北师大版初三二次函数知识点及练习

北师大版初三二次函数知识点及练习
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地；形如2
y ax bx c =++（a b c ，
，是常数；0a ≠）的函数；叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似；二次项系数0a ≠；
而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数
2
y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数；右边是关于自变量x 的二次式；x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数；a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项． 例1（基础）.二次函数
2
365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1；8） B.（1；8） C （-1；2） D （1；-4）
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示；反比例函数y ＝ a
x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
2、若二次函数52++=bx x y 配方后为
k x y +-=2
)2(则b 、k 的值分别为（ ） A .0 5 B .0. 1 C.-4. 5 D.-4. 1
3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥；当水面在l 时；拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ；水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系；则抛物线的关系式是（ ）
A ．2y ax bx c =++
B ．2y ax bx c =++
C ．2y ax bx c =++
D ．
2y ax bx c =++
4、已知二次函数的图象如图所示；则这个二次函数的表达式为（ ）
A ．
2
23y x x =-+ B ．
2
23y x x =--
C ．2
23y x x =+-
D ．
2
23y x x =++
5. 若
2
y ax bx c =++；则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ）
Ａ．43y x x =-+Ｂ．34y x x =-+Ｃ．
33y x x =-+
Ｄ．
2
48y x x =-+
6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉；其中一支高为1米的喷水管喷
水最大高度为3米；此时喷水水平距离为 1
2米；在如图4所示的坐标系中；这支喷泉满足的函数关系式是（ ）A ）21()32y x =--+ （B ）21
3()1
2y x =-+（
C ）218()32y x =--+ （
D ）
21
8()3
2y x =-++
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
2
y ax
=的性质：
a 的绝对值越大；抛物线的开口越小。

