【冀教版】2019年春九年级数学下册： 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题

第2课时 实际问题中二次函数的最值问题
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题．
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点一：最大面积问题
【类型一】利用二次函数求最大面积
小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：
米)的变化而变化．
(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x
2，从而表示出
面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2
·x ＝－x 2
＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.
(2)S ＝－x 2
＋30x ＝－(x －15)2
＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．
方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系． 【类型二】最大面积方案设计
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原
点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
解：(1)M (12，0)，P (6，6)．
(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2
＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2
＋6，即y ＝－16
x 2＋2x .
(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2
＋2m .根据抛物线的轴对称，可
得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－
1
3
m 2＋2m ＋12＝－13
(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．
探究点二：最大利润问题
【类型一】利用解析式确定获利最大的条件
为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关
后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．
解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．
解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2
＋128x
＋640＝－8(x －8)2
＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)
【类型二】利用图象解析式确定最大利润
某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y
1(元)
与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函
数关系式y 2＝mx 2
－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．
(1)求y 2的解析式；
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意可得，函数y 2
的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩
⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，
49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.
∴y
2
的解析式为y 2＝18x 2－x ＋63
8
(1≤x ≤12)．
(2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧k ＝－1
4，b ＝12.
∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x
2
－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2
＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售
这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是21
4
元/千克．
三、板书设计
实际问题中二次函数的最值问题：（1）几何图形最大面积问题；（2）商品利润最大问题.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况，培养学生将实际问题转化为函数问题并利用函数的性质进行决策的能力.。