小学数学竞赛学习材料(六年级上期)

小学数学竞赛学习材料
六年级上期
第一讲 速算与巧算(一)
例1 计算 20061＋20062＋20063＋…＋20062004＋2006
2005。

解法一：观察发现，第一个加数与倒数第一个加数的和等于1；第二个加数与倒数第二个加数的和也等于1；……由此推知，第1002个加数与第1004
个加数的和也等于1；还剩下第1003个加数20061003等于2
1。

所以 原式＝(20061＋20062005)＋(20062＋20062004)＋…＋(20061002＋2006
1004)＋20061003＝1×1002＋21＝10022
1。

解法二：观察发现，分子是自然数列，于是 原式＝200622005)20051(÷⨯+＝2006
220052006÷⨯＝2005÷2＝100221。

解法三：因为第1003个加数就是这2005个加数的平均数，于是 原式＝20061003×2005＝21×2005＝10022
1。

例2 计算 63÷34×51÷72×64÷36。

(1995年全国小学数学奥林匹克决赛题)
解：对数据进行观察分析后发现，式中的一些乘数和除数含有相同的因
数，因此，如果按照分数与除法的关系把原式变成6334×5172×6436
，计算就会比较简便，于是，原式＝6334×5172×6436＝213。

例3 三个最简真分数a 10、b 12、c 21的积等于12, 求这三个分数。

(上海市第一届“从小爱数学”小学数学邀请赛试题)
解：这三个最简真分数的积12
，肯定是约分后的结果，约分前的分母应该是 10×12×21＝2520，分子是2520÷2＝1260, 而 1260＝2×2×3×3×5×7，把这6个因数合并成3个因数，并且使这三个因数分别小于10、12、21，于是得到(3×3)×7×(2×2×5)＝9×7×20，所以这三个最简真分数是
10
9、127、2120。

例4 从141、110
1、47、13
2、1211、56六个数中选出三个数，分别记为A 、B 、C 。

要求选出的三个数使得A ×(B －C)尽量大，那么A ×(B －C)最大是多少？
解：要使A ×(B －C)尽量大，A 和(B －C)就要尽可能大，为此，让A 取最大数，B 取次大数，C 取最小数；或B 取最大数，C 取最小数，A 取次大数，进行试算。

先把六个数按照从大到小的顺序排列起来：
47＞132＞141＞56＞1101＞12
11 当A 取最大数47，B 取次大数132，C 取最小数12
11时，A ×(B －C)＝47×(132－1211)＝1621；当B 取最大数47，C 取最小数12
11，A 取次大数132时，A ×(B －C)＝132×(47－1211)＝1825。

因为1825＞16
21，所以A ×(B －C)是最大值是18
25。

练 习 一
1. 计算 321＋322＋323＋…＋32
31。

2．在括号里填入适当的数，使下列等式成立。

要求第(1)至(5)题每题中两个括号里的数必须相同，第(6)题四个括号里的数都相同。

(1)31×) (1＝31－) (1 (2)) (4×94＝) (4－9
4 (3)2×3) (＝2－3) ( (4)52×( )＝5
2－( ) (5)( )×71＝( )－71 (6)3) (×7) (＝3) (－3
) ( 3．计算 965＋9965＋99965＋999965＋9999965＋9999996
5。

4．计算 200531－200441＋200331－200241＋…＋131－4
1。

5．计算 112×113×114
×…×1991×11001。

6．计算 4131×43＋5141×54＋6151×6
5。

7．计算 76×(231－531)＋23×(531＋761)－53×(231－76
1)。

8．计算 9919＋9919×2＋9919×3＋…＋99
19×10。

9．计算 (9－3513×5)＋(8－3513×6)＋…＋(5－35
13×9)。

10. 计算 6913×38＋5716×76＋4614×45。

11．计算 (81＋241＋481＋801＋1201＋1681＋224
1)×64。

(吉林省小学数学邀请赛试题)
12. 计算 4×543＋5×654＋6×765＋7×876＋8×98
7。

(2002年全国小学数学奥林匹克预赛题)
第二讲 分数乘法应用题
例1 某校五年级参加数学竞赛的同学约有200多人，考试成绩得 90～
100分的占71，得80～89分的占51，得70～79分的占3
1，那么70分以下的有多少人？(2001年全国小学数学奥林匹克预赛题)
解：总人数应该是7、5、3的公倍数，7、5、3的最小公倍数是105，根
据题意总人数应该是105×2＝210(人)。

