高考数学一轮复习 课时作业14 导数与函数的单调性 理-人教版高三全册数学试题

课时作业14 导数与函数的单调性
[基础达标]
一、选择题
1．[2019·某某质检]函数y ＝12x 2
－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1
x
≤0，解得0<x ≤1，所以
函数的单调递减区间为(0,1]．
答案：B
2．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：
①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或
x ＝2.
则函数f (x )的大致图象是( )
解析：根据信息知，函数f (x )在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.
答案：C
3．[2019·某某模拟]已知奇函数f ′(x )是函数f (x )(x ∈R )的导函数，若x >0时，
f ′(x )>0，则( )
A ．f (0)>f (log 32)>f (－log 23)
B ．f (log 32)>f (0)>f (－log 23)
C ．f (－log 23)>f (log 32)>f (0)
D ．f (－log 23)>f (0)>f (log 32)
解析：因为f ′(x )是奇函数，所以f (x )是偶函数．而|－log 23|＝log 23>log 22＝1,0<log 32<1，所以0<log 32<log 23.
又当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
所以f (0)<f (log 32)<f (log 23)，所以f (0)<f (log 32)<f (－log 23)． 答案：C
4．[2019·某某普通高中毕业班综合测试]设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对于任意的实数x ，都有f (x )＋f (－x )＝2x 2
，当x <0时，f ′(x )＋1<2x ，若f (a ＋1)≤f (－a )＋2a ＋1，则实数a 的最小值为( )
A ．－1
2 B ．－1
C ．－3
2
D ．－2
解析：由f (x )＋f (－x )＝2x 2
，得f (x )－x 2
＋f (－x )－(－x )2
＝0，设g (x )＝f (x )－x 2
，则g (x )＋g (－x )＝0，所以g (x )为奇函数．当x <0时，f ′(x )＋1<2x ，则g ′(x )＝f ′(x )－2x <－1，故g (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数．由f (a ＋1)≤f (－
a )＋2a ＋1，得f (a ＋1)－(a ＋1)2≤f (－a )－(－a )2，所以g (a ＋1)≤g (－a )，所以a ＋1≥
－a ，解得a ≥－12，所以实数a 的最小值为－1
2
，选A.
答案：A
5．[2019·某某市，某某市部分学校高三第一次联合模拟]若函数f (x )＝(2x 2
－mx ＋4)e x
在区间[2,3]上不是单调函数，则实数m 的取值X 围是( )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤203，172 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫203，172 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，203 D.⎝
⎛⎭⎪⎫5，203
解析：因为f (x )＝(2x 2
－mx ＋4)e x ，所以f ′(x )＝[2x 2＋(4－m )x ＋4－m ]e x
，因为函数
f (x )在区间[2,3]上不是单调函数，所以f ′(x )＝0在区间(2,3)上有根，即2x 2＋(4－m )x
＋4－m ＝0在区间(2,3)上有根，所以m ＝2x 2
＋4x ＋4
x ＋1在区间(2,3)上有根，令t ＝x ＋1，则x
＝t －1，t ∈(3,4)，所以m ＝
2t －1
2
＋4t －1＋4t ＝2t 2
＋2t
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋1t 在t ∈(3,4)上有
根，从而求得m 的取值X 围为⎝
⎛⎭
⎪
⎫203，172，故选B.
答案：B 二、填空题
6．[2019·某某模拟]已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x
，x ∈R ，e 为自然对数的底数．则函
解析：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1
x
，
由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－3
4－a ＝－2，解得a
＝5
4
. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3
2，
则f ′(x )＝x 2－4x －5
4x
2
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(0,5)； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(5，＋∞)．
10．已知函数f (x )＝4x 3
＋3tx 2
－6t 2
x ＋t －1，x ∈R ，其中t ≠0，求f (x )的单调区间． 解析：f ′(x )＝12x 2
＋6tx －6t 2
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t
2.
因为t ≠0，所以分两种情况讨论： (1)若t <0，则t
2
<－t .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫t
2，－t .
(2)若t >0，则－t <t
2
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－t ，t
2. [能力挑战]
11．[2019·某某八市联考]已知函数f (x )＝x 2
＋a ln x . (1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；
(2)若函数g (x )＝f (x )＋2
x
在[1，＋∞)上单调，某某数a 的取值X 围．
解析：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2
x
＝
2x ＋1x －1x
，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．
(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2
x
2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．
①若g (x )为[1，＋∞)上的单调递增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥
2
x
－2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x
－2x 2
，
∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.
②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． 综上实数a 的取值X 围为[0，＋∞)．。