人教A版(2019)选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程单元测试(含答案解析)

人教A 版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程
单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则双曲线C 的离心率为
A B ．2
C D 2．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
||8AB =，则线段AB 的中点M 到直线10x +=的距离为
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
3．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为210x y ++=平行，则双曲线的方程为
A ．2
214x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．22
1164x y -=
D ．22
331520
x y -=
4．若直线y kx k =-交抛物线24y x =于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则||AB = A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
5．到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．两条射线
C ．双曲线
D ．线段
6．已知椭圆1C ：
22
22
1(0)
x y a b a b +=>>的焦距为2c ，F 为右焦点，直线43c x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，ABF 是等腰直角三角形.点P 的坐标为0,2b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若记椭圆C 上任一
点Q 到点P 的距离的最大值为d ，则d
c
的值为（ ）
A B C D ．32
7．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与直线y =有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A ．(1,2)
B ．(]1,2
C ．(2,)+∞
D ．[)2,+∞
8．已知椭圆22
1113
:x C y +=，双曲线22222:1(,0)x y C a b a b -=>，若以1C 的长轴为直径的圆
与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，
则2C 的离心率是（ ）
A B ．3
C D ．5
9．已知m n s t *∈、、、R ，4m n +=，9m n s t
+=其中m n 、是常数，且s t +的最小值是8
9，
满足条件的点(,)m n 是双曲线22
128
x y -=一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 A ．4100x y +-=
B ．220x y --=
C ．4100x y +-=
D ．460x y --=
10．已知直线1:0l mx y m -+=与直线2:10l x my +-=的交点为Q ，椭圆22152
x y
+=的焦
点为12,F F ，则12QF QF 的取值范围是（ ）
A ．[)2,+∞
B ．)
⎡+∞⎣
C ．[]2,4
D ．4⎡⎤⎣⎦
二、填空题
11．已知直线AB 过抛物线24y x =的焦点，交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若
125x x +=，则||AB 等于_____．
12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，椭圆C 上任意一点
到1F ，2F 的距离之和为2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若
线段AB C 的方程为______． 13．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以1F 2F 为斜边的等
腰直角三角形12PF F 与椭圆有两个不同的交点M ，N ，且121
3
MN F F =，则该椭圆的离
心率为______．
三、双空题
14．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，其上一点(3,)P t 到两个焦点的距离分别为6.5和3.5，
则该椭圆的离心率为_____，方程为_______． 15．设双曲线C 经过点(2)2，
，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为__；渐近线方程为__________．
16．抛物线24(0)y ax a =>上一点,()A m n 到焦点的距离等于4a ，则m =__________，n =__________．
17．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1-的直线与抛物线相交于M ，
N 两点，直线l 与抛物线相切且//l MN ，则直线l 的方程为______；P 为l 上的动点，则PM PN ⋅的最小值是_______．
四、解答题
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆222
21(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，椭圆的右顶点为A ．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．
19．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ． （1）求抛物线C 的方程；
（2）求过点()3,2P -的直线与抛物线C 交于M 、N 两个不同的点(均与点A 不重合)．设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 过点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值．
21．已知动直线l 垂直于x 轴，与椭圆22
1:142
x y C +=交于A ，B 两点，点P 在直线l 上，
1PA PB ⋅=-．
（1）求点P 的轨迹2C 的方程；
（2）直线1l 与椭圆1C 相交于D ，E 与曲线2C 相切于点M ，O 为坐标原点，求||||
DE OM ⋅的取值范围．
22．已知圆A ：x 2+y 2+2x-15=0和定点B （1，0），M 是圆A 上任意一点，线段MB 的垂直平分线交MA 于点N ，设点N 的轨迹为C ．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D 【分析】
双曲线两条渐近线互相垂直,可得2
()1b a
-=-，解得b a =，即为等轴双曲线，进而得到离心
率. 【详解】
因为双曲线两条渐近线互相垂直，
所以2
()1b a
-=-，解得b a =，即为等轴双曲线，
所以c e a = 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线垂直的等价结果，属于简单题目. 2．B 【分析】 如图所示：
抛物线
24y x =的焦点为(1,0)F ,准线为1x =-,即10x +=，分别过,A B 作准线的垂线,垂足为,C D ,
则有8AB AF BF AC BD =+=+=，过AB 的中点M 作准线的垂线,垂足为N ,则MN 为直角梯形ABDC 中位线,则1
()42
MN AC BD =+=,即M 到准线1x =-的距离为4.故选B .