所以90～100分的有210×71＝30(人)，80～89分的有210×51＝42(人)，70～79分的有210×3
1＝70(人)，70分以下的有210－30－42－70＝68(人)。

答：70分以下的有68人。

例2 一满杯水溶有10g 糖，搅匀后喝去
3
2；添入6g 糖，加满水搅匀后再喝去32；又添入6g 糖，加满水搅匀后又喝去3
2；再添入6g 糖，加满水搅匀后再喝去3
2。

求此时杯中所剩的糖水中有多少克的糖？ 解：开始杯中的10g 糖在喝了4次以后还剩10×(31)4＝8110(g)。

第一次
加入的6g 糖，喝到最后还剩6×(31)3＝276＝9
2(g)。

第二次加入的6g 糖，喝到最后还剩6×(31)2＝96＝3
2(g)。

第三次加入的6g 糖，喝到最后还剩6×31＝2(g)。

所以最后杯中剩下的糖还有8110＋92＋32＋2＝381
1(g)。

答：最后杯中剩下的糖还有381
1(g)。

例3 甲有216个玻璃球，乙有54个同样的玻璃球。

两人互相给对方玻璃球，给了8次以后，甲的玻璃球的个数是乙的8倍。

平均每次甲少给乙多少个玻璃球？(山东省小学数学奥林匹克试题)
解：两人共有216＋54＝270(个)玻璃球，给了8次以后，甲的玻璃球的
个数是乙的8倍，也就是甲的玻璃球是总数的98，所以甲有270×9
8＝240(个)，乙有270－240＝30(个)，比原来少了54－30＝24(个)，平均每次甲少给乙24÷8＝3(个)。

答：平均每次甲少给乙3个玻璃球。

例4 有甲乙两个容器。

甲里面装了1kg 水，乙是空的。

第一次把甲中的水倒给乙12；第二次把乙中的水倒给甲31；第三次把甲中的水倒给乙41；第四次把乙中的水倒给甲5
1；照这样倒了2007次以后，甲容器中有多少水？ 解：按照题意计算出前几次倒过以后两个容器中水的数量，并注意观察有没有什么规律。

甲容器 乙容器
开始 1 0
倒了1次以后 ① 1－1×12＝12
(kg) ② 0＋21＝21(kg) 倒了2次以后 ③ 12＋12×31＝32(kg) ④ 1－32＝31(kg) 倒了3次以后 ⑥ 1－12＝12(kg) ⑤ 31＋32×41＝12
(kg) 倒了4次以后 ⑦ 12＋12
×51＝53(kg) ⑧ 1－53＝52(kg) 倒了5次以后 ⑩ 1－12＝12(kg) ⑨ 52＋53×61＝12
(kg)
观察发现，倒了奇数次以后，甲容器中总是有
12kg 水，所以倒了2007次以后，甲容器中有12
kg 水。

答：倒了2007次以后，甲容器中有
12kg 水。

练 习 二
1．有一堆梨不超过100个，分给幼儿园三个班的小朋友。

一班分到这堆梨总数的72，二班分到这堆梨总数的3
1，剩下的分给第三班。

又已知每班分到梨的个数都是整数，问：一班最多分到多少个梨？(天津市小学数学竞赛题)
2．某校六年级有二百多人参加了数学竞赛，结果其中18
1的人不到70分，71的人不到80分，4
1的人达到90分。

那么，得分在80到89分的有多少人？ 3．小明和小刚共有一百多本书。

如果小明给小刚一些本，小明的书就比小刚少73；如果小刚给小明同样多本，小刚的书就比小明少8
3。

小明和小刚共有多少本书？
4．一位老人有三个儿子。

老人临终前留下遗嘱：把他的17匹马的2
1分给大儿子，31分给二儿子，9
1分给小儿子。

老人死后，他的三个儿子为了分马的事犯了难，因为17既不能被2整除，也不能被3和9整除。

正当他们一筹莫展的时候，来了一位骑马的智者，很快帮他们解决了问题。

你知道这位智者是怎样帮他们分的吗？
5．我国古代思想家墨子说过：“一尺之棰(chu í), 日取其半, 万世不竭。

”意思是：一尺长的木棒(棰), 每天用去它的一半(还剩一半), 永远也用不完。

这种对无穷的思考, 体现了先哲非凡的智慧, 这是我们中华民族的骄傲!
为了领会这种思想，请算一算, 这根木棒用了 5 天, 还剩多少尺? 要是用了 6 天、7 天、……、10 天呢?
6．如图，先把直角三角形ABC 各边的中点连接起来，得到直角三角形DEF ，再把直角三角形DEF 各边的中点连接起来，得到直角三角形GHP 。

