人教A版选修4-5 2.3反证法与放缩法 作业 (1)

课后训练
1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．
A ．P ＞2
B ．P ＜2
C ．P ＝2
D ．不确定
2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y
＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤B
C ．A ＞B
D ．A ＜B
3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．
4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．
5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．
6．1
A L ＝n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：|
|<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．
已知()1
x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；
(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.
参考答案
1. 答案：B
解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.
2. 答案：D 解析：<1111x y x y A B x y x y x y
＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1
lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝， ∴lg 9lg 11＜1．
4. 答案：假设|f (x 1)－f (x 2)|≥12
5. 答案：充要
解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．
6. 答案：A ≥
解析：
A L
n ≥L 44共项
. 7. 证明：假设||11a b ab
≥＋＋，则|a ＋b |≥|1＋ab |， ∴a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2， ∴a 2＋b 2－a 2b 2－1≥0，
∴a 2－1－b 2(a 2－1)≥0，
∴(a 2－1)(1－b 2)≥0，
∴221010a b ⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010a b ⎧≤⎨≤⎩，－－，
∴2211a b ⎧≥⎨≤⎩，，或2211a b ⎧≤⎨≥⎩
，与已知矛盾．∴||<11a b ab ＋＋． 8. 证明：由
1111<12312222
k k ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L －＝(k 是大于2的自然数)， 得11111112123123n
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ＋＋＋＋＋ 2311111<1112222n L －＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212n n －－＝－－. ∴原不等式成立．
9. (1)解：1()111
x f x x x ＝＝－＋＋， 所以f (x )在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数． (2)证明：首先证明对于任意的x ＞y ＞0，有f (x ＋y )＜f (x )＋f (y )．f (x )＋f (y )＝
11x y x y ＋＋＋ >11
xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋ ＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ， 由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )， 所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．
因为c ≥＝4>0a
＝＝，
所以44a c a a ≥≥＋＋， 当且仅当a ＝2时，等号成立． 所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋， 即f (a )＋f (c )＞
45.。