通信原理课件-随机过程v3

通信原理
第2章 随机过程
2021/5/7
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2.1 随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它 不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结 果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概 念的延伸。
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2.1 随机过程的基本概念(续)
机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
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2.3.2 各态历经性
设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一次实现，则其时间
均值和时间相关函数分别定义为
a
x(t)
lim 1
T /2
x(t)dt
T T T /2
R( )
x(t)x(t )
lim 1
T /2
x(t)x(t )dt
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2.1.2 随机过程的数字特征(续)
5. 互相关函数
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
2.3 平稳随机过程 2.3.1平稳随机过程的定义
如果随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无
关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数，有
fn (x1, x 2 , , x n；t1,t2, ,tn )
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2 R( )
严平稳随机过程的均值与时间t无关，为常数
a；其自相关函数只与时间间隔有关。
把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅满足式(2 – 18)
和(2 – 19)的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随
)
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2.1.2 随机过程的数字特征
1. 均值
随机过程 (t)在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随
机变量，其均值为
E (t1) x1 f1(x1, t1)dx1
由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这
样上式就变为
E (t)
xf1(x, t)dx
【例2】如果把n台示波器同时观测并记录这n台相同型号的、 环境条件也相同的接收机的输出噪声波形，所记录的n个结 果都会随时间随机变化，而且互不相同。
ξ(t)
t O
图2-1 样本函数的波形示意图
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2.1 随机过程的基本概念(续)
每个测试结果都是一个确定的时间函数xi(t)，称之为
样本函数或随机过程的一次实现。全部样本函数的集合{
f2 (x1, x2;t1, t2 ) f2 (x1, x2;t1 t1,t2 t1) f2 (x1, x2; )
严平稳随机过程的二维分布 函数只与时间间隔有关。
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2.3.1平稳随机过程的定义(续)
严平稳随机过程的均值和自相关函数分别如下：
E (t)
x1 f1(x1)dx1 a
B(t1,t2 ) E[ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 )]
[x1 a(t1 )][x2 a(t2 )] f2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
B(t1, t2) 与R(t1, t2)之间有如下关系式：
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 )
x1(t)，x2(t)，…，xn(t)}被称为一个随机过程，记作ξ(t)。
在任意时刻t1，每个样本函数xi(t)都是一个确定的数值
xi(t1)，但是数值xi(t1)是不可预知的，即在一个固定时刻t1
，不同样本的取值{ xi(t1)，i = 1，…，n}是一个随机变量
，记作ξ(t1)。随机过程在任意时刻的取值是一个随机变量
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(
x,
t
)dx
[a(t)]2
均方值
均值平方
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2.1.2 随机过程的数字特征(续)
3. 自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f 2 (x1, x2 ;t1, t2 )dx1dx2
4. 协方差函数
，因此，可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时
刻的随机变量的集合。
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2.1.1 随机过程的分布函数
把ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P[ ξ(t1) ≤ x1 ]， 称它为随机过程ξ(t)的一维分布函数
F1 (x1, t1 ) P[ (t1 ) x1 ]
ξ(t)的一维概率密度函数:
随机过程 (t)的均值是时间的确定函数，记作a(t)，它表
示随机过程 (t)的n个样本函数曲线的摆动中心。
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2.1.2 随机过程的数字特征(续)
2. 方差
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
Байду номын сангаас
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
T T T /2
如果平稳随机过程使下面两式成立
aa
R( ) R( )
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
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2.3.2 各态历经性（续）
平稳随机过程的各态历经的含义是，随机过程中的任一 次实现都经历了随机过程的各种可能状态。因此，在求解各 种统计平均时，无需无限多次的样本，只要获得一次考察， 用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平 均”值即可，从而使测量和计算大为简化。
fn (x1, x2, , xn；t1 ,t2 , ,tn )
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2.3.1平稳随机过程的定义(续)
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严
平稳随机过程。 设Δ = - t1，则
严平稳随机过程的 一维分布函数与
f1(x1, t1) f1(x1, t1 t1) f1(x1) 设Δ = - t1， = t2 – t1，则
随机过程 (t)的n维分布函数
Fn (x1, x2 ,, xn ;t1, t2 ,tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 ,, (tn ) xn
随机过程 (t)的n维概率密度函数
fn
(x1，x2，，xn；t1，t2，，t
n
)
n
Fn
( x1，x2，，x n；t1，t2，，t n x1x2 xn
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
随机过程 (t)的二维分布函数:
F2(x1, x2; t1, t2) P (t1) x1, (t2) x2
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2.1.1 随机过程的分布函数(续)
随机过程 (t)的二维概率密度函数:
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2