已知AC ＝32cm ，CB ＝24cm ，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
7. 一张等腰直角三角形纸，底长 10 cm ，把两个底角折进来后再对折(如图)，求对折后的面积。

→
8. 荣荣家买来一筐苹果，爸爸吃了其中的13，荣荣吃了其中的14
，剩下的都是妈妈吃的。

如果爸爸比荣荣多吃了3个苹果，那么，妈妈吃了多少个苹果？（2004年浙江省小学数学竞赛试题）
9. 一块冰每小时失去其重量的一半, 8 小时之后其重量为5
16kg, 那么
一开始这块冰的重量是多少千克? (2000 年全国小学数学奥林匹克预赛题)
10．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移动两位，就是乙数的8
1。

那么，甲数是乙数的多少倍？(1992年全国小学数学奥林匹克初赛题)
11．澳门是世界上人口密度最大的地区之一，它由一个半岛和两个小岛
组成。

已知澳门的人口为43万，其中10
9的人居住在半岛上，半岛的面积为7km 2。

求：半岛上平均每平方千米有多少万人？(取两位小数)(第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)
12．三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。

他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。

当张强加工200零件的任务完成时，王充还有多少个零件没有加工？
第三讲 裂项相消法
例 1 计算 12＋16＋112＋120
＋…＋172＋190。

解：观察发现，第一个分数的分母是1×2的积；第二个分数的分母是2×3的积；第三个分数的分母是3×4的积……第九个分数的分母是9×10的
积。

因此, 每个加数都可以看成是两个分数的积，而经验告诉我们，像这样的两个分数的积等于它们的差。

即
12＝112
×＝11×12＝11－12 16＝123×＝12×13＝12－13 112＝134×＝13×14＝13－14 120＝541×＝14×51＝14
－51 ……
172＝981×＝81×91＝81－91 190＝1910
×＝19×110＝19－110 推广到一般情况，当n 为自然数时，)1(1+n n ＝n 1－11+n 。

进一步观察又发现, 最后得到的这些减法算式, 前一个算式的减数正好是后一个算式的被减数。

这就为原式的计算提供了极大的便利条件, 当按照变形后的结果相加时, 中间的那些“减数”、“被减数”全部相互抵消, 最
后只剩下11－110。

因此 原式＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(19－110) ＝1－21＋21－31＋31＋13－14
＋…＋91－101 ＝1－110
＝910。

例 2 计算 32－56＋712－920＋1130－1342＋1556－1772＋1990。

解：受例 1 的启发, 取出这些分数来研究。

32＝11＋12，56＝12＋13，712＝13＋14，……，1990＝19＋110。

观察发现, 上面这些加法算式, 前一个算式的第二个加数正好是后一个算式的第一个加数。

这就为原式的计算提供了极大的方便, 因为有一些加数要变成减数, 所以, 按照变形后的结果计算时, 中间的那些“加数”和“减
数”全部相互抵消, 最后只剩下 11＋110
, 即 原式＝(1＋12)－(12＋13)＋(13＋14)－…＋(19＋110
)
＝1＋
21－21－31＋31＋14－…＋19＋110
＝1＋110
＝1110。

上面所使用的方法，叫“裂项相消法”。

例3 计算 521⨯＋851⨯＋1181⨯＋14111⨯＋17141⨯＋20
171⨯。

解：参考例1的方法，如，521⨯＝21×51＝(21－51)×31；851×＝(5
1－81)×31。

一般地，当n 、d 都为自然数时，有)(d n n d +＝d 1(n
1－d n +1)。

于是， 原式＝31×(21－51＋51－81＋…＋17
1－201) ＝31×(21－20
1) ＝31×20
9 ＝20
3。

例4 计算1＋211+＋3211++＋43211+++＋…＋100
3211++++ 。

解：观察发现，从第二个加数开始，分母都等于从1开始的若干个自然数的和，因此，按照等差数列的求和公式得到：
原式＝1＋)21(22+⨯＋)31(32+⨯＋)41(42+⨯＋…＋)
1001(1002+⨯ ＝1＋2×(123×＋134×＋145
×＋…＋1011001×) ＝1＋2×(21－101
1) ＝1＋2×202
99 ＝1＋101
99 ＝1101
99。

