心.
8．四边形ABCD 中，()1,1AB DC == ，11BA BC BA BC += ，则四边形ABCD 面积为（）
A
B C ．2D ．
3
【正确答案】A
【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形ABCD 为菱形，
BA BC BD =
π
3
ABC ∠=，结合菱形的性质求四边形的面积.
【详解】若()1,1AB DC ==
，则四边形ABCD 为平行四边形，且
AB DC = 可知11,BA BC BA BC
表示分别与,BA BC
同向的单位向量，
若11BA BC BA BC += ，则对角线BD 为ABC ∠的角平分线，
故四边形ABCD
为菱形，则BA BC
==
，
()
22
BA BC BD BD
BD
=+==
，则BD=
∵()2
222
2
BD BA BC BA BA BC BC
=+=+⋅+
，即2226
BA BC
+⋅+=
，
解得1
BA BC
⋅=
，故
1
cos
2
BA BC
ABC
BA BC
⋅
∠==
⋅
，
且()
cos0,π
ABC
∠∈，则
π
3
ABC
∠=，
即ABC
为等边三角形，则AC AB
==
，且AC BD
⊥
，
∴四边形ABCD
面积
11
22
S AC BD
=⋅==
故选：A.
9
．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东3km/h．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（）
A
．B．6km/h C．7km/h D
．
【正确答案】C
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM，设小货船航行速度为v，水流的速度为1v，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为2v
，作出示意图如下：
PQ=，250m
QM=，在Rt PQM
△
中，有tan
PQ
PMQ
QM
∠==
所以3
PMQ π
∠=
，6MPQ π
∠=
，122,263
v v πππ=+= ，所以21v v v =- ，
所以7v =
，所以小货船航行速度的大小为7km/h ，故选：C.二、填空题
10．已知点A (2，1)，B (－2，3)，O 为坐标原点，且OA BC →→
=，则点C 的坐标为________.【正确答案】(0,4)
【分析】由向量的坐标表示计算即可.
【详解】设C (x ，y )，则(2,3),(2,1)BC x y OA →
→
=+-=.由OA BC →
→
=，则x ＝0，y ＝4.则()0,4C .
故(0,4)
11．已知向量(0,1),(a b c k ==-=
，若(2)a b c -⊥ ，则k 等于________．
【正确答案】3
-【分析】首先求出2a b -
的坐标，再根据向量垂直得到(2)0a b c -⋅= ，即可求出参数的值；
【详解】解：因为(0,1),(a b c k ==-=
所以)())
220,1a b -=
--=
，因为(2)a b c
-⊥
所以(2)0a b c -⋅=+=
，解得3
k =-故3
-12．已知向量AB
与AC 的夹角为120︒，且32AB AC == ，
，若AP AB AC λ=+uu u r uu u r uuu r ，且AP BC ⊥uu u r uu u r
则实
数λ的值为__________．【正确答案】712
【详解】∵
⊥，∴
·＝(λ
＋)·(
－
)＝－λ
2＋
2＋
(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4
＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝
.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；
三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.三、双空题
13．已知点()()()()1,2,2,5,3,2,4,3A B C D ，则向量AB
在CD 上的投影向量坐标为________，投影
向量的模为__________.【正确答案】
()
2,
2【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解.
【详解】由题意可得：()()1,3,1,1AB CD ==uu u r uu u r
，则11314,AB CD CD ⋅=⨯+⨯==uu u r uu u r uu u r 空1：向量AB
在CD 上的投影向量
(
)
()24cos ,22,22CD AB CD CD AB CD AB AB CD
AB CD CD CD CD AB CD CD CD ⎛⎫
⎛⎫⋅⋅ ⎪
=⨯==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
uu u r uu u r uu u r uu u r uu u
r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r
uu u r uu u r ，故向量AB
在CD 上的投影向量坐标为()2,2；
空2
=故()2,2
；四、填空题
14．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3
A π
=
，2sin b C B =，则ABC
的面积为___________.
【分析】根据题意及正弦定理，求得bc =.
【详解】因为2sin b C B =
，由正弦定理可得2b c =
，所以bc =所以ABC
的面积为11sin 22S bc A ==⨯=.故答案为
15．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有________.
