3.07-8 连续时间系统的频谱分析-抽样定理09
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H ( jw) Yzs ( jw) F ( jw) 幅频特性 相频特性
( w)
说明:
1)频域响应将系统的激励和响应建立了代数关系 2)频域响应H(jw)是描述系统的重要物理量,只与 系统本身的固有特性(参数和结构)有关,而与激励 无关.系统的数学模型可用h(t)或H(jw)来表述. h(t ) H ( jw) 3)频域响应的物理意义:
第 1 页
第7节 连续时间系统的频谱分析
• 从时域卷积到频域相乘
•LTI频谱分析原理 •系统函数与频谱分析求法 •系统频谱分析举例1：信号无失真传输 •系统频谱分析举例2：理想滤波器 •可实现滤波器的约束条件
X
第 2 页
系统
f(t)
h(t)
y(t)
系统零状态响应：
时域关系: 频域关系:
y(t) = f(t)* h(t) Y F H ()
第
32 页
s s
还保留原信 号的信息吗?
1 频域抽样过程: Fs j F f t T t F j s s 2π 1 Fs j F j ns Ts n
X
第
2．冲激抽样信号的频谱
f(t) 1
理论基础:线性和时不变性 信号的频域分析法:(与时域分析区别?) 信号的分解 不同频率的虚指数信号 的线性组合
f T (t )
n jn1t F e n
指数形式傅立叶级数 傅立叶反变换
nw1离散变量 w连续变量
X 时域卷积定理
1 f (t ) 2
F ( jw)e jwt dw
定理解决
3)如何复原连续信号
X
第
一．信号的抽样
从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行 数字处理的第一个环节。 对连续信号等间隔的采样过程. 采样（抽样）开关： 抽样原理图：
f (t )
28 页
数字信号
A/D
f (k )
fs (t )
量化编码
数字
滤波器
g (k )
D/A
g(t )
周期信号: 采样脉冲序列 需解决的问题:
那么r ( t ) Ke( t t 0 )时不失真 幅度可以比例增加 波形形状不变 可以有时移
r t
h(t)
因为 r (t ) Ke(t t 0 )
e t
r t
R( j ) KE ( j )e jt R( j ) jt 所以 H ( j ) Ke E ( j )
5 页
(t ) bm1 f
( m 1)
(t ) b1 f (t ) b0 f (t )
对方程进行傅里叶变换 , 利用时域微分性得
a n ( jw) n a n1 ( jw) n1 a1 jw a0 Yzs ( jw) b m ( jw) m bm 1 ( jw) m 1 b1 jw b0 F ( jw) b m ( jw) m bm1 ( jw) m 1 b1 jw b0 Yzs ( jw) F ( jw) n n 1 a n ( jw) an1 ( jw) a1 jw a0
c O
c
c
c O
ห้องสมุดไป่ตู้
1 e H j 0
jt 0
c c
1 H j 0 即
c c
t 0
● c 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称 频带 ● 在0 ~ c的低频段内，传输信号无失真 ( 只有时移t 0 )。
抽样脉冲
pt P j
s n s
p(t ) TS (t )
n
(t nT ) ( n ) s ( )
s
s
时域抽样过程: f s ( t ) f ( t ) T ( t )
n
f (nT ) (t nT )
Yzs ( jw) H ( jw) F ( jw)
X
第
系统的频域响应:
6 页
Yzs ( jw) b m ( jw) m bm1 ( jw) m1 b1 jw b0 j ( w) H ( jw) H ( jw ) e F ( jw) a n ( jw) n an1 ( jw) n1 a1 jw a0
2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统
原因：从h(t)看，t<0时已有值。
X
第
总结
主要内容: 1) 连续时间系统的频谱分析(求法)
25 页
2)信号无失真传输（条件与原理）
3）理想滤波器（原理）
作业: 3-23(+时域求法）, 3-32(解题思路) 3-35,3-40,3-41
X
第
26 页
乘法运算 说明:频域分析中求的响应是指系统零状态相应
X
第
二.LTI系统的傅里叶变换分析法 1.系统的频域响应H(jw) 一般LTI系统可描述为:
a n y ( n ) (t ) a n 1 y ( n 1) (t ) a1 y (t ) a0 y (t ) bm f
( m)
1 2π
1 e
c
c
j ( t t 0 )
1 1 j t t 0 c d e c 2π jt t 0
1 1 1 j c t t0 j c t t0 e e π t t 0 2 j
如果信号和噪声的频谱相互重叠，经典滤波器无能为力
第
16 页
现代滤波器：从含有噪声的数据记录（又称时间 序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。它 把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（自相关函数、功率谱等）导出最佳的估算 方法，利用硬件或软件予以实现。 X
2.几种常见的滤波器
H j
第
17 页
低通滤波器
H j
高通滤波器
通带
O
阻带
c 截止频率
H j
O
c
带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2
O
c1
c 2
X
二．理想低通的频率特性
y (t ) f (t t0 )
H (j )
第
18 页
1
0
Y j F ( j )e j t
●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频