3．B 【分析】
利用双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2x +y
＝0平行，求出几何量a ，b ，c ，即可求出双曲线的方程． 【详解】
∵双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2x +y+1
＝0平行， ∴
2b
a
=-， ∴b ＝-2a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b ＝2，
∴双曲线的方程为2
2
14
y x -=．
故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键． 4．C 【详解】
直线y kx k =-恒过（1，0），恰好是抛物线24y x =的焦点坐标，设()()1122,,,A x y B x y 抛物24y x =的线准线1x =-，线段AB 中点到y 轴的距离为3，126x x ∴+=，
1228AB AF BF x x ∴=+=++=，选C.
5．B 【分析】
由题意直接得轨迹为两条射线． 【详解】
∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F 1F 2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 故选B ． 【点睛】
本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题． 6．C 【分析】
根据条件可求得222a c =，设椭圆上点Q 的坐标为(x ,y )，由两点间距离公式及二次函数可求||PQ 的最大值，即可求解
d c
. 【详解】
由题意可得=
2
AFB π
∠，
所以点A 的坐标为4,33c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
代入椭圆方程有22
2216=199c c a b
+，
又222=a b c +
所以422489=0c b c b +-,
解得22c b =或22=9c b - (舍去)， 所以222a c =，
所以椭圆方程可化为22
2212x y c c
+=，
设点Q 的坐标为(x ,y ) ,则22222x c y =-， 所以
2
10
||2
PQ c ==
所以,d d c =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，利用二次函数求最值，考查了计算能力，属于中档题.
7．C 【分析】
求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比y 的斜率大，找到a b 、的关系，再求离心率的范围. 【详解】
双曲线的焦点在x 轴，一条渐近线方程为b
y x a
=，
这条渐近线比直线y 的斜率大，即b a >2e =． 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质、求离心率范围的问题. 8．A 【分析】
根据题意，由椭圆的方程可得a 的值，设OA 的方程为0(0,0)y kx k x =>>，分析即可得A
的坐标，进而可得AB 的一个三分点坐标，将点的坐标代入椭圆的万程可得 2
2
22b k a
==，
即可利用222c b a =+求出双曲线的离心率. 【详解】
设OA 的方程为0(0,0)y kx k x =>>， ∴设00(,)A x kx ，
由已知得||OA
0=
解得0x =
故A ，
AB ∴的一个三分点坐标为，该点在椭圆上，
2
1
=
，
即22
1139)
(1
k k
+=+，
解得22
k=，从而有
2
2
2
b
a
=，22
2
b a
=，
解得
c
e
a
=
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.
