【备考 志鸿优化设计】(湖南专用)中考数学总复习 第6讲 分式方程二次函数(基础讲练+锁定考试目

第6讲分式方程
考标要求考查角度
1.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二
次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，
知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整
式方程．
2．了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关
字母系数的问题．
3．会列分式方程解决实际问题.
中考多以选择题、填空题、解答题
的形式考查以下几点：(1)找分式方程的
最简公分母，将分式方程化成整式方程；
(2)已知方程有增根，确定有关字母的
值；(3)解分式方程．列分式方程解决实
际问题是中考的重点.
知识梳理
一、分式方程
1．分母里含有________的有理方程叫做分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为__________；分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使__________为零；
(2)增根是分式方程化成的__________方程的根．
二、分式方程的基本解法
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为__________方程．
(2)解这个整式方程，求得方程的根．
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的__________，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
三、分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际．
自主测试
1．(2012浙江丽水)把分式方程
2
x＋4
＝
1
x
转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )
A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4)
2．(2012四川宜宾)分式方程
12
x2－9
－
2
x－3
＝
1
x＋3
的解为( )
A．3 B．－3 C．无解D．3或－3
3．(2012浙江台州)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了
1
4
，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是( ) A．
40
x＋20
＝
3
4
×
40
x
B．
40
x
＝
3
4
×
40
x＋20
C．
40
x＋20
＋
1
4
＝
40
x
D．
40
x
＝
40
x＋20
－
1
4 4．(2012广东梅州)解方程：
4
x2－1
＋
x＋2
1－x
＝－1.
考点一、分式方程的解法
【例1】 解方程：x ＋12x ＝x ＋1
3
.
分析：把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程求得分式方程的解．
解：原方程两边同乘6x ，得3(x ＋1)＝2x ·(x ＋1)，整理得2x 2
－x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝32.经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x ＝－1或x ＝3
2
.
方法总结 解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．
触类旁通1解方程：x x ＋2＋x ＋2x －2＝8
x 2－4.
【例2】 解方程：x －1x ＋x x －1＝5
2
.
解：设x －1x ＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝52
.
解得y 1＝2，y 2＝12.当y ＝2时，x －1
x
＝2，解得x ＝－1；
当y ＝12时，x －1x ＝12
，解得x ＝2.
经检验，x 1＝－1，x 2＝2均符合题意， 所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝2. 方法总结 解分式方程时，如按常规用约去分母的方法解，所得到的整式方程比较复杂，不易继续求解，我们可采用换元法求解．一般分式方程有以下两种情况时，可考虑换元法：
第一种情况是“倒数型”，如2x x －1＋x －1x ＝52，由于x x －1与x －1x 互为倒数，当设x
x －1
＝y 时，
原方程可化为2y ＋1y ＝52；第二种情况是“平方型”，如⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x －3＝0，此时设x －1x
＝y ，则原方程可化为y 2
－2y －3＝0.
触类旁通2方程
66x ＋3－60
x
＝0的根是________． 考点二、分式方程的增根 【例3】 分式方程x x －1－1＝m
(x －1)(x ＋2)
有增根，则m 的值为( ) A ．0或3 B ．1 C ．1或－2 D ．3
解析：由(x －1)(x ＋2)＝0得增根可能是x ＝1或x ＝－2，把方程两边都乘(x －1)(x ＋2)得x (x ＋2)－(x －1)·(x ＋2)＝m ，当x ＝1时，得m ＝3，当x ＝－2时，得m ＝0，此时方
程变为
x
x －1
－1＝0，即x ＝x －1，此时方程无解，故m ＝0舍去，∴当m ＝3时，原方程有增
根x ＝1.