2.
2
y ax c
=+的性质：上加下减。

3.
()2
y a x h
=-的性质：
左加右减。

4.
()2
y a x h k
=-+的性质：
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k
=-+；确定其顶点坐标
()h k ，；
⑵ 保持抛物线2
y ax =的形状不变；将其顶点平移到()h k ，处；具体平移方法如
下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移；负左移；k 值正上移；负下移”． 概括成八个字“左加右减；上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位；
c bx ax y ++=2
变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位；
c bx ax y ++=2
变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
考点1.二次函数的平移
例2 已知；在同一直角坐标系中；反比例函数5
y x =
与二次函数2
2y x x c =-++的
图像交于点(1)A m -，．
（1）求m 、c 的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位；得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一
1.对于抛物线y=13-
x 2+103x 16
3-；下列说法正确的是（ ）
A.开口向下；顶点坐标为（5；3）
B.开口向上；顶点坐标为（5；3）
C.开口向下；顶点坐标为（-5；3）
D.开口向上；顶点坐标为（-5；3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0；-3）；则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1
C.当x=1时；y 的最大值为-4
D.抛物线与x 轴交点为（-1；0）；（3；0）
3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度；再向下平移2个单位长度后；所得图象的函数表达式是________.
4.小明从图2所示的二次函数
2
y ax bx c =++的图象中；观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->；你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1.若已知抛物线上三点的坐标；则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；
2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标；则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；
3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点；则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）.
例2 已知抛物线的图象以A （-1；4）为顶点；且过点B （2；-5）；求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2；0）、B （1；0）；且经过点C （2；8）.
（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1.由于世界金融危机的不断蔓延；世界经济受到严重冲击.为了盘活资金；减少损失；某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ；降价后的价格为y 元；原价为a 元；则y 与x 之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a （x-1）
B.y=2a （1-x ）
C.y=a （1-x 2）
D.y=a （1-x ）2
2.如图2；在平而直角坐标系xOy 中；抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两
点；点A 在x 轴负半轴；点B 在x 轴正半轴；与y 轴交于点C ；且tan ∠ACO=1
2；
CO=BO ；AB=3；则这条抛物线的函数解析式是 ．
3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0；-2）；且x=1时；y=3；x=-1时y=1；
求此抛物线的关系式.
4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，
；(23)B -，；(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位；使得该图象的顶点在原点．
四、二次函数
()2
y a x h k
=-+与
2
y ax bx c =++的比较 从解析式上看；
()2
y a x h k
=-+与2
y ax bx c =++是两种不同的表达形式；后者通过配方可以得到前者；即2
2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪
⎝⎭；其中
2
424b ac b h k a a -=-=，．
五、二次函数
2
y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2
()y a x h k =-+；确
定其开口方向、对称轴及顶点坐标；然后在对称轴两侧；左右对称地描点画图.一般我
们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点
()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点
()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，；()20x ，（若与x 轴没有交点；则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向；对称轴；顶点；与x 轴的交点；与y 轴的交点.
六、二次函数
2
y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时；抛物线开口向上；对称轴为2b
x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．
当
2b x a <-
时；y 随x 的增大而减小；当2b
x a >-
时；y 随x 的增大而增大；当
2b
x a =-
时；y 有最小值244ac b a -．
2. 当0a <时；抛物线开口向下；对称轴为
2b
x a =-
；顶点坐标为
2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当
2b x a <-时；y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时；y 随x 的增大而减小；当
2b
x a =-
时；y 有最大值244ac b a -．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
2y ax bx c =++（a ；b ；c 为常数；0a ≠）；
2. 顶点式：
2
()y a x h k =-+（a ；h ；k 为常数；0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠；1x ；2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式；但并非所有的二次函数都
可以写成交点式；只有抛物线与x 轴有交点；即2
40b ac -≥时；抛物线的解析式
才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
专项练习三
1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点；则k 的取值范围是________.
2.已知二次函数
2
2y x x m =-++的部分图象如图2所示；则关于x 的一元二次方程2
20x x m -++=的解为 ．
3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示；那么关于2
y ax bx c =++的方程
2y ax bx c =++ 的根的情况是（ ）
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
4. 二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示；根据图象解答下列问题：
（1）写出方程2
0ax bx c ++=的两个根．
（2）写出不等式
20ax bx c ++>的解集． （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
（4）若方程2
ax bx c k ++=有两个不相等的实数根；求k 的取值范围．
八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况；可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后；得到的解析式是
2
y ax bx c =---； ()2
y a x h k
=-+关于x 轴对称后；得到的解析式是
()2
y a x h k
=---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后；得到的解析式是
2y ax bx c =-+； ()2
y a x h k
=-+关于y 轴对称后；得到的解析式是()2
y a x h k
=++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后；得到的解析式是
2
y ax bx c =-+-；
()2
y a x h k
=-+关于原点对称后；得到的解析式是
()2
y a x h k
=-+-；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
y ax bx c =++关于顶点对称后；得到的解析式是
2
2
2b y ax bx c a =--+-； ()2
y a x h k
=-+关于顶点对称后；得到的解析式是()2
y a x h k
=--+．
5. 关于点(
)
m n ，对称
()2
y a x h k
=-+关于点()m n ，对称后；得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质；显然无论作何种对称变换；抛物线的形状一定不会发生变化；
因此a
永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时；可以依据题意或方便运算的原则；选择合适的形式；习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向；再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向；然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程2
0ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时；图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()
x x ≠；其中的
12x x ，是一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠
的两根．这两点间的距离
21AB x x =-=
.
② 当0∆=时；图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时；图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时；图象落在x 轴的上方；无论x 为任何实数；都有0y >； 2' 当0a <时；图象落在x 轴的下方；无论x 为任何实数；都有0y <．
2. 抛物线
2
y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交；交点坐标为(0；)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数
2
y ax bx c =++中a ；b ；c 的符号；或由二次函数中a ；b ；c 的符号判断图象的位置；要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称；可利用这一性质；求和已知一点对称的点坐
标；或已知与x 轴的一个交点坐标；可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式；二次三项式
2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例；揭示二次函数、二次三项式和一元二次方
程之间的内在联系：
二次函数图像参考：
课后巩固练习：
1、把抛物
线2
x y =向
右平移1个
单位；所得
抛物线的函数表达式为（ ）
A 12+=x y
B ()2
1+=x y C
12-=x y D ()2
1-=x y 2、在平面直角坐标系中；将二次函数2
2x y =的图象向上平移2个单位；所得图象的
解析式为( )
A ．222-=x y
B ．222+=x y
C ．2)2(2-=x y
D ．2
)2(2+=x y
3、把抛物线2
y x =-向左平移1个单位；然后向上平移3个单位；则平移后抛物线的解
析式为（ ）.
A ．
2
(1)3y x =--- B ．
2
(1)3y x =-+- y=3(x+4)2
2
y=3x 2
2
y=-2x 2
y=-2(x-3)2
2-3
2
C ．
2
(1)3y x =--+ D ．
2
(1)3y x =-++ 4、抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是（ ）
A ．2y ax bx c =++
B ．2y ax bx c =++
D ．2y ax bx c =++
D ．2y ax bx c =++
5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示；若点A(1,y 1)、B(2,y 2)是它图象上的两点；则y 1与y 2的大小关系是（ ）
(A) y 1＜y 2 (B) y 1=y 2 (C) y 1＞y 2 (D)不能确定
6、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
7、根据下表中的二次函数2
y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值；可判断该二次
函数的图象与x 轴（ ）．
A ．只有一个交点
B ．有两个交点；且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点；且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
8、已知二次函数2y ax bx c =++的2y ax bx c =++与2
y ax bx c =++的部分对应值如下
表：
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与2y ax bx c =++轴交于负半轴
C ．当2y ax bx c =++＝4时；2y ax bx c =++＞0
D ．方程2
y ax bx c =++的正
根在3与4之间
9、已知二次函数
2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示；则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④
0a b c -+<；其中正确的个数（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示；给出以下结论：
①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13
x x =-=或时；函数y 的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
11、二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图所示；则下列关系式不正确的是（ ）.
A ．a ＜0 B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42
-＞0
12、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示；下列结论：①abc ＞0
②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0；其中正确结论的个数为（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 二、填空题
1、当x =_____________时；二次函数
2
22y x x =+-有最小值． 2、若把代数式2
23x
x --化为()
2
x m k
-+的形式；其中,m k 为常数；
则m k +=
.
3、函数(2)(3)y x x =--取得最大值时；x =______．
4、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点(31)
，； ②当0x >时；y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时；函数值小于2．
5、已知二次函数
2
y ax bx c =++的图象如图所示；则点()P a bc ，在第________象限．
三、解答题1
1、如图；已知二次函数
c
bx
x
y+
+
-
=2
2
1
的图象经过A（2；0）、B（0；－6）两
点。

（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C；连结BA、BC；求△ABC的面积。

2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示）；拱高6m；跨度20m；相邻两支柱间
的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示）；求抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）；其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
3、王强在一次高尔夫球的练习中；在某处击球；其飞行路线满足抛物线
21855y x x
=-+；其中y （m ）是球的飞行高度；x （m ）是球飞出的水平距离；
结果球离球洞的水平距离还有2m ．
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球；要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞；则球飞行路线应满足怎样的抛物线；求出其解析式．。