9．D
【详解】
试题分析：
11
()()()
99
m n ns mt
s t s t m n
s t t s
+=++=++
+
1
(4
9
≥+
，由题意
1
(48
9
+=，所以4
mn=，又4
m n
+=，故2
m n
==，设弦的两端点为
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则
22
111
28
x y
-=，
22
221
28
x y
-=，两式相减得12121212
()()()()
28
x x x x y y y y
+-+-
-=，所以
1212
1212
8()824
4
2()224
y y x x
k
x x y y
-+⨯⨯
====
-+⨯⨯
，选D．
考点：基本不等式，圆锥曲线的弦中点问题．
10．C
【分析】
由直线
1
:0
l mx y m
-+=与直线
2
:10
l x my
+-=的交点为Q，得到两直线的交点Q满足
221
x y
+=，设(cos,sin)
Qθθ
，则
1
QF
2
QF
12
QF QF=
【详解】
由椭圆的方程
22
1
52
x y
+=
，可得其焦点为
1
(
F F，
又由直线
1
:0
l mx y m
-+=与直线
2
:10
l x my
+-=的交点为Q，可知两直线经过分别经过定点
(1,0),(1,0)-，且两直线12l l ⊥，
所以两直线的交点Q 满足221x y +=，
设(cos ,sin )Q θθ，则1QF =
同理可得2QF =
所以12QF QF = 当2cos 1θ=时，12QF QF 取得最小值2， 当2cos 0θ=时，12QF QF 取得最大值4， 所以12QF QF 的取值范围是[]2,4，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单的几何性质的应用，以及直线与圆的方程的应用，其中解答中根据直线的方程，得出点Q 的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 11．7 【分析】
根据焦点弦公式，直接代入即可得解. 【详解】
由题知，12||527AB x x p =++=+=． 故答案为：7 【点睛】
本题考查了焦点先公式，是公式概念题，属于简单题.
12．221124x y +=
【分析】
实轴长为()0,A c y ，代入方程中即可求解. 【详解】
解：由题知2a =a =
设()0,A c y ，代入椭圆22
22
:1x y C a b +=， 即220221y c a b +=，解得2
0b y a
=±，
所以22||2
b AB a =⋅=2b =， 所以椭圆C 的方程为22
1124
x y +=. 故答案为：22
1124
x y +=. 【点睛】
考查椭圆标准方程的求法，基础题．
13-
【分析】
由已知条件可得点N 坐标，然后利用椭圆定义122NF NF a +=进行计算可得离心率.
【详解】
以12F F 为斜边的等腰直角三角形12PF F 与椭圆有两个不同的交点M ，N 且1213
MN F F =， 12(,)33N c c ∴，
122NF NF a +=2a =，
c e a ∴===
-
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，属于基础题.
14．12 22412575
x y += 【分析】
设椭圆的左焦点为1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，由椭圆定义得12210PF PF a +==，
得5a =；
由222291612525t t b b +=⇒=，得1132PF =，同理得272
PF ==，解得52
c =，从而解得离心率和方程. 【详解】
设椭圆的左焦点为1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，点(3,)P t 在椭圆上，由椭圆定义可得122 6.5 3.510PF PF a +==+=，
5a ∴=，1PF ∴222291612525t t b b +=⇒=，于是得到
1136.52
PF ==，
同理得273.52PF =，联立两式可得到52c =，12c e a ∴==，222754
b a
c =-=， ∴椭圆方程为
22412575x y +=． 故答案为：12，22412575
x y +=. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及定义的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．
15．22
1312
x y -= 2y x =± 【分析】
设双曲线C 的方程为2
24
y x λ-=，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程； 【详解】
解：设双曲线C 的方程为2
24
y x λ-=，将点(2,2)代入上式，得3λ=-， C ∴的方程为22
1312
x y -=，其渐近线方程为2y x =±． 故答案为：22
1312
x y -=；2y x =± 【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，属于基础题．
16．3a ±
【分析】
利用抛物线的定义即可求解m ，代入到方程中求n 即可.
【详解】
解：24(0)y ax a =>的焦点(),0a ，准线x a =-， 由题意得4432
p m a m a a m a +=⇒+=⇒=，
代入抛物线方程得n =±
故答案为：3a ；±．
【点睛】
考查抛物线的定义的应用，基础题.
17．1y x =-- 14-
【分析】
容易直接写出MN 的方程；联立MN 和抛物线的方程，求出M ，N 两点，由直线l 与抛物线相切，求出直线l 的方程，表示出P 的坐标，表示出PM PN ⋅即可求其最小值.
