八年级上数学第十二章-十三章图形拔高题(含答案)

八年级上数学第十二章-十三章图形拔高题（含答案）
一．选择题
1．（2012秋•丹江口市期末）如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正确的判断有（）
A．只有①②B．只有③④C．只有①③④ D．①②③④
二．填空题
2．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为
3．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP 为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是
三．解答题
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明
5．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．
（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；
（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．
（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．
6．已知△ABC是等边三角形，点D是BC边所在直线上的一个动点，以AD为边，作等边△ADE（点E
始终在直线AD的右方），连接CE．
（1）当点D在BC边上，求证：BC=DC+CE；
（2）当点D在BC的延长线上时，BC=DC+CE是否成立，请说明理由；
（3）当点D在CB的延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，请你画出符合条件的图形，并直接写出成立的结论．
7．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求∠A；
（3）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（4）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．
9．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF=2∠EDC，交AD于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）如图2，BF的延长交AC于点G．若∠DAC=∠CBG，延长AC至点M，使GM=AB，连接BM，点N 是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．
10．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够使△BPD≌△CQP？
（2）若点Q以（1）中的运动速度从点C出发，点P仍以3厘米/秒的运动速度从点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC三边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
11．数学活动课上，老师提出了一个问题：已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一动点（点E不与点A，C重合），F在BC边的延长线上，连接BE、EF，使CF=AE，如图1，若E是AC边的中点时，试猜想线段BE与EF的数量关系．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题，写出结论并证明
（2）提出问题：一小组受此问题的启发，提出问题，如图2，若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？请解决该小组提出的问题，并给出证明
（3）问题拓展：老师要求其他小组向一小组同学学习，仿照前两种情况提出问题，二小组提出问题：如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？任务：请回答二小组所提出的问题，不必证明
12．（2015•江西三模）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，
∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=；
（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；
（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由。