①22
OA OD ⋅= ②2OB OH +=- ③AH HO BC BO
⋅=⋅ ④AH 在AB 向量上的投影向量为22
AB
【正确答案】①②④
【分析】首先明确正八边形的特征，然后根据数量积的定义进行计算，可判断选项①③；根据向量的加法运算可判断选项②；根据向量投影向量的概念可判断④.【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的圆心角皆为π
4
，其中||1OA =，对于①，3π2
11cos
42
OA OD ⋅=⨯⨯=-
，故①正确；对于②，π,222
BOH OB OH ∠=+==-
，故②正确．
对于③，|||AH BC = ，||||HO BO =
，,AH HO uuu r uuu r 的夹角为πAHO -∠,,BC BO uu u r uu u r 的夹角为OBC ∠，
OBC AHO ∠=∠,故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r
，故③错误．
对于④，AH 与AB
的的夹角为3π4
BAH ∠=，AH AB = .AH 在AB 向量上的投影向量为3π2cos 42
AB AH AB ⨯=
，故④正确．故①②④．五、解答题
16．已知向量(2,1),(1,)a b x =-=
．（Ⅰ）若()a a b ⊥+
，求||b 的值；
（Ⅱ）若2(4,7)a b +=-
，求向量a 与b 夹角的大小．
【正确答案】（Ⅰ
）（Ⅱ）
4
π
．【分析】（Ⅰ）首先求出a b +
的坐标，再根据()a a b ⊥+ ，可得()0a a b += ，即可求出x ，再根据
向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出b 的坐标，再根据cos ,||||a b
a b a b ⋅<>=
计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）因为(2,1),(1,)a b x =-=
，所以(3,1)a b x +=-+ ，
由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b +=
，
即610x +-=，解得7x =，即(1,7)b =
，
所以||b ==
（Ⅱ）依题意2(4,21)(4,7)a b x +=-=-
，可得3x =-，即(1,3)b =-
，
所以cos ,2||||a b a b a b ⋅<>===
，因为,[0,]a b π<>∈
，
所以a 与b 的夹角大小是4
π．
17．已知向量a 与向量b 的夹角为3
π
，且1a = ，()
32a a b ⊥- .
（1）求b ；
（2
）若
2a mb -= ，求m .【正确答案】（1）3b =r ；（2）1
3
m =-或1m =.
【分析】（1）本小题先求出3
2
a b ⋅= ，再求3b =r 即可；
（2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .
【详解】解：（1）∵()
23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=
，
∴32a b ⋅= ，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅== ，
∴3b =r .
（2）∵2a mb -=
，∴()
2
22
227244469a mb
a ma
b m b m m =-=-⋅+=-+
，
整理得：23210m m --=，解得：1
3
m =-或1m =.
本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.
18．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边长分别为a b c 、、，且满足2cos sin sin b A B
c C
=.(1)求A ；
(2)若4a b ==，求
ABC S .【正确答案】(1)π3
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出A ；（2）由正弦定理得出1
sin 2
B =，再由面积公式求解.【详解】（1）因为
2cos sin sin b A B
c C
=，由正弦定理可得，
2sin cos sin sin sin B A B C C =因为sin sin 0B C ≠，所以1
cos 2A =
因为A 为三角形的内角，所以π3
A =
（2）因为a =，4b =，π
3A =，
4
sin B =
，所以1sin 2
B =
因为A 为三角形的内角，所以ππ
,66
B C ==
111
sin 4
222
ABC S ab C ==⨯⨯=△19．在①2sin tan a B b A =，②sin sin 3a B b A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，③sin
sin 2B C b a B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角A ；
(2)若角A 的平分线AD 长为1，且4bc =，求ABC 外接圆的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)3
π
(2)12π
【分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：2sin sin cos sin sin A B A A B =，再求解即可；若选②：
根据题意边角转化得：1sin sin cos sin 22
A B A B =，再求解即可；若选③：根据题意得：
sin sin 2A b a B π-=，即sin cos sin sin 2A B A B =，即2si sin c n os sin 2cos 22A A A B B =，再求解即可；
（2）根据题意得：ABD ACD ABC S S S +=△△△，即11444
b c +=，再利用余弦定理求出a ，再利用正
弦定理求出外接圆半径即可求解.
