数学_2012年河南省郑州市高三考前检测数学试卷2(文科)(含答案)

2012年河南省郑州市高三考前检测数学试卷2（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z 1=1+i ，z 2=1i ，则复数z =z 1
z 2在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
2. 设全集U ={x ∈N ∗|x <6}，集合A ={1, 3}，B ={3, 5}，则 ∁U (A ∪B)=( )
A {1, 4}
B {1, 5}
C {2, 4}
D {2, 5}
3. 设α、β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
4. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/ℎ的汽车数量为（ ）
A 65辆
B 76辆
C 88辆
D 95辆
5. 设函数f(x)={2x ，x <0
0,x =0g(x),x >0
且f(x)为奇函数，则g(3)=( )
A 8
B 18
C −8
D −18
6. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α则b // α
②若a // α，a ⊥β，则α⊥β
③若a ⊥β，α⊥β则a // α
④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4 7. 已知函数f(x)=√32sinπx +12
cosπx ，x ∈R ，如图，函数f(x)在[−1, 1]上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M ，N ，图象的最高点为P ，则PM →与PN →的夹
角的余弦值是（ ）
A 15
B 25
C 35
D 4
5
8. 若点P 在直线l 1:x +y +3=0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x −5)2+y 2=16相切于点M ，则|PM|的最小值为（ ）
A √2
B 2
C 2√2
D 4
9. 如图所示的程序框图运行的结果是（ ）
A 20112012
B 20122013
C 12012
D 12013
10. 已知满足{2x +y −2≥0
x −2y +4≥03x −y −3≤0
的实数x 、y 所表示的平面区域为M 、若函数y =k(x +1)+1
的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是（ ）
A [3, 5]
B [−1, 1]
C [−1, 3]
D [−12，1]
11. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB // CD 且AB =2AD ，设∠DAB =θ，θ∈(0, π2)，若以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（ ）
A 当θ增大时，e 1增大，e 1⋅e 2为定值
B 当θ增大时，e 1减小，e 1⋅e 2为定值
C 当θ增大时，e 1增大，e 1⋅e 2增大
D 当θ增大时，e 1减小，e 1⋅e 2减小
12. 已知函数f(x)=1
5x 5+x 3+4x(x ∈R)，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f(a 1)+f(a 3)+f(a 5)的值（ ）
A 恒为正数
B 恒为负数
C 恒为O
D 可正可负
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置．
13. 已知向量a →=(3, 1)，b →=(1, m)，若2a →−b →与a →+3b →共线，则m =________．
14. 设a >0，b >0，若√3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b 的最小值是________．
15. 已知球面上有三点A 、B 、C ，此三点构成一个边长为l 的等边三角形，球心到平面ABC 的距离等于球半径13，则球半径是________．
16. 已知一组抛物线y =12ax 2+bx +1，其中a 为2、4中任取的一个数，b 为1、3、5中任
取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是________．
三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin A
2=√5
5
，且bc=5．
（1）求cos A
2
的值和△ABC的面积；
（2）若b2+c2=26，求a的值．
18. 调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．
（1）求x的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（3）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．
19. 如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．
(1)求证：MN // 平面CDEF；
(2)求多面体A−CDEF的体积．
20. 如图是A−B−C−D−E−F是一个滑滑板的轨道截面图，其中AB，DE，EF是线段，B−C−D是一抛物线弧；点C是抛物线的顶点，直线DE与抛物线在D处相切，直线L是地平线．已知点B离地面L的高度是9米，离抛物线的对称轴距离是6米，直线DE与L的夹角是45．试建立直角坐标系：
（1）求抛物线方程，并确定D点的位置；
（2）现将抛物线弧B−C−D改造成圆弧，要求圆弧经过点B，D，且与直线DE在D处相切．试判断圆弧与地平线L的位置关系，并求该圆弧长．（可参考数据√3=1.73，√2= 1.41，π=3.14，精确到0.1米）
21. 设函数f(x)=clnx+1
2
x2+bx(b,c∈R,c≠0)，且x=1为f(x)的极值点．
（1）若函数f(x)在x=2的切线平行于3x−4y+4=0，求函数f(x)的解析式；
（2）若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围．
22. 如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．
23. 已知直线l的参数方程为{x=1
2
t
y=√2
2+√3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，
Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=
2cos(θ−π
4
)
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
24. 已知函数f(x)=|x−a|．
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
2012年河南省郑州市高三考前检测数学试卷2（文科）答案
1. B
2. C
3. A
4. B
5. D
6. C
7. C
8. D
9. B
10. D
11. B
12. A
13. 1
3
14. 4
15. √6
4
16. 2
15
17. （本小题共13分）
解：（1）因为sin A
2=√5
5
，且0<A<π，
所以0<A
2<π
2
，
∴ cos A
2=2√5
5
，
∴ sinA=2sin A
2cos A
2
=4
5
，又bc=5，
所以S△ABC=1
2
bcsinA=2；
（2）因为sin A
2=√5
5
，所以cosA=1−2sin2A
2
=3
5
，
∵ bc=5，b2+c2=26，
∴ 根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=26−2×5×3
5
=20，∴ a=2√5．
18. 解：（1）由题意可知，x
1000
=0.15，
∴ x=150（人）；
（2）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）．
设应在肥胖学生中抽取m人，则m
400=50
1000
，
∴ m=20（人）
即应在肥胖学生中抽20名．
（3）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，
满足条件的(y, z)有(193, 207)，(194, 206)，…，(207, 193)，共有15组．
设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，
即y≤z，满足条件的(y, z)有(193, 207)，(194, 206)，…，(200, 200)，共有8组，
∴ P(A)=8
15
．
即肥胖学生中女生少于男生的概率为8
15
．
19. 解：(1)证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED−BFC 中，底面DAE是等腰
直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．
连接EB，则M是EB的中点，
在△EBC 中，MN // EC ，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ，
∴ MN // 平面CDEF ．
(2)因为DA ⊥平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF ，∴ EF ⊥AD ，
又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ，
∴ 四边形 CDEF 是矩形，
且侧面CDEF ⊥平面DAE
取DE 的中点H ，∵ DA ⊥AE ，DA =AE =2，∴ AH =√2，
且AH ⊥平面CDEF ．
所以多面体A −CDEF 的体积V =13S CDEF ⋅AH =13DE ⋅EF ⋅AH =83． 20.