（画图不写作法）
13．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，确定∠EAF的度数。

参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②S△PAC：S△PAB=AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP=FC；其中正确的判断有（）
A．只有①②B．只有③④C．只有①③④ D．①②③④
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】利用角平分线的性质对①②③④进行一一判断，从而求解．
【解答】解：①∵AP平分∠BAC
∴∠CAP=∠BAP
∵PG∥AD
∴∠APG=∠CAP
∴∠APG=∠BAP
∴GA=GP
②∵AP平分∠BAC
∴P到AC，AB的距离相等
∴S△PAC：S△PAB=AC：AB
③∵BE=BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE（三线合一）
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上
∴∠DCP=∠BCP
又PG∥AD
∴∠FPC=∠DCP
∴FP=FC
故①②③④都正确．
故选D．
【点评】此题综合性较强，主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质等．
二．填空题
2．如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为3．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】压轴题．
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴×10•CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为3．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
3．如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP 为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是2．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解．【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP．
∴△ODC≌△POA．
∴AP=OC．
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案为：2．
【点评】解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．
三．解答题
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再证出∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，由含30角的直角三角形的性质得出AE=AD，AF=AD，即可得出结论；
（2）连接BD，证明△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠ABD=∠DAC，得出∠EDB=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=∠ADF=90°﹣60°=30°，
∴AE=AD，AF=AD，
∴AE+AF=AD+AD=AD；
（2）解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE+AF=AD，理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠ABD=∠DAC，
∵∠EDB+∠EDA=∠EDA+∠ADF=60°，
∴∠EDB=∠ADF，
在△BDE与△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AE+BE=AD，
∴AE+AF=AD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP．直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．
（1）当点P在BD上时（如图①），求证：CF=BE+EF；
（2）当点P在DC上时（如图②），CF=BE+EF还成立吗？若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系（不需要证明）．
（3）若直线BE的延长线交直线AD于点M（如图③），找出图中与CP相等的线段，并加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）如图①，先利用等角的余角相等得到∠ACF=∠BAE，则可根据“AAS”判定△ACF≌△BAE，得到AF=BE，CF=AE，由于AE=AF+EF，所以CF=BE+EF；
（2）如图②，与（1）一样可证明△ACF≌△BAE得到AF=BE，CF=AE而AE=AF﹣EF，易得CF=BE﹣EF；
（3）先判断△ABC为等腰直角三角形，由于点D是BC的中点，则AD⊥BC，再利用等角的余角相等得到∠1=∠3，则可根据“ASA”判判断△AEM≌△CFP，于是得到AM=CP．
【解答】（1）证明：如图①，
∵AF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFC=90°，∠AEB=90°，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
而∠CAF+∠BAE=90°，
∴∠ACF=∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF=BE，CF=AE，
而AE=AF+EF，
∴CF=BE+EF；
（2）解：CF=BE+EF不成立．
如图②，
与（1）一样可证明△ACF≌△BAE，
∴AF=BE，CF=AE，
而AE=AF﹣EF，
∴CF=BE﹣EF；
（3）CP=AM．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEM和△CFP中，
，
∴△AEM≌△CFP（ASA），
∴AM=CP．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
6．已知△ABC是等边三角形，点D是BC边所在直线上的一个动点，以AD为边，作等边△ADE（点E 始终在直线AD的右方），连接CE．
（1）当点D在BC边上，求证：BC=DC+CE；
（2）当点D在BC的延长线上时，BC=DC+CE是否成立，请说明理由；
（3）当点D在CB的延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，请你画出符合条件的图形，并直接写出成立的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；
（2）不成立，由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；
（3）不成立，由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）不成立，BC+CD=CE成立．
理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）不成立，DC=CE+BC成立．
理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵DC=BD+BC，
∴DC=CE+BC．
符合条件的图形如图所示：
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
7．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）求证：△ACD≌△BCD；
（2）求∠A；
（3）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（4）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）通过全等三角形的判定定理SSS证得△ACD≌△BCD；
（2）由等腰直角三角形的性质可以求得∠A=45°；
（3）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（4）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【解答】（1）证明：如图，∵D是AB的中点，
∴AD=BD．
∵在△ACD与△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；
（2）解：如图，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，即∠A=45°；
（3）证明：如图1，∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（4）解：BE=CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
8．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于
点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的
性质．
【专题】证明题．
【分析】连接PB，PC，根据角平分线性质求出PM=PN，根据线段垂直平分线求出PB=PC，根据HL证Rt△PMC≌Rt△PNB，即可得出答案．
【解答】证明：连接PB，PC，
∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，
∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，
∵P在BC的垂直平分线上，
∴PC=PB，
在Rt△PMC和Rt△PNB中
，
∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，角平分线性质等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
9．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF=2∠EDC，交AD于点F．
（1）求证：△ABF是等腰三角形；
（2）如图2，BF的延长交AC于点G．若∠DAC=∠CBG，延长AC至点M，使GM=AB，连接BM，点N 是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）先利用等腰三角形ABC，得出∠ABD=∠ACD，再利用三角
形外角定理得出∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，
再结合∠ABF=2∠EDC，即可求出结论．
（2）延长CA至点H，使AG=AH，连接BH，由三角形中位线定理得出AG=BH，再得出△ABC是等边三角形，易证△BAH≌△BCM，可得出BH=BM，即可得出结论AG=BM．
【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=2∠EDC，
∵∠ABF=2∠EDC，
∴∠BAD=∠ABF，
∴△ABF是等腰三角形；
（2）如图2延长CA至点H，使AG=AH，连接BH，
∵点N是BG的中点，
∴AN=BH，
∵∠BAD=∠ABF（1）中已证明，∠DAC=∠CBG，
∴∠CAB=∠CBA，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∠BAC=∠BCA=60°，
∵GM=AB，AB=AC，
∴CM=AG，
∴AH=CM，
在△BAH和△BCM中，
∴△BAH≌△BCM（SAS），
∴BH=BM，
∴AN=BM．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，得出第（2）题中△ABC是等边三角形．
10．如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够使△BPD≌△CQP？
（2）若点Q以（1）中的运动速度从点C出发，点P仍以3厘米/秒的运动速度从
点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC三边运动，经过多长时间点P与点Q第
一次在△ABC的哪条边上相遇？
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】（1）△BPD≌△CQP需满足BP=CP，BD=CQ，设点Q的速度为v，经过t秒分别利用BP=CP，BD=CQ建立方程组可得出结果；
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，两点相遇时，路程差为10+10，即可求出时间x的值，确定P 的运动路程，根据一周的长度算出答案即可．
【解答】解：（1）设点Q的速度为v，经过t秒△BPD与≌△CQP．
要使△BPD≌△CQP，必须满足BD=CQ，BP=PC，
即，
解得．
答：点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD≌△CQP．
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意得
x=3x+2×10，
解得x=，
点P共运动了×3=80厘米，
80÷（8+10+10）=2（周）…24厘米，
这时在AB上．
答：经过秒，点P，Q在第一次在边AB上相遇．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；特别是利用分类讨论的方法讨论三角形全等的情况，培养学生综合解题的能力．
11．数学活动课上，老师提出了一个问题：已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一动点（点E不与点A，C重合），F在BC边的延长线上，连接BE、EF，使CF=AE，如图1，若E是AC边的中点时，试猜想线段BE与EF的数量关系．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题，写出结论并证明
（2）提出问题：一小组受此问题的启发，提出问题，如图2，若点E是线段AC上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？请解决该小组提出的问题，并给出证明
（3）问题拓展：老师要求其他小组向一小组同学学习，仿照前两种情况提出问题，二小组提出问题：如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变，则线段BE、EF之间有什么数量关系？任务：请回答二小组所提出的问题，不必证明
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后根据
等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）图3，证明思路与方法与图2完全相同．
【解答】（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）答：猜想BE=EF．
证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE与△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF；
（3）BE=EF．
证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
在△BGE与△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．
12．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=60°；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=45°；
（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；
（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）、（2）结合图3解决一般性问题：根据已知条件易证△ABE≌△ADC（SAS），得BE=CD，从而有BF=DG．连接AG，可证明△BAF≌△DAG，得∠GAF=∠DAB．根据等腰三角形性质及三角形内角和定理，已知∠DAB的度数，可求∠AFG的度数．
（3）依题意画图；延长CN于H，使NH=MC．构造出△ANH与△AMC全等，运用全等三角形性质，结合三角形内角和定理求解．
【解答】（1）解：60°；45°…（2分）
（2）…（3分）
证明：连接AG．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE．
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE…（4分）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE．
又G、F为中点，
∴DG=BF，
∴△DAG≌△BAF…（5分）
∴∠DAG=∠BAF．
∴∠GAF=∠DAB=α，
∴…（6分）
（3）解：如图．
延长CN于H，使NH=MC，连接AH．
∵NC⊥BC，∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠ANC=180°…（7分）
∵∠ANH+∠ANC=180°，
∴∠AMC=∠ANH…（8分）
在△AMC与△ANH中，
．
∴△AMC≌△ANH（SAS），
∴AC=AH，∠MAC=∠NAH…（9分）
∴∠HAC=∠MAN=90°．
∴∠ACH=45°，
∴∠ACB=45°…（10分）
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，综合性强，难度大．
13．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠EAG．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∴∠BAE=∠B，
同理可得∠CAF=∠C，
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF﹣∠BAC=∠B+∠C﹣∠BAC=20°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是先求出∠B+∠C．。