练 习 三
1. 计算 112×＋123×＋134×＋＋156×＋167×＋178
×。

2. 计算 11112×＋11213×＋11314×＋11415×＋11516×＋11617
×。

3. 计算 112＋120＋130＋142＋156＋172。

4. 计算 119961997×＋119971998×＋119981999×＋119992000×。

5. 计算 56－712＋920－1130＋1342。

6. 计算 113×＋135×＋157×＋179×＋1911×＋11113×＋11315
×。

7．计算 521×＋851×＋1181×＋14111×＋17141×＋20
171×。

8．计算 21＋65＋1211＋2019＋…＋9089＋110
109。

9．计算 1201＋2301＋3421＋4561＋5721＋690
1＋71101＋81321。

10．计算 413⨯＋7
43⨯＋1073⨯＋…＋25223⨯＋28253⨯。

(天津市小学数学竞赛试题) 11．计算 30×(
151＋351＋631＋991＋1431＋195
1)。

12．计算 1＋361＋5121＋7201＋9301＋11421。

第四讲 分数与整除
例1 求1027与1718
的最大公约数和最小公倍数。

解：求两个分数的最大公约数, 就是要求一个最大的分数, 用它去除已知的两个分数，商都是整数。

求两个分数的最小公倍数, 就是要求一个最小
的分数, 用它除以已知的两个分数，商都是整数。

先把1718化成假分数2518。

(1) 1027与2518
的最大公约数的分母应该是27与18 的最小公倍数, 分子
应该是10与25的最大公约数, 所以这两个分数的最大公约数是
554； (2) 1027与2518
的最小公倍数的分母应该是27与18 的最大公约数, 分子应该是10与25的最小公倍数, 所以这两个分数的最小公倍数是509, 即559。

例2 一个数乘42534得整数a, 乘33151
得整数b, 并且a 、b 是互质数。

(1)这个数最小是多少? (2)a 、b 分别是多少？
解：42534＝16134，33151＝18451。

要求的那的数分别乘以这两个分数, 得到两个互质的数, 在乘的过程中必须约去34、51, 还必须约去161和184 的除了1以外所有的公约数。

因此这个数一定是一个分数, 它的分子是34和51的最小公倍数, 分母是161和184的最大公约数。

(1)因为34和51的最小公倍数是102, 262和284的最大公约数是23, 所以，这个数是10223, 即41023。

(2)a ＝41023×42534＝10223×16134＝21；b ＝41023×33151＝10223×18451
＝16。

例3 有4条圆形跑道如图，每条跑道的长都是3
1km 。

A 、B 、C 、D 四人同时从四个圆的交点出发，分别沿4条跑道跑步，他们的速度分别是每小时6km 、9km 、12km 、15km 。

问：从出发到四人再次相遇需要多长时间？
解：四人跑一圈所需的时间分别是31÷6＝18
1(小时)，31÷9＝271(小时)，31÷12＝361(小时)，31÷15＝451(小时)。

181，271，361，45
1的最小公倍数是91，所以从出发到四人再次相遇需要9
1小时。

例4 下面算式约简后所得最简分数的分母是多少？
21×62×23×64×…×2
99×6100 解：在1～100各数中，能被2整除的数有50个，能被4整除的数有25个，能被8整除的数有12，能被16整除的数有6个，能被32整除的数有3个，能被64整除的数有1个，所以，因数2的个数为50＋25＋12＋6＋3＋1＝97(个)；能被3整除的数有33个，能被9整除的数有11个，能被27整除的有3个，能被81整除的数有1个，所以，因数3的个数为33＋11＋3＋1＝48(个)。

因此，分子中有97个因数2和48个因数3，而分母中有100个因数2和50个因数3，所以，约简后所得的最简分数的分母中含有100－97＝3(个)因数2和50－48＝2(个)因数3，等于23×32＝72。