【详解】
解：依题意可知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，由于直线的斜率为1-，
故直线方程为(1)y x =--，即+1y x =-，
由214y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得(32M +--，(32N --+． 设直线l 的方程为y x b =-+，
由24y x b y x
=-+⎧⎨=⎩，化简得22(24)0x b x b -++=， 由于直线和抛物线相切，判别式22(24)40b b ∆=+-=，
解得1b =-，
故直线l 的方程为1y x =--．
设直线l 上任意一点的坐标1(),P x x --，
()
=,1PM x x --，()
=3,1PN x x --+，
代入PM PN ⋅得222862(2)14PM PN x x x ⋅=--=--，
当2x =时，取得最小值为14-
故答案为：1y x =--；14-．
【点睛】
以直线和抛物线的位置关系为载体，考查抛物线切线的求法以及向量数量积的最小值，基础题.
18．（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由题意可知，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点在x 轴上，22c =，1c =，椭圆的离心
率c e a =
a （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y
，A ，分类讨论，当斜率不存在时，不合题意， 当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得到12,x x 关系，代入,AP AQ 斜率和公式，即可证明结论.
【详解】
（1）由题意可知，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点在x 轴上， 22c =，1c =
，椭圆的离心率c e a ==
则a 2221b a c =-=， 则椭圆的标准方程2
212
x y +=； （2）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y
，A ，
当斜率不存在时，x
由题意PQ
的方程，(y k x =
则联立方程22(12
y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
整理得，222(21)(1)4820k x k x k k +-++++=，
2222132(1)4(482)(21)3280,4
k k k k k k k ∆=+-+++=--><-，
由韦达定理可知12x x +=212248221k k x x k ++=+，
则1212()y y k x x +=+--，
则由AP AQ k k +==
12211221((y x y x k x x k x x ⎡⎡+=+⎣⎣
12122421)(2)1
k kx x k x x k =++=-+，
AP AQ k k +=
241k -
== ∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1．
【点睛】
本题考查了利用根据离心率和焦点等基本量求椭圆方程，考查了直线和椭圆的联立以及利用韦达定理搭桥，联系各个量之间的关系，题型是直线和圆锥曲线的定值问题，思路相对明确，但要求交高的计算能力，属于较难题.
19．（1）24y x =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）本题可将()1,2A 代入抛物线方程中求出p 的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设()11,M x y 、()22,N x y 以及直线MN 的方程23x t y ，然后通过联立直线MN 的方程与抛物线方程即可得出124y y t +=、12812y y t =--，最后通过1212122211
y y k k x x 并化简即可得出结果. 【详解】
（1）因为抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，
所以42p =，2p =，抛物线方程为24y x =.
（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为2
3x t y ，
联立()2234x t y y x
⎧=++⎨=⎩，整理得248120y ty t ---=， 21632480t t ∆=++>，124y y t +=，12812y y t =--， 则121212*********
211114
4y y y y k k y y x x 12121616
22481284y y y y t t ，
故12k k ⋅为定值2-.
【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，通过联立直线的方程与抛物线方程以及韦达定理得出12y y +、12y y 的值是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
20．（1）2
214
x y +=；（2）证明见解析． 【分析】
（1）根据条件列方程组，解得21a b =
⎧⎨=⎩
即可； （2）先设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理化简直线OP 与OQ 的斜率乘积，最后根据直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，列方程解得结果.
【详解】
（1）由题意可得222221314c a
a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得21a b =⎧⎨=⎩， 故椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，
由2214
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 直线l 与椭圆C 交于两点，
2222226416(14(1)16(41)0)k m k m k m ∴∆=-+-=-+>．
设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122814km x x k -+=+，2122
4(1)14m x x k -=+， 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++．
直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，
22
2
2112122112)(y y k x x km x x m k x x x x +++∴=⋅=， 整理得212()0km x x m ++=，
22
228014k m m k
-∴+=+， 又0m ≠，214
k ∴=， 结合图形可知12
k =-，故直线l 的斜率为定值． 【点睛】
本题考查椭圆方程、直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解论证能力，属中档题.