答案：D
方法总结 利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
触类旁通3若解分式方程mx ＋1
x －1
＝－1时产生增根，则m 的值是( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1 考点三、分式方程的应用
【例4】 某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设该品牌饮料一箱有x 瓶，依题意，得26x －26
x ＋3
＝0.6，
化简，得x 2
＋3x －130＝0，解得x 1＝－13(不合题意，舍去)，x 2＝10.经检验：x ＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
方法总结 列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
触类旁通4某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工要多用30天才可完成．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
1．(2012湖南邵阳)分式方程2x ＋x －1
x
＝2的解是( )．
A ．x ＝－1
B ．x ＝1
C ．x ＝－2
D ．x ＝2 2．(2012湖南永州)下面是四位同学解方程
2x －1＋x
1－x
＝1过程中去分母的一步，其中正确的是( )
A ．2＋x ＝x －1
B ．2－x ＝1
C ．2＋x ＝1－x
D ．2－x ＝x －1
3．(2012湖南衡阳)分式方程2x ＝3
x ＋1
的解为__________．
4．(2012湖南怀化)解分式方程：23－x ＝x
x －1
.
5．(2012湖南岳阳)岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成；若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月时间？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工(包括12个月)．为确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月(a ，b 均为正整数)分工合做的方式施工．问有哪几种方案？
1．解方程
x
x 2－1＋2(x 2
－1)x ＝3时，设x x 2－1＝y ，则原方程化为y 的整式方程为( ) A ．2y 2－6y ＋1＝0 B ．y 2－3y ＋2＝0 C ．2y 2－3y ＋1＝0 D ．y 2
＋2y －3＝0
2．分式方程2x －5x －2＝3
2－x
的解是( )
A ．x ＝－2
B ．x ＝2
C ．x ＝1
D ．x ＝1或x ＝2
3．若关于x 的方程m －1x －1－x
x －1
＝0没有增根，则m 的值不能是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
4．某单位向一所希望小学赠送1 080件文具，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设B 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为( )
A ．1 080x ＝1 080x －15＋12
B ．1 080x ＝1 080x －15－12
C ．1 080x ＝1 080x ＋15－12
D ．1 080x ＝1 080x ＋15
＋12
5．已知x ＝1是分式方程1x ＋1＝3k
x
的根，则实数k ＝________.
6．若2
x －1
与1互为相反数，则x 的值是__________．
7．已知关于x 的方程2x ＋m
x －2＝3的解是正数，则m 的取值范围为__________．
8．解分式方程：(1)x x ＋1＋1＝2x ＋1
x
；
(2)1x ＋1－2x x 2－1
＝1. 9．某市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米．
参考答案
【知识梳理】 一、1.未知数
2．增根 (1)最简公分母 (2)整式 二、(1)整式 (3)增根 导学必备知识 自主测试 1．D
2．C 解方程去分母得12－2(x ＋3)＝x －3解得x ＝3，经检验x ＝3是原方程的增根，原方程无解．
3．A 因为公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为(x ＋20)千米/时，
小王乘公共汽车从甲地到乙地所花的时间为40x 小时，回来时路上所花时间为40
x ＋20
小时，根
据相等关系：回来时路上所花时间＝去时路上所花时间×34，列方程为40x ＋20＝34×40
x
.
4．解：方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得4－(x ＋1)(x ＋2)＝－(x 2
－1)，整理，得3x
＝1，解得x ＝1
3.
经检验，x ＝1
3
是原方程的解．
故原方程的解是x ＝1
3
.
探究考点方法
触类旁通1.解：去分母，得x (x －2)＋(x ＋2)2
＝8.
去括号，得x 2－2x ＋x 2
＋4x ＋4＝8.
整理，得x 2
＋x －2＝0.解得x 1＝－2，x 2＝1.
检验，当x 1＝－2时，x 2
－4＝4－4＝0，∴x 1＝－2是增根；
当x 2＝1时，x 2
－4＝1－4＝－3≠0， ∴原方程的根是x ＝1.
触类旁通2.解：
66x ＋3－60
x
＝0， 60x ＋180＝66x ， x ＝30.
触类旁通3.C 使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根．
∵mx ＋1x －1
＝－1有增根，∴x －1＝0， ∴x ＝1，∴mx ＋1＝－x ＋1.当x ＝1时，解得m ＝－1.