练 习 四
1. 求下面各组分数的最大公约数和最小公倍数。

(1)712与1415 (2)2435与1115 (3)3310与678
2．求下面各组分数的最大公约数。

(1)21，31与41 (2)83，109与114
1 (3)565，285与69
2 3．求下面各组分数的最小公倍数。

(1)289，3512与5615 (2)16865，18955与525
286 (3)936385，1755308与1092275 4．用1211、121
1分别去除某个分数，所得的商都是整数，这样的分数中最小的是多少？
5. 苹果每个重3
28kg, 梨每个重5
24kg, 要使两种水果的重量相等, 至少
要多少个苹果, 多少个梨?
6．在植物园的一条甬道两旁，每隔10m 种一株芙蓉，每隔4
54m 种一株牡丹，每隔4
94m 种一株茶花，每隔23
2m 种一株菊花。

这条甬道至少有多少米？
7．有甲、乙、丙三种溶液，分别为461升、343升、292升。

现要分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的体积相同，并且无剩余。

问：最少要装多少
瓶？每瓶装多少升？
8. 用一个分数分别去乘535、31115、2021
, 使得数都是整数, 并且尽可能小, 求这个分数和所乘得的三个整数。

9．甲、乙、丙三人同时从起点出发，沿环形自行车赛场骑行。

已知甲、
乙、丙三人骑行1圈分别需要10141秒、14235秒、7
94秒。

问：他们至少各绕了多少圈后才能再次在起点相遇？
10．三条圆形跑道，圆心都在操场中心的旗杆处，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈和外圈沿相同方向跑步。

已知里圈、中圈和外圈的跑道分别长200m 、240m 和400m ，甲、乙、丙每分钟分别跑160m 、200m 和300m 。

开始时，三人与旗杆位于同一直线上。

问：经过多长时间他们三人才能同时回到出发点？
11．甲、乙、丙三个滑冰运动员在一起练习滑冰，已知甲滑一圈时，乙、
丙分别可以滑141圈和16
1圈。

如果甲、乙、丙同时从起点出发，那么甲滑多少圈后三人再次相遇？ 12. 6
66619981997321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 约简后所得最简分数的分母是多少？
998个6
第五讲 时钟问题
例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟, 时针与分针正好重合? (北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛初赛试题)
解：钟面上是把圆周等分成60小格, 钟面上的数1, 2, 3, … ，12, 相邻两个数之间是5小格。

时针每小时走 5 格,分针每小时走60格,时针的转
动速度只有分针的5÷60＝112。

在4 点的时候，时针指向4, 分针指向12, 分针比时针落后5×4＝20(格),
每分钟分针比时针多走1－112＝1112
(格), 因此, 分针追上时针, 即两针重合需要20÷1112＝21911
(分钟)。

例2 在7时到8时之间, 时针与分针什么时候成直角?
解：时针与分针成直角，时针可以出现在时针的两侧。

(1) 7时, 时针指向7, 分针指向12, 分针落后时针5×7＝35(格)。

当分针与时针的距离减少到15格时, 两针成直角, 这时是7时(35－25)÷(1
－
1
12
)＝21
9
11
(分)；
(2) 当分针不仅追上了时针, 而且超过时针15格时, 两针又一次成直角。

这时是7时(35＋15)÷(1－
1
12
)＝54
6
11
(分)。

例3 李老师家的挂钟每到整点打一次点。

一天他在家里备课, 10 分钟后听到挂钟打了一次点, 备课当中还听到过几次。

•备课结束时挂钟的时针和分针恰好重合, 他只记得挂钟打过12下, 李老师这次备课一共用了多少时间?
解：12应该是几个连续自然数的和, 这样的自然数只有3、4、5, 所以
李老师这次备课是2:50 开始, 5时多结束的。

5×5÷(1－
1
12
)＝27
3
11
(分)，
一共用了5小时273
11
分－2小时50分＝2小时37
3
11
分。

例4有一个时钟，它每小时慢25秒，今年3月21日中午12点它的指示正确。

请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)
解：当这个时钟慢12小时的时候，它所指示的12点，恰好是准确的时间。

因为这个时钟每小时慢25秒，而1小时＝60×60＝3600(秒)，所以它慢12小时需要3600×12÷25＝1728(小时)，相当于1728÷24＝72(天)。

从3月21日中午12点到4月1日中午12点是31－21＋1＝11(天)，到5月1日中午12点是11＋30＝41(天)，到6月1日中午12点正好是41＋31＝72(天)，所以这个时钟下一次指示正确的时间是6月1日中午12点钟。