21．（1）2212
x y +=；（2
）⎡⎤⎣⎦. 【分析】
（1）设(,)P x y ，11(,)A x y ，由椭圆对称性可得11(,)B x y -，再由平面向量数量积的坐标表示
可得2211y y =+，代入椭圆方程化简即可得解；
（2）按照直线1l 斜率是否存在分类；当斜率存在时，可设方程为y kx m =+，与2C 的方程联
立可得2221k m +=、21,k M m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，设11(,)D x y ，22(,)E x y ，与1C 方程联立，结合韦达定理、弦长公式可得||DE
，进而可得||||DE OM ⋅=. 【详解】 （1）设(,)P x y ，11(,)A x y ，则由题知11(,)B x y -，1x x =，
1(0,)PA y y ∴=-，1(0,)PB y y =--，
11())1(PA PB y y y y ∴⋅=--=--，2211y y ∴=+，
由11(,)A x y 在椭圆221:
142x y C +=上可得2211142
x y +=， 所以221142x y ++=， 故点P 的轨迹2C 的方程为2
212
x y +=； （2）当直线1l
的斜率不存在时，||2,||DE OM =
||||DE OM ⋅=
当直线1l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，11(,)D x y ，22(,)E x y ，00(,)M x y ， 联立2212
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简可得222(21)4220k x kmx m +++-=， 令0∆=可得2221k m +=， 则022221km k x k m --==+，01y m =，所以21,k M m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，OM 联立2214
2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简可得222(21)4240k x kmx m +++-=，>0∆， 所以122212224421244221km k x x k m m x x k m --⎧+==⎪⎪+⎨-⎪==-⎪+⎩
， 则||||DE OM
⋅=
==， 令2211k t +=≥，则212
t k -=，
所以||||DE OM ⋅=
22==1(0,1]t ∈， 所以当112
t =时，即212k =时，||||DE OM ⋅取最大值3， 当11t
=时，即0k =时，||||DE OM ⋅
取最小值
综上，||||DE OM ⋅的取值范围为⎡⎤⎣⎦．
【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求解及直线与椭圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
22．（Ⅰ）22
143
x y +=；（Ⅱ）存在定点R （4，0）满足题设. 【分析】
（Ⅰ）求出圆心A ，通过|NM |＝|NB |，推出点N 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a ，c ，即可求解椭圆方程．（Ⅱ）设存在点R （t ，0）满足题设，联立直线y ＝k （x ﹣1）与椭圆方程，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理，通过直线RP 与直线RQ 的斜率之和为零，即可得到t 的值．
【详解】
解：（Ⅰ）圆A ：（x+1）2+y 2=16，圆心A （-1，0），由已知得|NM|=|NB|，
又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，
所以由椭圆的定义知点N 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，
设其标准方程C ：22
221x y a b
+=，则2a=4，2c=2，所以a 2=4，b 2=3， 所以曲线C ：22
143
x y +=； （Ⅱ）设存在点R （t ，0）满足题设，联立直线y=k （x-1）与椭圆方程22
143
x y +=， 消去y ，得（4k 2+3）x 2-8k 2x+（4k 2-12）=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则由韦达定理得2122843
k x x k +=+①，212241243k x x k -=+②， 由题设知OR 平分∠PRQ ⇔直线RP 与直RQ 的倾斜角互补，
即直线RP 与直线RQ 的斜率之和为零，即12120y y x t x t
+=--，即()1221120x y x y t y y +-+=，即2kx 1x 2-（1+t ）k （x 1+x 2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化简得()24043
t k k -=+，即（t-4）k=0④， 所以当k 变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R （4，0）满足题设.
【点睛】
本题考查利用椭圆定义求轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在性问
题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力．。