高数51定积分概念与性质

[a,
b]上的定积分,
记作
b
a
பைடு நூலகம்
f
(x)dx
i
即
b a
f
(x)dx
n
limf 0i1
(i
)xi
O
ax1
xi1 x i b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a, b] 称为积分区间
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(i )xi
积分下限 被 积 函 数
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四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
b
a
1. af(x)dxbf(x)dx
b
2. a dx ba
a
a f (x)dx0
b
b
3.akf(x)dxkaf(x)dx
n
i2
i 1
n131 6n(n1)2 (n1)注
注. 当n 较大时, 此值可作为
1(11)(21) 6n n
01 x2 dx 的近似值
0 1x2dxl i0m i n1i2xi
lim 1(11)(21) n 6 n n
y
y x2
1 3
O
i 1x
n
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例2. 用定积分表示下列极限:
三. 定积分的近似计算 例1
设 f(x ) C [a ,b ],则bf(x)d x存在 ,根据定积分定义 a
可得如下近似计算方法:
y
将 [a , b] 分成 n 等份: xbna,
x i a i x ( i 0 , 1 , , n )
记 f ( x i ) y i( i 0 , 1 , , n )
y
A1
A3
a
A2 O
A5
A4
bx
b
af(x )dxA 1 A 2A 3 A 4A 5
各部分面积的代数和
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可积的充分条件:
定理1. 函数 f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]可积 .
定理2. 函数 f(x)在 [a,b]上有 ,且界 只有有限个间断点
f(x)在[a,b]可积 . (证明略)
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3. 梯形公式
ab f (x)dx
y
n 1 i1
12[yi1yi]x
O a xi1x i
bx
b n a 1 2 (y 0 y n ) (y 1 y n 1 ) y
4. 抛物线法公式 推导
ab f (x)dx
Oa
b 6 m ay0y2 m 4im 1y2 i 1 2 m i 1 1y2 xi0
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3) 近似和.
n
s v(i)ti
i1
4) 取极限 .
n
sl im0 i1v(i)ti
(maxti) 1in
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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例1. 利用定义计算定积分 1 x 2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
y
(i 0 ,1 , ,n )
y x2
取 i
i n
,
xi
1 n
( i 1 ,2 , ,n )
则f(i) x ii2 x i
i n
2 3
O
i 1x
n
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n
i1
f
(i )xi
1 n3
1. 左矩形公式
O
a
xi1x i
bx
ab f (x)dx y 0 x y 1 x y n 1 x
2. 右矩形公式
b n a ( y 0 y 1 y n 1 )
ab f (x)dx y 1 x y 2 x y n x
b n a (y 1 y 2 y n )
二、定积分定义 (P225 )
设函 f(x)定 数义 [a,b]上 在 ,若对 [a,b]的任一种分法
a x 0 x 1 x 2 x n b ,令 xixixi 1,任取
n
i[xi,xi1],只要 m{ axx i} 0时 , f (i )xi
1in
i 1
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间
(1)
lim1 n
nni1
1i n
(2)nl i m 1p2p n p 1 np
解:
(1)
lim1 n
nni1
1ni nl im in1
1i 1 nn
xi
1
0 1xdx
O
i
i1 i
1x
nn
(2)
nl i m 1p2p n p 1 npnl imin1
i n
p 1
n
xi
1x p dx 0
i
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被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
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定积分的几何意义:
b
f(x)0, af(x)dxA
曲边梯形面积
f(x)0,
b
af(x)dxA
曲边梯形面积的负值
6 0.6
用抛物线法公式得 I3.141597 0.7
积分准确值为
8 0.8
I0 114x2dx3.1415 912 90 601..90
yi 4.00000 3.96040 3.84615 3.66972 3.44828 3.20000 2.94118 2.68456 2.43902 2.20994 2.00000
高数51定积分概念与性质
•
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v (t) C [ T 1 ,T 2 ],且 v(t)0,求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小. 在 [T 1,T 2]中任n意 1个 插 分 ,将入 它分点 成
n 个小段 [ ti 1 ,ti]( i 1 ,2 , ,n ) ,在每个小段上物体经 过的路程为 si(i 1 ,2 , ,n )
2) 常代变. 任i取 [ti 1,ti],以v(i)代替变,速得
siv(i)ti ( i 1 ,2 , ,n )
x2i2x2i1x 2 i
bx x2m
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例3. 用梯形公式和抛物线法公式 i xi
计算定积分
I
14 01x2
dx的近似值.
0 1
0.0 0.1
(取 n = 10, 计算时取5位小数)
2 0.2
解:计算yi(见右表)
3 0.3 4 0.4
用梯形公式得
I3.139935 0.5