例5王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒，而闹钟却比标准时间每小时慢30秒。

那么王叔叔的手表一昼夜与标准时间差多少秒？(北京市第三届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题)
解：30秒＝0.5分钟。

闹钟1小时相当于标准时间
605.60＝120121(小时)，手表1小时相当于标准时间605.59＝120
119(小时)。

所以，标准时间1小时相当于手表120119×120121＝1440014399(小时)。

手表每小时慢1－1440014399＝14400
1(小时)，手表一昼夜比标准时间慢3600×(14400
1×24)＝6(秒)。

例6 有甲、乙两个时钟，都不准确。

甲钟每走24小时，恰好快1分钟；乙钟每走24小时，恰好慢1分钟。

假定今天下午3点钟的时候，将甲、乙两钟都调好，指在准确的时间上，任其不停地走下去，那么，下一次这两只钟都同样指在3点时，要隔多少天？(江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛决赛试题)
解：甲钟与标准钟下一次同时指向3点时，甲钟比标准钟要多转1圈，也就是60×12＝720(分钟)，需要720天。

同理，乙钟与标准钟下一次同时指向3点时，乙种比标准钟要少转1圈，也需要720天。

所以，下一次两钟同时指向3点时，要隔720天。

练 习 五
1．在5时10分的时候，时针与分针的夹角是多少度？
2. 在5时到6时之间, 时针与分针什么时候重合?
3. 请你认真地想一想：
(1)一昼夜, 时针与分针一共重合多少次?
(2)时针与分针相邻两次重合之间, 相隔多少分钟?
(3)时针与分针这些次重合, 分别发生在几时几分?
4. 在钟面上, 从4时到5时, 什么时候时针与分针成直角?
5. 在8时到9时之间, 时针与分针什么时候方向相反成一直线?
6. 时钟的时针与分针从一次方向相反成一直线, 到下一次反向相反成一直线, 中间要经过多少分钟?
7. 在7时多少分的时候：
(1) 时针与分针的夹角是30°；(2) 时针与分针的夹角是60°。

8．钟面上3时过几分，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的
两旁？(第一届“九章杯”小学数学竞赛试题)
9．从3点钟开始，分针与时针第二次形成30°角的时间是3点几分？(北京市第六届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题)
10. 星期日下午小明从2时多开始作数学作业。

这时他注意到, 闹钟的时针与分针正好重合。

当他作完作业时, 他意外地发现闹钟的时针与分针恰好方向相反成一直线, 这时还不到3时。

小明这次作作业一共用了多少分钟?
11. 一天, 王师傅早上8时多出门时, 他的手表的时针与分针正好重合。

当他下午3时多回到家里时, 他的手表的时针与分针又正好重合。

这天, 王师傅出去了多长时间?
12．有位老师离开学校时看了看钟，外出两个多小时以后，回到学校时又看了看钟，发现时针和分针恰好互换了位置。

问：这位老师离开学校多长时间？
第六讲 比
例1 四个数依次相差
801，它们的比是1∶3∶5∶7，这四个数的和是多少？
解：这四个数依次相差2份，每份是
801÷2＝1601，所以，这四个数的和是1601×(1＋3＋5＋7)＝1601×16＝10
1。

答：这四个数的和是10
1。

例2 有一堆黑棋子和白棋子，从中取走15粒白棋子以后，余下的黑棋子与白棋子个数的比是2∶1，又取走45粒黑棋子以后，余下的黑棋子与白棋子个数的比是1∶5。

那么，这堆棋子原来共有多少粒？
解：认真读后发现，第二次取走的是黑棋子，白棋子数没有变，这说明第一次取走白棋子后，把剩下的白棋子看作“1”份，与后来又把白棋子看作“5”份，实际上同样多。

因此，可以把2∶1中代表白棋子的“1”份变成“5”份，代表黑棋子的“2”份变成“10”份。

这样一来，第二次取走的45粒黑棋子就相当于10－1＝9(份)，1份是45÷9＝5(粒)，所以，原来有黑棋子5
×10＝50(粒)，白棋子取走15粒以后有50÷2＝25(粒)，原来有25＋15＝40(粒)，于是，这堆棋子原来共有50＋40＝90(粒)。

