备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之圆锥曲线：专题三 求离心率 含解析

I ．题源探究·黄金母题
【例1】人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为21,r r ，求卫星轨道的离心率.
II ．考场精彩·真题回放
【例2】（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
2222
1x y a b +=()0a b >>的右焦点，直线2
b y =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o
，则该椭圆的离心率是 ．
【解析】 由题意得(),0F c ，直线2
b
y =
与椭圆方程联立， 可得32a b B ⎛⎫
⎪⎝⎭，32a b C ⎫⎪⎝⎭
.由90BFC ∠=o ， 可得0BF CF ⋅=u u u r u u u r ，32a b BF c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r ，32a b CF c ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭u u u r ，
则2
22
31044
c a b -
+=，由222b a c =-，
可得
223142c a =，则2633
c e a ===． 评注 另外也可以结合23CF BF a BC a
+=⎧⎪⎨=⎪⎩，得222
24CF CF BF BF a +⋅+=，
2
12
CF BF a ⋅=
， 21124BCF S CF BF a =⋅=△113222b CB h a =⋅=
⨯，解得3a b =，进而6
e =．设BC 与y 轴的交点为A ，则经典转化90BFC ∠=︒⇔以BC 为直径的圆过点
F ⇔0BF CF ⋅=u u u r u u u r ⇔1
2
AF BC =．
6.（2016全国丙卷理11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦
点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）.
A. 13
B. 12
C. 2
3
D.
3
4
13.（2016山东理13）已知双曲线:E 22
221x y a b
-=()0,0a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点
在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率是_______.
【解析】 由题意，2BC c =，又因为23AB BC =，则3AB c =，于是点3,
2c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
在双曲线E 上，代入方程22221x y a b -=，得2222914c c a b -=，再由2
c b a =+22得E 的离心率为
2c
e a
=
=.
精彩解读
【试题来源】人教版选修2-1第80页复习参考题A 组第2题．
【母题评析】离心率是椭圆和双曲线的重要概念，是教材中要求必须掌握的概念，求离心率是历年高考的热点，本题借助于椭圆的几何性质，直接求出c a ,，进而求出离心率，从大量的求离心率题目可以看出，求离心率大多要寻求c a ,的关系，进而求出离心率.
【思路方法】求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解.
一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于
,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离
心率的取值范围,给出离心率的值.
【命题意图】求离心率的题目很多，形式繁多，命题巧妙，从不同的角度考查学生对圆锥曲线及其他部分知识的灵活应用情况，是高考命题者最青睐的题型之一
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小．
【难点中心】由于求离心率问题，形式多样，涉及知识较多，命题者匠心独运，确有一小部分问题难度较大，多出自选择题的12题. III ．理论基础·解题原理
1.椭圆的焦距与长轴之比
a c ，叫做椭圆的离心率，因为0>>c a ，a
c
e =，则10<<e 2.与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴之比a c ，叫做双曲线的离心率，因为0>>a c ，a
c
e =，
则1>=
a
c
e 3.求椭圆的离心率问题的一般思路：
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2
＝b 2
＋c 2
消去b ，即可求得离心率或离心率的范围． V ．举一反三·触类旁通
求离心率问题有三种思路，一是求出,,a b c 三个量中的任何两个，然后利用离心率的计算公式求解；二是求出,a c 或,a b 或,c b 之间关系，然后利用离心率的计算公式求解；三是构造出关于离心率e 的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出方程即可求解.
一般是依据题设寻求一个关于,,a b c 的等量关系，再利用,,a b c 的关系消去b ，得到关于
,a c 的等式，再转化为关于离心率e 的方程，解方程求出e 的值，最后根据椭圆或双曲线的离
心率的取值范围,给出离心率的值. 考点1.利用题设条件求出,a c 的值
【例1】【黑龙江省双鸭山一中2015届高三上学期期末考试数学文试题】已知双曲线
22
219x y b
-= (0)b >，过其右焦点F 作圆229x y +=的两条切线，切点记作C ，D ,双曲线的右顶点为
E ,0150CED ∠=，其双曲线的离心率为( )
B.3
2
【解析】由题意3a =，易得OD OE =，075CEO OCE ∠=∠=,所以0
30=∠COE ，在
Rt OCF ∆中，
⇒=+=0230cos 93b
OF OC 33
212322=
=⇒=⇒=a c e c b 【例2】已知抛物线2
4y x =
点F 为抛物线的交点，若FAB ∆是 ．
【解析】根据已知条件画出图形（如右图）
线的准线为1x =-．在Rt AKF ∆中，30,2,AFK KF ∠=︒=
2323tan 30,1,AK KF A ⎛⎫
∴=︒=
∴- ⎪ ⎪⎝
⎭．又点A 在双曲线上， 2
223114
a ⎛⎫
⎪⎝
⎭∴-=，解得234a =，又24b =，22219,4c a b ∴=+=
故双曲线离心率19357
c e a =
=÷=． 考点2.根据题设条件直接列出,,a b c 的等量关系
【例3】【2014-2015年豫晋冀高三第二次调研考试文科数学】已知双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相变于A.B 两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）
A.8
B. 22 C 3 D.4
考点3.借助直角三角形的边角关系
【例4】【2012全国新课标，理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P
为直线32a x =
上一点，12F PF ∆是底角为30o
的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45
【解析】12
F PF ∆是底角为30o
的等腰三角形，22132()22
PF F F a c c ⇒==-=， 则3
4
c e a ==
【例5】【2014届福建厦门5月适应性考试】 设1F ，2F 分别是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、
右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）
A.
