第四章代数系统(5)

例5．设 P[x] 是实系数多项式的全体，+和×是多项式的 加法和乘法，由前两节知 1) < P[x],+ >是交换群， 2) < P[x],×>是半群。 3) 由于实数乘法对实数加法满足分配律，故多项式乘 法对加法满足分配律， 即 h(x),p(x),q(x)∈P[x], 有 h(x)×(p(x)+q(x)) = (h(x)×p(x))+(h(x)×q(x)) (p(x)+q(x))×h(x) = (p(x)×h(x))+(q(x)×h(x)) 由环的定义知< P[x],+,×>是环。此环称为多项式环。
5.3 无零因子环和含零因子环
定义3 设 < R, , > 是环 1) 若存在 a, b∈R，a≠0 ,b≠0,有 ab=0，则称 < R,, > 是含 零因子环，称a是环中的左零因子，称b是环中的右零因子。 2) 若环中无零因子，则称 < R, , > 是无零因子环。 • 所谓含零因子，就是环中的两个元素，它们不是关于的零 元，但它们经过运算后成为零元，于是就称此环为含零因 子环。 • 当一个环是交换环时，左零因子也就是右零因子，反之亦然， 在这种情况下统称为零因子。 • 如果在环中，不存在满足上述条件的元素，就称此环为无零 因子环。
定理1 若 <R,,> 是有限整环，则 <R,,> 是域。
• 由域的定义知，每个域都是整环，因此在有限的条件下， 域和整环是一回事。在无限的条件下，域一定是整环，但 整环未必是域。 • 例如 <I,+,×>是整环，但不是域。
例5 已知当m为素数时，<Nm,+m,×m> 是有限整环。由定理1知 当m为素数时，<Nm,+m,×m> 是有限域，这个域称为Galois 域。
例3 设Q是有理数集合， +和×是有理数的加法和乘法，容 易验证 < Q,+,×> 是环，此环中关于×的么元是1，且关 于×运算，除零元外，每个元素有逆元。因为每个有理 数可表示成b/a 的形式，因此b/a 的逆元是a/b ，由除环的 定义知 < Q,+,×> 是除环。
定理3 若 < R,, > 是除环，则 < R,, > 是含么元的无零 因子环。
例3 已知 < Nm, +m ,×m > 是环， 1) 当m为素数时，对任意的 [i]，[j]∈Nm，[i]≠0，[j]≠0, 有i×j≠km ，于是有 [i]×m[j] = [(i×j)mod m] ≠[0] 即两个不为零的元素经过×m运算后不为零。 由定义3知< Nm, +m ,×m >是无零因子环。
例3 设N ={ [0], [1], …, [m-1] },+m和×m是Nm上的模加和模乘 运算，由前两节知 1) < Nm,+m >是交换群； 2) < Nm,×m>是半群； 3) 由于 [i],[j],[k]∈Nm ,有 [i]×m([j]+m[k])= [i]×m[(j+k) mod m] =[(i×(j+k)) mod m]=[((i×j)+(i×k)) mod m] =[(i×j) mod m ]+m[(i×k) mod m] =([i]×m[j])+m([i]×m[k]) 由×m的交换律知×m对+m满足分配律。 由环的定义知< Nm,+m,×m >是环。此环称为整数模环。
都不是除环。
例2 < N5, +5,×5 >是除环，因为[1]是关于×5的么元，[2]的 逆元为[3]，[3]的逆元为[2]，[4]的逆元为[4]，故N5 中除 零元外每个元素都有逆元，由除环的定义知 < N5, +5,×5 >是除环。
< N4 , +4 ,×4>不是除环，因为关于×5虽有么元[1] ，但[2] 无逆元，由除环的定义知 < N4 , +4 ,×4> 不是除环。
例1.设Q是有理数集合，+和×分别是有理数的加法和乘 法，则 <Q,+,×> 是域，该域称为有理数域。
例2.设R是实数集合，+和×分别是实数的加法和乘法， 则< R,+,×> 是域，该域称为实数域。
例3.设C是复数集合，+和×分别是复数的加法和乘法， 则< C,+,×> 是域，该域称为复数域。
例4 设 X={a+b2 | a,bQ}，和定义如下： (a1+b12 )(a2+b22 ) = (a1+a2)+(b1+b2)2 (a1+b12 )(a2+b22 ) = (a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)2 可以证明 <X, , > 是域。
例1 已知 < I,+,×> 是环，由于任意两个不为零的整数相 乘不为零，由定义3知 < I,+,×>是无零因子环。
例2 已知< Mn×n ,+,×>是环(n≥2),不妨设n=2，于是有 2 0 0 0 × 0 0 0 2 0 0 = 0 0
即两个不为零的矩阵相乘为零矩阵。 由定义3知 < Mn×n ,+,×> 是含零因子环。
是
不是 不是
5.4 整环 定义4 设 < R,, > 是环，若 1) 运算满足交换律； 2) 关于有么元； 3) 关于运算无零因子； 则称 < R,, > 是整环。
由整环的定义和前面的举例可知 1) < I,+,×>是整环。 2) < Mn×n ,+,×>不是整环(n≥2)。 3) 对<Nm, +m ,×m>来说， 当m是素数时是整环； 当m是合数时不是整环。 4) < 2X,,∩>不是整环(|X|≥2)。 5) < P[x],+,×>是整环。
例4 设X是一个非空集合， 2X 是X的幂集， 是集合的对 称差运算,∩是集合的交运算，由前两节知 1) < 2X , >是交换群 2) < 2X ,∩>是半群。 由集合一章知集合的交运算对对称差运算满足分配律， 即a,b,c∈2X ，有 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C) (BC)∩A=(B∩A)(C∩A) 由环的定义知< 2X,,∩>是环。此环称为2X的子集环。