答：这堆棋子原来共有90粒。

例3 一把小刀售价3元。

如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之钱变成8∶13。

小明原来有多少钱？
解：2∶5＝4∶10＝6∶15，与8∶13对比，发现6＋15＝8＋13，而6比8少2份；15比13多2份，说明一把小刀的价钱相当于2份，因此，小明原来有3÷2×(6＋2)＝12(元)。

答：小明原来有12元。

例4 甲、乙两包糖的重量比是4∶1，如果从甲包中取出10g 放入乙包，则甲、乙两包糖的重量比变成7∶5，那么两包糖重量的总和是多少克？(1989年全国小学数学奥林匹克初赛题)
解：依题意可知，从甲包中取出10g 放入乙包后，甲、乙两包糖的总重量不变，如果把两包糖的重量看作单位“1”，原来甲包糖占两包糖总重量的54，从甲包中取出10g 放入乙包后，甲包糖占两包糖总重量的12
5,10g 糖相当于两包总重量的54－125＝6013，两包糖重量的总和是10÷6013＝4613
2(g)。

答：两包糖重量的总和是4613
2g 。

练 习 六
1. 一个直角三角形，已知它的直角的度数与一个锐角的度数之比是5∶4，那么，另一个锐角是多少度？
2. 一个长方形被分为面积相等的甲、乙、丙、丁四份如图。

已知图形甲的长和宽的比是 2∶1，图形乙的长和宽的比是多少？
乙
丁 甲 丙
3. 图中三角形ABC 三角形DEC 都是等腰直角三角形，阴影部分是正方形。

三角形ABC 与三角形DEC 面积的比是多少？(第九届《小学生数学报》数学竞
赛题) D
4. 一张长方形纸片, 长7cm 、宽5cm 。

把它的右上角往下折叠如甲图, 再把左下角往上折叠如乙图, 那么未盖住的阴影部分面积与原纸片面积的比是多少？(1995年全国小学数学奥林匹克初赛题)
甲图 乙图
5. 甲、乙两数是自然数, 如果甲数的65恰好是乙数的14
, 那么甲、乙两数和的最小值是多少？(1991年全国小学数学奥林匹克初赛题)
6. 甲、乙两厂共同完成了一批机床的生产任务, 已知甲厂比乙厂少生产
3 台机床, 并且甲厂的产量是乙厂的 1213
, 那么, 甲、乙两厂共同生产了机床多少台？(1993年全国小学数学奥林匹克初赛题)
7．车库中停放着若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数的比是2∶5。

问摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？(第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题)
8．有一个长方体，长与宽的比是2∶1，宽与高的比是3∶2。

已知这个长方体全部棱长之和是220cm ，求这个长方体的体积。

9．6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高。

4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高。

用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱休一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
10．甲厂有工人910人，乙厂有工人790人。

从这两个工厂中抽调同样多的工人去参加义务植树活动，则两个工厂剩下的工人人数的比是17∶14。

这两个工厂被调去参加植树活动的共有多少人？(安徽省小学生数学竞赛试题)
11．三批货物共值152万元。

第一、二、三批货物的重量比是2∶4∶3，
单位重量的价格比是6∶5∶2。

这三批货物各值多少万元？
12．甲、乙两包糖的重量比是4∶1，如果从甲包取出10g 包放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7∶5，那么两包糖重量的总和是多少克？(1998年全国小学数学奥林匹克初赛题)
第七讲 综合练习(一)
1．计算 20051＋20052＋20053＋…＋2005
2004＝ 。

2．计算 (1＋21)×(1－21)×(1＋31)×…×(1＋991)×(1－99
1)＝ 。

3．计算 51
32÷35＋7143÷47＋9154÷5
9＝ 。

4．用1211和1211分别去除某个分数，所得的商都是整数，这样的分数中最小的是 。

5．化工商店有甲、乙、丙三种油漆，分别为565升、285升、69
2升。

为了方便顾客，准备把三种油漆都分装成体积相同的小桶，并且没有剩余，最少一共可以分装 小桶。

6．计算 1201＋2301＋3421＋4561＋5721＋690
1＋71101＋81321＝ 。

7．在3时到4时之间，时针与分针指向两侧成一条直线的时刻是 。

8．四个数依次相差
16
1，它们的比是1∶3∶5∶7，那么，这四的数的和是 。

9．下图平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，三角形BEF 与平行四边形ABCD 的面积比是 。