触类旁通4.解：(1)设乙单独做x 天完成此项工程，则甲单独做(x ＋30)天完成此项工
程．由题意，得20⎝ ⎛⎭⎪⎫1
x ＋1x ＋30＝1，
整理，得x 2
－10x －600＝0， 解得x 1＝30，x 2＝－20.
经检验：x 1＝30，x 2＝－20都是分式方程的解． 但x 2＝－20不符合题意舍去，x ＋30＝60.
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天．
(2)设甲单独做a 天后，甲、乙再合作⎝
⎛
⎭⎪⎫
20－a 3天，可以完成此项工程．
(3)由题意，得1×a ＋(1＋2.5)⎝
⎛
⎭⎪⎫
20－a 3≤64， 解得a ≥36.
答：甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．
品鉴经典考题
1．B 去分母，得2＋x －1＝2x ，移项、合并同类项，得x ＝1. 2．D 方程两边都乘以x －1，得2－x ＝x －1.
3．x ＝2 去分母，得2(x ＋1)＝3x ，去括号，得2x ＋2＝3x ，移项、合并同类项，得x ＝2.
4．解：方程两边都乘以(3－x )(x －1)，得 2(x －1)＝x (3－x )，
整理，得x 2
－x －2＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－1，
经检验：x 1＝2，x 2＝－1都是原方程的解， 故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－1. 5．解：(1)设甲队单独完成这项工程需x 个月，则乙队单独完成这项工程需(x ＋5)个月．
由题意，得6⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x ＋1x ＋5＝1，解得x 1＝10，x 2＝－3.
经检验：x 1＝10，x 2＝－3都是原方程的解，但x ＝－3不合题意，∴x ＝10， x ＋5＝15.
因此，甲队单独完成这项工程需10个月，乙队单独完成这项工程需15个月．
(2)由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
15a ＋(15－6)b ≤141，
a 10＋
b 15＝1，
0≤a ≤12，0≤b ≤12.
解得a ＝4，b ＝9或a ＝2，b ＝12.
∴有两种施工方案：方案一，甲队做4个月，乙队做9个月；方案二，甲队做2个月，
乙队做12个月．
研习预测试题
1．B 设
x
x 2
－1＝y ，则原方程化为y ＋2y
＝3，去分母移项得y 2
－3y ＋2＝0. 2．C 去分母，得2x －5＝－3，解得x ＝1.检验，当x ＝1时，x －2≠0，所以原方程的解为x ＝1.
3．B 将分式方程两边都乘以(x －1)，得m －1－x ＝0，把x ＝1代入m －1－x ＝0，解得m ＝2.所以若原分式方程没有增根，则m ≠2.
4．B 因为B 型包装箱每个可以装x 件文具，则A 型包装箱每个可以装(x －15)件文具．相
等关系为：单独使用B 型包装箱数＝单独使用A 型包装箱数－12，列方程为1 080x ＝1 080
x －15
－
12.
5.16 把x ＝1代入方程，得12＝3k ，解得k ＝16
. 6．－1 由题意，得2
x －1
＋1＝0，所以2＋(x －1)＝0，
所以x ＝－1.经检验x ＝－1是方程2
x －1
＋1＝0的解．
7．m ＞－6且m ≠－4 由2x ＋m
x －2
＝3，得x ＝m ＋6，
∴m ＋6＞0，m ＞－6.又∵x －2≠0，即x ≠2，∴m ≠－4， 故m ＞－6且m ≠－4.
8．解：(1)去分母，得x 2
＋x (x ＋1)＝(2x ＋1)(x ＋1)，解得x ＝－12.经检验：x ＝－12
是
原方程的解，
所以原方程的解为x ＝－1
2.
(2)去分母，得x －1－2x ＝x 2
－1，
化简，得x 2
＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1. 经检验：x ＝－1不是原方程的解． 所以原方程的解为x ＝0.
9．解：设原计划每天铺设管道x 米． 则120x ＋300－120x (1＋20%)＝27. 解得x ＝10(米)．
经检验，x ＝10是原方程的解． 答：原计划每天铺设管道10米．。