解：（1）以C 为原点，L 所在的直线为X 轴，如图所示建立直
角坐标系，则B(−6, 9)． 设抛物线的方程为y =ax 2，把点B(−6, 9)代入y =ax 2得a =14， 故抛物线方程为y =1
4
x 2． 设D(x 0，14x 02)，根据直线DE 与L 的夹角是45．得直线L 的斜率为1，由y ′=12x ， ∴ 12x 0=1，∴ x 0=2，
故D 点的坐标是(2, 1)．
（2）设所求圆的圆心为H ．过D 与L 垂直的直线方程是l 1:y =−x +3，BD 的中点坐标是(−2, 5)，k BD =−1，故BD 中垂线方程是y =x +7，
由 {y =x +7y =−x +3
得x =−2，y =5．∴ H(−2, 5)．∵ B(−6, 9)∈l 1，∴ BD 是直径． ∵ BD =8√2，半径r =4√2．∴ BD
̂=4√2π≈17.7(m)． ∵ 圆心H 到L 的距离为d =5，d =5<4√2=r ，故圆弧与地平线L 相交．
21. 解：（1）求导函数，可得f′(x)=x 2+bx+c
x
∵ x =1是函数f(x)的极值点，函数f(x)在x =2的切线平行于3x −4y +4=0， ∴ f′(1)=0，f′(2)=3
4
∴ {1+b +c =04+2b+c 2
=34 ∴ b =−32，c =12
∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=12lnx +12x 2−32x ；
（2）f′(x)=x 2+bx+c
x
=x2+(−c−1)x+c
x
=(x−1)(x−c)
x
(x>0)
①若c<0，则f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，f(x)=0恰有两解，则f(1)<0，即1
2
+b<0
∴ −1
2
<c<0
②若0<c<1，则f
极大(x)=f(c)=clnc+1
2
c2+bc，f
极小
(x)=f(1)=1
2
+b
∵ b=−1−c，∴ f
极大(x)=clnc−c−c2
2
<0，f
极小
(x)=−1
2
−c<0
∴ f(x)=0不可能有两解
③若c≥1，则f
极小(x)=clnc−c−c2
2
<0，f
极大
(x)=−1
2
−c<0，∴ f(x)=0只有一解
综上可知，实数c的取值范围为−1
2
<c<0．
22. 证明：（1）∵ AB=AC，AF=AE ∴ CD=BE
又∵ CF=CD，BD=BE
∴ CF=BD
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AD是∠CAB的角分线
∴ 圆心O在直线AD上．
(II)连接DF，由(I)知，DH是⊙O的直径，
∴ ∠HFD=90∘，∴ ∠FDH+∠FHD=90∘
又∵ ∠G+∠FHD=90∘
∴ ∠FDH=∠G
∵ ⊙O与AC相切于点F
∴ ∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴ ∠GFC=∠G
∴ CG=CF=CD
∴ 点C是线段GD的中点．
23. 解：（1）直线参数方程可以化{
x=tcos60∘
y=√2
2
+tsin60∘，根据直线参数方程的意义，
这条经过点(0,√2
2
)，倾斜角为60∘的直线．
（2）l 的直角坐标方程为y =√3x +
√22，ρ=2cos(θ−π4)的直角坐标方程为(x −√22)2+(y −√22)2=1，
所以圆心(√22，√22)到直线l 的距离d =√64，∴ |AB|=√102
． 24. (1)由f(x)≤3得|x −a|≤3，
解得a −3≤x ≤a +3．
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|−1≤x ≤5}， 所以{a −3=−1，a +3=5，
解得a =2．
(2)当a =2时，f(x)=|x −2|．
设g(x)=f(x)+f(x +5)，
g(x)=|x −2|+|x +3|={−2x −1，x <−3，
5，−3≤x ≤2，2x +1，x >2，
所以当x <−3时，g(x)>5；
当−3≤x ≤2时，g(x)=5；
当x >2时，g(x)>5．
综上可得，g(x)的最小值为5．
从而，若f(x)+f(x +5)≥m
即g(x)min ≥m 对一切实数x 恒成立，
则m 的取值范围为(−∞, 5]．。