【详解】（1）若选①：在ABC 中，因2sin tan a B b A =，所以sin 2sin cos A
a B b
A
=，即2sin cos sin a B A b A =，由正弦定理可得，2sin sin cos sin sin A B A A B =，又因为A ，(0,)B π∈，所以sin 0A >，sin 0B >，所以1cos 2
A =
，则3A π=，
若选②：在ABC 中，因sin sin 3a B b A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
所以1sin sin 2a B b A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
由正弦定理可得，1sin sin sin sin sin 2A B A B A B =
+，
所以1sin sin sin 2A B A B =，
又因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以tan A =3A π
=，
若选③：在ABC 中，因为sin sin 2B C
b a B +=，所以sin sin 2
A b a
B π-=，所以cos
sin 2A b a B =，由正弦定理可得，sin cos sin sin 2
A
B A B =，又因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，所以cos sin 2
A
A =，又sin 2sin cos 22A A A =，
即cos
2sin cos 222A A A =，又(0,)A π∈，所以(0,22A π
∈，所以cos 02A >，
所以1sin
22A =，又因为(0,)A π∈，所以26
A π=，则3A π
=，
（2）因为角A 的平分线为AD ，又ABD ACD ABC S S S +=△△△，所以
111sin 30sin 30sin 60222
b AD
c AD b c ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ，
即11444
b c +=
，即()b c +==又22222cos ()336a b c bc A b c bc =+-=+-=，
所以6a =
，所以2sin 2
a R A ==
R =故ABC 外接圆的面积212S R π=π=，
20
．已知向量,14x m ⎫=⎪⎭ ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎝
⎭ ，()f x m n =⋅ ．(1)求函数()f x 的单增区间；
(2)若()1f x =，求πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值；(3)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()y f A =的范围．
【正确答案】(1)4π2π4π,4π()33k k k ⎡⎤-
+∈⎢⎣⎦
Z ;(2)12;(3)31,2⎛⎫
⎪⎝⎭．【分析】（1）利用平面向量的数量积得到()f x 的解析式，求解单调区间即可；
（2）由（1）的解析式，利用()1f x =，结合倍角公式求πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到()y f A =的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．
【详解】（1
）21cos π12cos sin sin 4422262x x x x x m n +⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭
，∴()π1sin 262
x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，k ∈Z 得：4π2π4π4π33
k x k -≤≤+，k ∈Z ．()f x 的递增区间是()4π2π4π4π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ．
（2）()2cos cos 444x x x f x m n =⋅= 11π1cos sin 2222262x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭
．∵()1f x =，∴π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2ππ1cos 12sin 3262
x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）∵()2cos cos -=a c B b C ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=．
∴2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=．∴()2sin cos sin A B B C =+．
∵πA B C ++=．∴()sin sin 0B C A +=≠，∴1cos 2B =
．∵0πB <<．∴π3B =．∴2π03A <<．∴πππ6262A <+<，π1sin 1262A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．又∵()π1sin 262x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()π1sin 262
A f A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故函数()f A 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．21．设坐标平面上全部向量集合为A ，已知由A 到A 的对应关系f 由()()2f x x x a a =-⋅ 确定，其中(),cos ,sin ,R x A a θθθ∈=∈
.(1)当θ取值范围变化时，()f f x ⎡⎤⎣⎦
是否变化？试证明你的结论；
(2)若m = 2n = ，且()2f f m n ⎡⎤+⎣⎦ 与()2f f m n ⎡⎤-⎣⎦ 垂直，求向量m ，n 的夹角.【正确答案】(1)()()
f f x 的值不会随着θ取值范围的变化而变化，证明见解析(2)180︒
【分析】（1）根据数量积的运算律求出()()
f f x ，即可得解；（2）由（1）知()()
22f f m n m n +=+ ，()()22f f m n m n -=- ，即可得到()()220m n m n +⋅-= ，根据数量积的运算律得到m n ⋅ ，再根据夹角公式计算可得.
【详解】（1）解：∵()cos ,sin a θθ= ，∴21a = ，
∵()()
2f x x x a a =-⋅ ，∴()()()(
)()(){}
2222f f x f x x a a x x a a x x a a a a ⎡⎤=-⋅=-⋅--⋅⋅⎣⎦ ()(){
}222x x a a x a x a a a a =-⋅-⋅-⋅⋅ ()(){}222x x a a x a x a a
=-⋅-⋅-⋅
()()
22x x a a x a a x =-⋅+⋅= ，∴()()
f f x 的值不会随着θ取值范围的变化而变化.（2）解：由（1）知()()22f f m n m n +=+ ，()()22f f m n m n -=- ，又()2f f m n ⎡⎤+⎣⎦
与()()2f f m n - 垂直，∴()()
220m n m n +⋅-= ，即222320m m n n +⋅-= ，即222320m m n n +⋅-=
，又m =
，2
n = ，即15302m n ⋅+= ，解得52m n ⋅=- ，设m 、n 的夹角为α，则52cos 1m n m n
α-⋅===- ，又0180α︒︒≤≤，
∴180α︒=，即向量m 、n 的夹角为180︒.。