2015届高考数学考点冲刺 20 数列的通项公式和数列求和

考点20 数列的通项公式和数列求和
【考点分类】
热点一求数列的通项公式
1.若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.
2.
设数列的前项和为.已知,,.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求数列的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.
3.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．
(1) 证明：；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数，有．
4.
正项数列
故有
而,所以的通项公式为.
6．已知数列满足
(1)设是公差为的等差数列.当时,求的值;
(2)设求正整数使得一切均有
(3)设当时,求数列的通项公式.
当时,
,
7．设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
.
【方法总结】求数列的通项公式，常见的有六种类型：
已知数列的前几项，求其通项公式.
常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等.
根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力.
已知数列前n项和，或前n项和与的关系求通项.
利用虽然已知求时，方法千差万别，但已知求时，方法却相对固定.
（3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.
（4）对于型，求，其关键是确定待定系数，使
（5）对于型，求，可用的方法.
（6）对于型，求，可用的方法.
热点二数列求和
8.设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________.
，所以.
9．数列的通项公式,其前项和为,则等于（ ）
A．1006 B．2012 C．503 D．0
1.已知等差数列的前项和满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
1等差数列中，
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和.
解得.
所以的通项公式为.
（Ⅱ），
所以
1.设等差数列的前项和为，且,. (Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足，求的前项和.
13.设为数列{}的前项和，已知，2，N
（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列｛｝的前项和.
14.设等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，且 (为常数)，令，求数列的前项和.
1．（2012年高考（江西理））已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k,求an;
(2)求数列的前n项和Tn.
．在等差数列中,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意,将数列中落入区间内的项的个数记为,求数列的前项和.
【方法总结】数列求和的常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d；
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．分组转化求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
【考点模拟】
一．扎实基础
1.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( )
A．2 B．6 C．7 D．8
2.数列{} 中，，则数列{}前项和等于（）
A．76 B．78 C． 80 D．82
3. 数列的通项为，则其前项和为（）
A． B． C． D．
4.已知数列满足：，，（），则数列的通项公式为（）
A． B． C． D．
5.数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )
A．120 B．99 C．11 D．121
【答案】A
【解析】由，所以，即，即，解得.选A.
6.下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是___________.
7.设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为 .
8.若，则 .
。

9.Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=1 ,an=Sn-1,(n≥2)，an=_____.
10.若等比数列的首项是，公比为，是其前项和，则=_____________.
二．能力拔高
11.数列满足，，则的整数部分是（）
A．１B．２C．３D．４
12.已知数列满足，，则（）
A. 143
B. 156
C. 168
D. 195
13.已知等差数列的通项公式为设,则当取最小值时，的取值为（）
A.16
B.14
C.12
D.10
14.在数列中，，，若，则等于（）
（A）（B）
（C）（D）
事实上，可以配凑成，但这需要一定配凑意识、观察能力和思维的灵活，而这正是解决本
题的难点所在.
15.
已知数列满足.定义：使乘积…为正整数的
叫做“简易数”.则在内所有“简易数”的和为 .
【答案】2036
【解析】
…,则“简易数”为使为整数，即满足所以则在内所有“简易数”的和为 16.
数列的前n项和为,若数列的各项排列如下：
…,, …,…,若，则=___.
17.在数列中，，等于除以3的余数，则的前89项的和等于________. 【答案】
【解析】设等于除以3的余数为，则
故数列前八项为1,2,0,2,2,1,0,1，且周期为8，故的前89项的和等于 18.
Sn是数列{an}的前n项和，和满足：，则
19. 数列满足，则的前60项和等于 .
20.已知为等差数列,且.
(I)求数列的前项和;
(II)求数列的前项和.
所以.
由(I)可知,,
所以,
故.………………………………………………13分
三．提升自我
21.数列满足，．
（Ⅰ）求、、；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）令，求．
（Ⅲ）
…10分
．
22.
数列{an}是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数，且≠1)．
(I)求数列{an}的通项公式及的值；
(Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．
23.若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.
（I）求证：为准等差数列；
（II）求证：的通项公式及前20项和
24. .已知数列的前项和为，且，数列满足，且点在直线上．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
25.
设数列的前项和为，点在直线上.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和. ……………………………………11分
……………………………………12分
【考点预测】
1.数列｛｝的通项公式＋1，前n项和为Sn（），则＝（）
A. 1232 . 2580 C: 3019 D. 4321
2.已知函数，且则（）
A. B.0 C.100 D.10200
3.已知数列中，，，则数列的前n项和等于 .
4.已知向量向量与垂直，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
5.
(I)求
(II)设，求数列的前n项的和.
＝(n＋1)[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝n．…7分
记数列{}的前n项的和为Sn，则
Sn＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n×(－3)n－1，
－3Sn＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n×(－3)n，两式相减，得
4Sn＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n×(－3)n＝－n×(－3)n，
故Sn＝．。