2)当m不是素数时，存在 [i]，[j]∈Nm，[i]≠0，[j]≠0，使 m = i×j ，于是有 [i]×m[j] = [(i×j)mod m] = [0] 即[i]，[j]是Nm中的零因子。 由定义3知< Nm, +m ,×m >是含零因子环。
例4 已知 < 2X,,∩> 是环，设|X|≥2，取a,b∈2X且a≠b，于 是有{a},{b}∈2X ，且{a}∩{b}= 。 即两个不为零的元素相交后为零元。 由定义3知 < 2X , , ∩> 是含零因子环。 例5 已知 < P[x],+,×>是环，由于两个非零多项式相乘仍 为一非零多项式，由定义3知 <P[x],+,×> 是无零因子 环。 定理2 设 < R,, > 是环，环中无零因子的充分必要条件 是环中的运算满足消去律。 • 由定理2知，在环中无零因子和消去律是等价的，以后 那个条件用起来方便，就可以用那个来判断一个环是lt; I,+, > 满足 1 无
<Mn×n,+,>
<Nm,+m, m> m 满足 [1]
<2X,,∩> ∩ 满足 X
<P[x],+,> 满足 1
不满足 E 有
m质数
无
m合数
有 有 无
零因子
整环
除环 域
是
不是 不是
不是
不是 不是
是
是 是
不是
不是 不是
不是
不是 不是
5.2 环的性质
定理1 设< R,, >是环，a,b,c∈R, 有 1）a0 = 0 = 0a 2）a(–b) = (– a)b = – (ab) 3) (–a)(–b) = ab 4) a(b – c) = (ab) – (ac) 5) (b – c)a = (ba) – (ca) • 由定理1的结论1)知，在环 < R,, > 中，关于的么 元就是关于的零元。由于 < R, >是 交换群，故么元 一定存在，因此关于的零元也一定存在。由于在一个 代数系统中，零元是没有逆元的，因此在环<R, , > 中，< R, > 不能构成群。
例4 < I,+,×> 是含么元无零因子环，但 < I,+,×> 不是除环， 因为对×运算而言，除1和-1外其它元素均无逆元。
定理4 设 < R,, > 是有限含么环，|R|=n ，则环中有消去 律的充分必要条件是在环中关于运算，除零元外，每个 元素有逆元。
由以上的定理２，定理３，定理４，可知在环中，对 运算而言，消去律和无零因子是等价的，每个非零 元有逆元可保证有消去律且无零因子。当环为有限时， 反之亦真，但当环为无限时，反之不真，这些关系用 下图表示。 当 |R| = n 时 消去律 无零因子 当 R 为无穷时 消去律 无零因子
例2 设Mn×n 是 nn阶实矩阵的全体，+与是矩阵的加法和乘法， 在前两节中已知<Mn×n , >是交换群，<Mn×n , >是半群。 由线性代数知，矩阵乘法对矩阵加法满足分配律，即 A ,B, C∈Mn×n, 有 A(B+C)=(AB)+(AC) (B+C) A=(BA)+(CA) 由环的定义知<Mn×n,,+, >是环。此环称为矩阵环。
第五节
环 Ring
5.1 环的基本概念 定义1 . 设 < R, , > 是代数系统， 和 是R上的两个二元 运算，若 1) < R, >是交换群； 2) < R, >是半群 ； 3) 对满足分配律； 则称 < R, , > 是环。
• 下面对环的定义做几点说明： a) 在环中，由于 < R, > 是群，故关于有么元存在，将关 于的么元记为0。在环中，由于< R, > 是群，故R中每个 元素有逆元，设a∈R，将a关于的逆元记为-a ，且将 a (-b) 简写为 a-b。 b) 在环中，对于运算，若有么元，则记为1或e ，设a∈R ， 若a关于有逆元，则记为 a-1。 c) 以后谈到环，必有|R|≥2，即不讨论一个元素的环。 d) 在环的定义中，不要求对满足分配律，只要求 对 满足分配律。
5.5 除环
定义5 设 < R,, >是环，若 1)关于有么元；
2)a∈R,当a≠0时，有a的逆元存在；
则称 < R,, >是除环。 • • 由定义5知，在除环中，< R\{0}, >是群，但 <R,> 构不成群，因为有零元存在。 前面例子中的
< I,+,×>，< Mn×n ,+,×>，< 2X,,∩>，< P[x],+,×>
定义2 设< R,, >是环， 1）若满足交换律，则称< R,, >是交换环。 2）若关于有么元，则称< R,, >是含么环。 • 在前面的例子中 1) < I,+,×> 是交换环，关于×的么元是1。 2) < Mn×n ,+,×> 不是交换环，关于×的么元是单位矩阵E。 3) < Nm ,+m ,×m> 是交换环，关于×m的么元是[1]。 4) < 2X ,,∩> 是交换环，关于∩的么元是X。 5) < P[x],+,×> 是交换环，关于×的么元是零次多项式1。
每个非零元有逆元
每个非零元有逆元
第六节 域（Field）
定义1 若<R,,>是可交换的除环，则称 <R,,> 是域。
• 由定义1知，若一个代数系统 <R,,> 满足 1) <R,> 是交换群； 2) <R\{0},> 是交换群，其中0是关于的么元； 3) 对运算满足分配律； 则 <R,,> 是域。
例1 设I是整数集合，和是整数的加法和乘法。在前两节中 已知< I, > 是交换群，< I, >是半群。 由算术知识知整数乘法对整数加法满足分配律，即 a, b, c∈I 有 a (b+c) = (ab)+(ac) (b+c) a = (b×a)+(ca) 由环的定义知< I, , >是环。此环称为整数环。