中考数学复习指导：“边边角”能够判定两个三角形全等吗？

“边边角”能够判定两个三角形全等吗？
通过实际作图，我们知道判定两个三角形全等主要有“SSS'”“SAS”“AAS”“ASA”“HL”几种方法，但是，对于两边及其中一边的对角分别对应相等（不妨简称为“边边角”）的两个三角形，它们是否会全等呢？下面我们来探究这个问题．
一、“边边角”中的“角”是直角
如图1所示，在△ABC和△A'B'C'中，
∠B＝∠B'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'．
根据“HL”可以判定这两个直角三角形全等，即
△ABC≌△A'B'C'．
二、“边边角”中的“角”是钝角
如图2所示，在△ABC和△A'B'C'中，
∠B＝∠B'>90°，
AB＝A'B'，AC＝A'C'．
过点A作AH⊥BC于点H，过点A'作A'H'⊥B'C'于点H'．在△ABH和△A'B'H'中，
∠ABH＝∠A'B'H'，
∠H＝∠H'＝90°，AB＝A'B'，
∴△ABH≌△A'B'H'，∴AH＝A'H'．
∴△AHC≌△A'H'C'，∴∠C＝∠C'，
∴△ABC≌△A'B'C'．
三、“边边角”中的“角”是锐角
在△ABC和△A'B'C'中，
∠B＝∠B'<90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'．
1．如图3所示，过点A作AH⊥BC于点H，
过点A'作A'H'⊥B'C'于H'．
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2 如果AC ＝AH ，A'C'＝A'H'，很显然H 与C 重合，H'与C'重合，
∴△ABC ≌△A'B'C'．
2．如图4所示，已知△ABC ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ． 如果AH<AC<AB ，作∠B'，在∠B'的一边上取A'B'＝AB ，以A'为圆心，以AC 的长为半径画弧与∠B'的另一边相交．
显然有两个交点C 1'和C 2'，由此我们很容易知道△ABH ≌△A'B'H'．
∴AH ＝A'H'．
∴△AHC ≌△A'H'C'，∠C ＝∠C'，
∴△ABC ≌△A'B'C'1，
而△ABC 与△A'B'C'，不全等．
3．如图5所示，已知△ABC ，如果AC ＝AB ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠B'＝∠B ．
在∠B'的一边上取A'B'＝AB ，以A'为圆心，以AC 的长为半径画弧与∠B'的另一边相交．显然它们只有一个交点C'，由此我们得到
∠B ＝∠B'＝∠C ＝∠C'．
又∴AB ＝A'B'＝AC ＝A'C'，
∴△ABC ≌△A'B'C'．
4．如图6所示，已知△ABC，如果AC>AB，过点A作AH⊥BC于点H，作∠B'＝∠B．
在∠B'的一边上取A'B'＝AB，以A'为圆心，以AC的长为半径画弧与∠B'的另一边相交．显然它们只有一个交点C'，由此我们很容易知道△ABH≌△A'B'H'．∴AH＝A'H'．
∴△AHC≌△A'H'C'，
∴∠C＝∠C'．
∴△ABC≌△A'B'C'．
通过以上的分析我们知道，对于两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形，即“边边角”型的两个三角形是否全等问题，我们可以根据“边边角”中的“角”大小分两种情况进行判定：
(1)当“边边角”中的“角”为直角或钝角时，两个三角形一定全等；
(2)当“边边角”中的“角”为锐角时，我们不妨把这两个三角形两组对应相等的边称为此锐角的对边和邻边，把其余的一条边称为第三边．这两个三角形是否全等须根据它们的第三边的高与它们对应相等的两组边的大小关系来决定，只有当此锐角所对的边小于它的邻边且大于第三边的高，如图4所示，这时的两个三角形才不一定全等，其余情况下它们都一定会全等．
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