【人教版】九年级数学下册28锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时学案

第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
锐角三角函数(第1课时)
学习目标
1.理解认识正弦概念;
2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值.
学习过程
一、自主探究得到概念
1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?
这个问题可以归结为:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB的长.
思考:
(1)如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?
答:
(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于.
(3)直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是.
(4)在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值?
答:
(5)推理与证明:观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?
解:
2.结论:在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比是一个,也即是对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边的是唯一确定的.
3.认识正弦
如图,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c,∠C=90°,我们把锐角A的的比叫做∠A的正弦,记作sin A.
sin A=∠A的对边
斜边=A
A
.
4.追问:(1)∠B的正弦怎么表示?
答:
(2)在Rt△ABC中,若a=1,c=3,则sin A=sin B=.
二、合作探究完成例题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
【思路点拨】根据勾股定理,先求出AC的长,再运用正弦的定义计算即可.
解:
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,sin A=2
3
,求AB的长.
【思路点拨】根据正弦的定义可以得到BC与AB的比值,因而可以设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理即可求得x的值,进而得到AB的长度.
解:
三、课堂小结系统知识
1.什么是正弦?
答:
2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:
(1)正弦是一个,没有单位.
(2)正弦值只与的大小有关,与三角形的大小无关.
(3)sin A是一个符号,不能写成sin ·A.
(4)当用字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.
(5)sin2A表示,不能写成sin A2.
四、当堂训练提升能力
1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()
A.不变
B.缩小为原来的三分之一
C.扩大为原来的3倍
D.不能确定
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sin A的值是()
A.4
3
B.3
4
C.3
5
D.4
5
3.如图所示,已知P点的坐标是(a,b),则sin α等于()
A.A
A
B.A
A
C.
D.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sin B的值为.
第4题图第5题图
且AB=15,则BC=.
5.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,sin A=3
5
6.如图,在☉O中,过直径AB延长线上的点C作☉O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,求sin C的值.
解:
评价作业(满分100分)
1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值为()
A.1
2B.√2
2
C.√3
2
D.2
2.(8分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sin α的值是()
A.3
4
B.4
3
C.3
5
D.4
5
3.(8分)在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=1
3
,则BC等于()
A.45
B.5
C.1
5D.1
45
4.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=√5,BC=2,则sin ∠ACD的值为()
A.√5
3
B.2√5
5
C.√5
2
D.2
3
5.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sin A=.
6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=2
3
,则AB=.
7.(12分)如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠
BAC=,sin∠ADC=,sin∠ABC=.
8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.
.
9.(10分)如图所示,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A=3
5
(1)求BE的长;
(2)求菱形ABCD的面积.
10.(20分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.
参考答案
学习过程
一、1.自主探究得到概念
思考:
(1)答:100 m2a m.
.
(2)1
2
(3)√2
2
.
(4)答:是一个固定值.
(5)解:∵Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中,∠A是它们的公共角, ∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3,
∴A1A1
AA1=A2A2
AA2
=A3A3
AA3
.
2.固定值比值.
3.对边与斜边
4.追问:(1)答:sin B=∠A的对边
斜边=A
A
.
(2)1
32√2 3
.
二、合作探究完成例题
1.解:如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=√AA2-AA2=√132-52=1
2.
因此sin A=AA
AA =5
13
,sin B=AA
AA
=12
13
.
2.解:∵在直角△ABC中,sin A=AA
AA =2
3
,
∴设BC=2x,则AB=3x,
根据勾股定理可以得到:(3x)2-(2x)2=25,
即5x2=25,
解得:x=√5,
则AB=3x=3√5.
三、课堂小结系统知识
1.答:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作si
n A,即sin A=∠A的对边
斜边=A
A
.
2.(1)比值(2)角(3)整体(4)三个(5)(sin A)2
四、当堂训练提升能力
1.A
2.C
3.D
4.√3
2
5.9
6.解:连接OD,
∵CD是☉O的切线,∴∠ODC=90°,
∵AC=7,AB=4,∴半径OA=2,
则OC=AC-AO=7-2=5,
∴sin C=AA
AA =2
5
.
评价作业
1.A
2.C
3.B
4.A
5.
√39
8
6.6
7.35
4
5
4
5 8.解:由勾股定理可得AB=√12+22=√5(cm),所以sin A=AA
AA =√
5=
2√55
,sin B=AA
AA =
√5
=
√55
. 9.解:(1)∵菱形ABCD 的周长为40 cm, ∴AD=AB=10 cm . 又∵DE ⊥AB ,sin A=3
5,
∴AA AA =35,即
AA 10
=3
5
,
解得DE=6,
在直角△ADE 中,由勾股定理得到:AE=√AA 2-AA 2=√102-62=8, 则BE=AB -AE=10-8=2,即BE=2 cm .
(2)由(1)知DE=6,则菱形ABCD 的面积=AB ·DE=10×6=60(cm 2
).
10.解:如图所示,作DE ⊥AB 于E.设BC=AC=2x ,∵BD 为AC 边上的中线,∴CD=AD=1
2AC=x.在Rt △BCD 中,根据勾股定理,得BD=√5x.∵∠C=90°,AC=BC ,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE ⊥
AB ,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=√2
2x ,在
Rt △BDE
中,sin ∠ABD=AA
AA
=
√22
A √5A
=
√10
10
.。