1
3
B.23
C.233
D.33
【解析】由条件1PF PQ =，则PQ ⊥x 轴，而0
160
F PQ ∠=，∴1F PQ ∆为等边三角形，而周长为4a ，
∴ 等边三角形的边长为
43a ，焦点在直角三角形12
PF F ∆中，14||3a PF =，22||3
a
PF =，12||2F F c =，
∴22242()()(2)33a a c -=，即223a c =，∴22
213
c e a ==，
∴3
3
e =
. 考点4. 借助与其它曲线的关系求离心率
【例6】（湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考数学（文））点A 是抛物线
2
1:2(0)C y px p =>与双曲线22
222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线的交点（异于原
点），若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率等于（ ） A ．2 B ．2 C ．5 D ．4
【解析】Θ点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴⎪⎭
⎫
⎝⎛p p A ,2适合x a b y =，∴422=a b ，∴5=e
故选C.
【例7】(2015·北京东城区统一检测)如图，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2
a
2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．
【解析】如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所
以|FF ′|＝2c
＝p ，因为|AF |＝p ，所以|AF ′|＝2p .因为|AF ′|＋|AF |＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，
所以e ＝c a
＝2－1.
考点5. 利用椭圆或双曲线的定义求离心率
【例8】（成都外国语学校高2014级高二（下）期末考试文科数学试题）椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ,设6
π
=
∠ABF ，则该椭圆的离心率为 （ ）
A ．
22 B ．13- C ．33 D ．2
31- 【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由 6
π
=
∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，32c c a +=，
13-=∴e .
【例9】【2013湖南，理14】设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P
是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为
30o
，则C 的离心率为___.
【例10】 F 1，F 2是双曲线22
22:1(,0)x y C a b b a b
-=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与
双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心
率是 （ ）
A B
C ．2
D 【解析】画出图形，在2ABF ∆中，根据题意可设223,4,5(0)AB t BF t AF t t ===>， 2
2
2
2
22,AB BF AF ABF +=∴∆Q 为直角三角形．设1AF m =，由双曲线的定义知
1221BF BF AF AF -=-，即345t m t t m +-=-，∴3m t =，
∴212532a AF AF t t t =-=-=．在
12Rt BF F ∆中，
12F F =
==，∴c
e a
=
=，故选D ． 考点6. 借助双曲线的渐近线求离心率
【例11】已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==.
则双曲线E 的离心率为_______________.
【解析】因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2
a
＝2，
故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝c
a
＝ 5.
【例12]（株洲市2015届高三年级教学质量统一检测文）已知双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近
线的离心率等于（ ）
A ．
3 D ． 3
【解析】双曲线22221x y a b
-=的一条渐近线的倾斜角的余弦值为10,所以110e =，即
e =
故选C.
考点7. 利用弦中点坐标，代点相减求离心率 【例13】【2014江西，理15】过点(1,1)M 作斜率为1
2
-
的直线与椭圆C ：
22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于,A
B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆
C 的离心率为 【解析】设),(),,(2211y x B y x A ，则1
,122
222
222
122
1=+=+b y
a x
b y a x
两式相减得：
()()()()1212121222
x x x x y y y y a b -+-++=
2,22121=+=+y y x x ，
12
12
y y x x --=12- 则22
1
2220a b -⨯+=，
222a b =，22e =. 考点8. 利用点在曲线上求离心率
【例14】（资阳市高中2012级第二次诊断性考试理）已知F 1、F 2是双曲线22
221x y a b
-=(a >0，
b >0)的左、右焦点，点F 1关于渐近线的对称点恰好落在以F 2为圆心，|OF 2|为半径的圆上，则
该双曲线的离心率为
(A)2 (B)3 (C) 2
(D) 3。