广州市重点学校备战2017高考高三数学一轮复习试题精选：数列11(教师版) 含解析

数列11
1．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降。

若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年)的利润为500（1+
1）万元（n为正整数).
n
2
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金),求A n、B n的表达式;
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分。

2．已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a n
n n 满足数列 （I ）已知数列}{n
a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；
(II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b
n n n n n +-==-=+证明
(III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立,求a 的取值范围。

本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分。

都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++
-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n
（III).2
1|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,12
1||,23.2
3,14.2
1|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证). （ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥= k k k k k A b A A b A b b 2
1||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明
.232||,21||1
成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,12
12||||.2,14,23,
422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于。