高三数学一轮复习课时作业 (40)空间几何体的表面积和体积 文 新人教B版

课时作业(四十) [第40讲 空间几何体的表面积和体积]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．[2011·辽宁卷] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图K40－1所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3
图K40－1
图K40－2
2．[2011·西安三检] 图K40－2是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则图中正视图所标a ＝( )
A ．1 B.3
2
C. 3 D ．2 3
3．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的表面积为( )
A ．8π
B ．4π C.32π3 D.42
3
π
4．[2010·辽宁卷] 如图K40－3，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
图K40－3
能力提升 5．[2011·东北六校联考] 图K40－4是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A ．6π
B ．12π
C ．18
图K40－4
K40－5
6．[2011·潍坊质检] 已知某个几何体的三视图如图K40－5(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )
A ．288＋36π
B ．60π
C ．288＋72π
D ．288＋18π
7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32
3
π，
那么这个三棱柱的体积是( )
A ．96 3
B ．16 3
C ．24 3
D ．48 3
8．如图K40－6，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝3
2
，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92 B ．5 C ．6 D.152
－6
K40－7
9．如图K40－7，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P －ABC ，则此正三棱锥的侧面积是( )
A ．3 5
B ．513
C ．315
D ．415
10．[2010·福建卷] 若一个底面是主三角形的三棱柱的主视图如图K40－8所示，则其表面积等于________．
K40－8
图K40－9
11．[2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图K40－9所示(单位：m)，则该几何体的
体积为________ m 3
.
图K40－10
12．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，则四面体P －CDQ的体积是________．
13．圆锥的底面半径为3，轴截面为正三角形，则其内切球的表面积为________．14．(10分)已知某几何体的俯视图是如图K40－11所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
15．(13分)圆锥底面半径为5 cm，高为12 cm，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积为最大？最大值是多少？
难点突破
16．(12分)如图K40－13所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA、PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.
(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；
(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．
图K40
课时作业(四十)
【基础热身】
1．B [解析] 由俯视图知该正三棱柱的直观图为下图，其中M ，N 是中点，矩形MNC 1C 为左视图．
由于体积为23，所以设棱长为a ，则12×a 2
×sin60°×a ＝23，解得a ＝2.所以CM
＝3，故矩形MNC 1C 面积为23，故选B.
2．C [解析] 由三视图可知，该几何体为一个平卧的三棱柱，结合图中的尺寸可得V ＝1
2×2×a ×3＝33， ∴a ＝ 3.
3．A [解析] 如图，设截面的半径为r ，则πr 2
＝π，r ＝1，又已知球心与截面的距
离d ＝1，则球的半径R ＝r 2＋d 2＝24πR 2
＝8π.
4．2 3 [解析] 还原后的多面体是一四棱锥，满足一条棱与底面垂直，底面是边长为
2的正方形，其高为2，所以这个多面体最长的一条棱为22＋22＋22
＝2 3.
【能力提升】 5．B [解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为1，下底半径为2，母线长为4，所以该几何体的侧面积为π×(1＋2)×4＝12π.故选B.
6．A [解析] 依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8.
因此该几何体的体积V ＝8×6×6＋12
×π×32
×8＝288＋36π.
7．D [解析] 由43πR 3＝32
3π，∴R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4，设其底面边长为a ，则
13×3
2
a ＝2，∴a ＝43， ∴V ＝
34
×(43)2
×4＝48 3. 8．D [解析] 如图所示，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×32
×2＝
6.
由于AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .
∴V F －BEC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC ＝3
2
，
∴V EF －ABCD ＝V E －ABCD ＋V F －BEC ＝6＋32＝15
2
.
9．C [解答] 设球心为O ，连接因为P －ABC 是正三棱锥，所以PO ⊥底面ABC ，且PO ＝AO ＝2，所以PA ＝2 2.作PD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．连接OD .
△AOB 中，∠AOB ＝120°，AO ＝BO 所以AB ＝23，DO ＝1.
在Rt △POD 中，得PD ＝5，
所以棱锥的侧面积为3×12·AB ·PD ＝3
2
×23×5＝315.故选C.
10．6＋2 3 [解析] 由主视图可知，该三棱柱是底面边长为2，侧棱长为1的正三棱
柱，
其表面积为2×3
4
×4＋3×2×1＝6＋2 3.
11．4 [解析] 根据三视图还原成直观图，可以看出，其是由两个形状一样的，底面长和宽都为1，高为2的长方体叠加而成，故其体积V ＝2×1×1＋1×1×2＝4.
12.1
12
V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为 AB ＝a ，BC ＝b ，AA 1＝c ，则有V ＝abc .
由题意知PD ＝12c ，S △CDQ ＝12·CD ·AD ＝1
2ab ，
∴V P －CDQ ＝13S △CDQ ·PD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝1
12
V .
13．4π [解析] 如图，球心为O ，圆锥底面圆心为O 1，OO 1为球半径，AO 1为圆锥底面
圆半径，∠O 1AO ＝30°，OO 1＝3
3
AO 1＝1，所以球的表面积为4π.
14．[解答] 4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．
(1)V ＝1
3
×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面PAD 、PBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫822＝42，另两个侧面PAB 、PCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝
42
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫622＝5，
因此侧面积S ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 15．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x ，内接圆柱的高为h ，则有
12－h x ＝12
5
， ∴h ＝12－12
5
x ，
因此内接圆柱的表面积是x 的函数，
S 圆柱侧＝2πxh ＝2πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－125x (0＜x ＜5)，S 底＝πx 2， ∴S 圆柱全＝2πx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－125x ＋2πx 2＝2πx ⎝
⎛⎭⎪⎫12－75x ＝10π7·7x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12－75x ≤10π7×62
＝
3607π(cm 2
)．
当且仅当7x 5＝12－75x ，即x ＝30
7
时，等号成立．
因此，当内接圆柱的底面半径为307 cm 时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是360
7
π
cm 2.
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：由题设知A 、B 、C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3， 从而PB ＝PC ，AB ＝AC .
取BC 的中点D ，连接AD 、PD ， 则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，
∴BC ⊥面PAD ，故PA ⊥BC .
(2)由题设有AB ＝AC ＝1
2
P 1P 2＝13，
PA ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，
∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2
＝12. 在等腰三角形DPA 中，
底边PA 上的高h ＝AD 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12PA 2＝119， ∴S △DPA ＝1
2
PA ·h ＝5119.
又BC ⊥面PAD ，
∴V P －ABC ＝V B －PDA ＋V C －PDA ＝13BD ·S △DPA ＋1
3DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119＝503119.。