复合函数的概念及复合函数的单调性

复合函数的概念及复合函数的单调性
1．复合函数的概念
如果y 是ω的函数，ω又是x 的函数，即)(ωf y =，)(x g =ω，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(ωf y =和)(x g =ω的复合函数，其中ω是中间变量，自变量为x ，函数值y 。

例如：函数x x y 22)31
(-=是由μ)3
1
(=y ，x x 22-=μ复合而成立。

函数)43lg(2
x x y -+=是由ωlg =y ，243x x -+=ω复合而成立，μ、ω是中间变量。

2．复合函数单调性
一般地，
定理：设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω 有以下四种情况：
（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；
（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；
（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；
（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

即：同增异减
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

例1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）
（1）x x y 22)
31(-= （2）)43lg(2x x y -+= 解：
练习1：
1．求下列函数的单调区间。

（1）2522+-=x x y （2）)32(log 22
1-+=x x y
（3）12--=x x y （4）21
2
)3(--=x x y 例2、已知)(x f y =，且)3lg(3lg lg lg x x y -+=。

（1）求)(x f y =的表达式及定义域；
（2）讨论)(x f y =的单调性。

练习2
1．已知228)(x x x f -+=，)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间。

2．讨论函数)34(log 2
+-=x x y a 的单调性。

练习题
1．若函数)(x f y =的图象过点)1,0(，则)4(+=x f y 的图象必过点（ ） A ．)1,4(- B ．)4,1(- C ．)1,4(- D ．)1,1(
2．函数2
2log x y =在区间()()+∞⋃∞-,00,上（ ）
A.是奇函数，且在()+∞,0上是增函数
B.是偶函数，且在()+∞,0上是增函数
C.是奇函数，且在()+∞,0上是减函数
D.是偶函数，且在()+∞,0上是减函数 3．函数2616x x y -+=)40(≤≤x 的最大值与最小值分别是（ ）
A ．25，16
B ．5，0
C ．5，4
D ．4，0
4．函数1
1
2
31+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 值域为（ ）
A ．)1,(-∞
B ．)1,31(
C ．)1,31[
D ．),31
[+∞
5．函数)6(log )(2
3
1x x x f --=的单调递增区间是( )
A ．),21
[+∞- B ．)2,21
[- C ．)21,(--∞ D ．)21
,3(--
6．函数1)1(222)(+--=x a x x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A. [6,+)∞
B. ),6(+∞
C. ]6,(-∞
D. )6,(-∞
7．已知)2(log ax y a -=在[]1,0上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A.()1,0
B.()2,1
C.()2,0
D.[)+∞,2。