A D
E
B F C
10．下图长方形ABCD 中，AE ∶ED ＝CF ∶FD ＝1∶2，三角形ABE 与三角形DEF 的面积的比是 。

A E D
F
B 11．袋里有若干个球，其中红球占
125，后来又往袋里放了6个红球，这时红球点总数的2
1。

现在袋里有 个球。

12．甲、乙、丙三个村合修一水渠，修完后甲、乙、丙村可灌溉面积的比为8∶7∶5。

原来三个村计划按可灌溉面积的比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱1350元。

结果甲村共派出60人，乙村共派出40人。

甲村应分得工钱 元，乙村应分得工钱 元。

第八讲 速算与巧算(二)
例1 计算：(41＋0.75)÷(221×0.4＋15
4÷1.8)＝？(2000年小学数学奥林匹克预赛题)
解： (41＋0.75)÷(221×0.4＋15
4÷1.8) ＝(0.25＋0.75)÷(25×5
2＋1.8÷1.8) ＝1÷(1＋1)
＝2
1。

例2 计算：987÷987
988
987＝？ 解法一：987÷987988987＝987÷988987988987+⨯＝987×)1988(987988+⨯＝989
988。

解法二：987÷987
988987＝(987÷987)÷(987988987÷987)＝1÷19881＝1×
989988＝989
988。

例3 用简便方法计算
222
345567566345567+⨯⨯+。

解：原式＝222345)1566(566345567+⨯+⨯+＝222
345345566566345567++⨯⨯+ ＝567
345566566345567+⨯⨯+＝1。

例4 化简 87463521-+-。

解：像这样分子或分母中含有分数的复杂分数叫“繁分数”，又叫繁分式。

繁分数实际上就是根据分数与除法的关系，对某些分数四则混合运算算式所进行的一种改写。

本题的繁分数就相当于1÷{2－5÷[3＋6÷(4－8
7)]}。

所以， 原式＝8
253521+-＝863521÷+-＝253521+-＝25
521-＝25123521÷- ＝12312521-＝123
1211＝1÷123121＝11212 练 习 八
1. 计算： (1)[653－(8.5－31)÷3.5]×(2185＋12
11)＝？(北京市第十四届“迎春杯”数学竞赛决赛题)
(2)(4.2×32－1)÷18
1。

(1996年小学数学奥林匹克初赛题) 2. 从 2003 里面减去它的 12, 再减去余下的 13, 再减去余下的 14
, 再减去余下的 15
，依此类推，直到减去余下的 20031, 最后还剩多少? 3. 将＋、－、×、÷四个运算符号分别填入下面的四个方框中，使算
式的值最大。

21□31□41□51□6
1 4. 把 1、2、3、4、5 填入下面的方格内, 使得运算结果最大。

(1994 年全国小学数学奥林匹克决赛题) □＋□－□×□÷□ 5. 计算：
(1)3.6×31
25＋43.9×62
5。

(1991年小学数学奥林匹克初赛题) (2)(14－0.1÷2)×513＋1÷11
12。

(1997年小学数学奥林匹克决赛题)
6. 计算： (1)718×4.5＋33
4
÷16.2。

(1993年小学数学奥林匹克初赛题)
(2)[14.8＋(327－1.5)×13
25]÷415。

(1993年小学数学奥林匹克决赛
题)
7. 已知等式 3
1925×(19.98－□×527)×(0.7＋51
3
)＝0, 那么式中□所表示的数是多少? (1998年小学数学奥林匹克决赛题)
8. 34 减去一个分数, 5
13 加上同一个分数, 两次计算结果相等, 那么
这个相等的结果是多少? (1996年小学数学奥林匹克预赛题)
9.计算 (1＋12)×(1－1
2)×(1＋13)×(1－13)×…×(1＋199
)×(1－
1
99
)。

(1992年小学数学奥林匹克初赛题) 10．计算：
(1) 654987666321655987⨯+-⨯。

(2) 525252525525252252252525⨯⨯。

11．计算： (1)(967372＋362524)÷(327324＋12258
)。

(2) 30
2857292755537425313302928
292827543432321++++++++++ 。