中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造
1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点：1将要证的结论中的ξ换成x ；2通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；3用观察法或积分法求出原函数等式中不含导数符号,并取积分常数为零；4移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数()F x ．
例1：证明柯西中值定理．
分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()
f b f a f
g b g a g ξξ-=-中令x ξ=,得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-,先变形为()()'()'()()()
f b f a
g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()
f b f a
g x f x C g b g a -=+-,令0C =,有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()()
f b f a F x f x
g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231
n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在0,1内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=+
+++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设 231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+
++++…取0C =,则 1()F x 在0,1上连续
2()F x 在0,1内可导
3(0)F =0, 120(1)0231
n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=,即231120()'0231
n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．
这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在0,1内至少有实根x ξ=．
2 积分法
对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数．
例3：设()f x 在1,2上连续,在1,2内可导,1(1)2
f =
,(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．
分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=,不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ,结论变形为'()20()f x f x x -=,积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==,即2()f x c x
=,从而可设辅助函数为2()()f x F x x =,有1(1)(2)2
F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈,使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．
证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒
'()'()()f g f ξξξ=-,将ξ换为x ,则'()'()()f x g x f x =-,两边关于x 积分,得：
'()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()
d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰,所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-exp(())K g x =-,其中exp()K C =,由
()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．
由上面积分的推导可知,()exp(())f x g x 为一常数K ,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =,易验证其满足罗尔定理的条件,原题得证．
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅助函数．
例5：证明拉格朗日中值定理．
分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为
()()()()f b f a y f a x a b a
-=+--,则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数
()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+
--在两个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．
例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ,使()f ξξ=．
分析：由图可看出,此题的几何意义是说,连续
函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直线,
而两者的交点的横坐标ξ,恰满足()f ξξ=．进而还
可由图知道,对[,]a b 上的同一自变量值x ,这两条曲
线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数()g x ,它
满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当
ξ为()g x 的一个零点时,()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．
4 常数k 值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：
1）将结论变形,使常数部分分离出来并令为k ．
2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式,另一端为b 及()f b 构成的代数式．
3观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是,则把其中一个端点设为x ,相应的函数值改为()f x ．
4端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．
例7：设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,(0)a b <<,试证存在一点(,)a b ξ∈,
使等式()()ln '()a f b f a f b
ξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-,令()()ln ln f b f a k b a
-=-,则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-,令b x =,可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．
例8：设''()f x 在[,]a b 上存在,在a c b <<,试证明存在(,)a b ξ∈,使得()()()1''()()()()()()()2
f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------,于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---,上式为关于a ,b ,c 三点的轮换对称式,令b x =or ：c x =,or ：a x =,则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．
5 分析法
分析法又叫倒推法,就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．
例9：设函数()F x 在0,1上连续,在0,1内可导,证明在0,1内存在一点C ,使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．
分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e
----=-=,即(1)(0)'()1c F F F c e e
-=-,因此可构造函数()x G x e =,则对()F x 与()G x 在0,1上应用柯西中值定理即可得到证明．
例10：设函数()f x 在0,1上连续,在0,1内可导,且(0)f =0,对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)
nf f f f ξξξξ-=-n 为自然数成立． 分析：欲证其成立,只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠,故只需证：
1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即'
[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=,于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-n 为自然数．
例11：设函数()f x 在区间0,+∞上可导,且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试
证()'()af x f x +在0,+∞内至少有1n -个不同零点．其中,a 为任意实数
证明：欲证()'()af x f x +在0,+∞内至少有1n -个不同零点,只需证方程()'()af x f x +=0在0,+∞内至少有1n -个不同实根．
因为,[0,+)x ∈∞,ax e 0≠,故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．
引入辅助函数()()ax F x e f x =,易验证()F x 在区间12,x x ,23,x x ,…,1,n n x x -上满足罗尔定理的条件,所以,分别在这1n -个区间上应用罗尔定理,得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…,其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…
以上说明方程'()0F x =在12,x x 23,x x …1,n n x x -⊂0,+∞内至少有1n -个不同实根,从而证明了方程()'()af x f x +=0在0,+∞内至少有1n -个不同实根．
6 待定系数法
在用待定系数法时,一般选取所证等式中含ξ的部分为M ,再将等式中一个端点的值b 换成变量x ,使其成为函数关系,等式两端做差构造辅助函数()x ϕ,这样首先可以保证()b ϕ=0,而由等式关系()a ϕ=0自然满足,从而保证()x ϕ满足罗尔定理条件,再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．
例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数,试证存在(,)a b ξ∈,使()'()ln ()()()
f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-,令()()ln ()()
f x x M x a f a ϕ=--容易验证()x ϕ在[,]a b 上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,存在(,)a b ξ∈使'()0ϕξ=,解得'()()
f M f ξξ=,故
()'()ln ()()()
f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-． 证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ
-=-,设22()()()f b f a M b a -=-,令22()()()()x f x f a M x a ϕ=---,则()x ϕ满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,存在一点(,)a b ξ∈,使'()0ϕξ=,即'()2f M ξξ=,若ξ=0,则'()0f ξ=,结论成立；若0ξ≠,则'()2f M ξξ
=,从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<,则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．
分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ϕ=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈,使'()0ϕξ=,即110x x e e M ξ-+=,从而11x M e x e ξ=-,这样并不能证明原结论,遇到这种情况,说明所作的辅助函数不合适,则需要将所证明的等式变形,重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--,设2121
x x e e x x -=2111()M x x -,令11
()x x e e x x x ϕ=-111()M x x --,则()x ϕ满足罗尔定理条件,用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈,使'()0ϕξ=,即2210e e M ξξξξξ-+=,于是(1)M e ξξ=-,故21
1212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--． 总之,证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察,适当变换待证式子；二是要认真分析,巧妙构造辅助函数．抓住这两点,即可顺利完成证明．。