率成分； ●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求： ●无失真传输；●利用失真波形变换。
X
第
二．无失真传输条件
已知系统 h(t ) H ( j ), 若激励为 et 响应为 r t
12 页
et
p( t )
f s (t ) Fs j , 抽样后频谱的变化 , 与F j 的关系 , 由f s t 能否恢复f t f s t 是否保留原信号的信息
X
第
模拟信号，抽样信号，数字信号
•模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。 抽
样
f t
29 页
•抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。 量
相位特性为什么与频率成正比关系？
H ( j ) Ke jt0 K t t0 ht
14 页
只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延 迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。
总结
时域 :
频域 :
系统的无失真传输条件
h(t ) K (t t 0 )
H ( j ) Ke
[卷积*关系]
[乘积*关系]
X
第
一.引言
连续系统的时域分析法: y(t ) y zi (t ) y zs (t )
ˆ(t ) y zs (t )的求解 : 信号的分解 (t )的线性组合 求h 线性叠加求h(t ) y zs (t ) f (t ) h(t )
3 页
π
t0
t
X
c
第
说明：
1．比较输入输出，可见严重失真；
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c
22 页
t 1信号频带无限宽，
当 t 经过理想低通时， c 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。 当 c 时，h( t ) ( t ) 系统为全通网络，可以 无失真传输。
0
0
o
t o
t0
t
X
第
频谱图
H ( j ) K 即: t 0
K
O
13 页
H j
t 0
O
说明： ●要求幅度为与频率无关的常数 K，系统的通频带为 无限宽。
●相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。 ----线性相位
X
第
连续系统的频域分析法
Y ( jw) F ( jw) H ( jw)
第
系统频域分析思路:
f t
y zs t
4 页
h(t )
y zs (t ) f (t ) h(t )
卷积运算 变换
F ( jw)
反变换
Yzs jw
H(jw)
Y ( jw) F ( jw) H ( jw)
X
c sin c t t 0 c Sa c t t 0 π c t t 0 π
第
波形
t
1
21 页
t
c
π
h( t )
ht
c
π
Sa c t t 0
由对称性也可以从矩形 脉冲的傅氏变换式得到
X
三．信号过LP的系统响应
第
19 页
1 单位冲激函数
2 单位阶跃函数
X
第
1．理想低通的冲激响应
因为 h(t ) H (j )
1
20 页
由傅氏反变换公式：
1 j t 所以 h( t ) F H (j ) H (j ) e d 2 1 c j t 0 j t 1 e e dω 2π c
第8节 信号的抽样与恢复
•1.问题的提出(数字化) •2信号抽样理想抽样 •3.信号的恢复
X
第
问题的提出:
现实生活中的连续信号的数字化问题 即用离散信号描述本来由连续信号描述的物理现象 如:新闻照片,一幅图片需要多少个离散点才清晰?
27 页
电影胶片,每秒多少个离散样本可放映连续景象?
绘制曲线,取多少个离散点才具有一定光滑度? 说明连续信号和离散信号存在关系,在一定条件下 连续信号可用离散信号来复原. 需解决的问题: 1)对连续信号的要求 由抽样 2)如何抽样
31 页
F
o p(t)
(1)
t
o m m
P
o TS fS(t) o T S
E
t 相 乘 t 卷 积
s
s o
s
F s 1 Ts
s
o m s
X
3．说明
1 Fs F n s Ts n
化
O
f (k )
t
•数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。
O
k
f (k )
O
k
X
1．理想抽样信号
连续信号
(抽样脉冲是冲激序列)
第
30 页
f t
T t
S
抽样信号
f s t
(m m ) f s t Fs j
f t F j
jt 0
即 H ( j ) K , ( ) t 0
K和t 0均为实常数
X
第
15 页
理想低通滤波器
•滤波器概述 •理想低通的频率特性 •信号过LP的系统响应
X
一.滤波器概述
1.分类 经典滤波器 现代滤波器
经典滤波器：假定输入信号的有用成分和希 望去除的成分各自占有不同的频带
h(t)和H(jw)分别从时域和频域描述了同一系统的特性 X
第 7 页
X
第 8 页
X
第 9 页
参考课本
X
第
10 页
信号的无失真传输
•失真
•无失真传输条件
X
一．失真
信号经系统传输，要受到系统函数 H j 的加权，输出 波形发生了变化，如与输入波形不同，则产生失真。
第
11 页
线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 ●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减； ●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比， 使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。
( w)
说明:
1)频域响应将系统的激励和响应建立了代数关系 2)频域响应H(jw)是描述系统的重要物理量,只与 系统本身的固有特性(参数和结构)有关,而与激励 无关.系统的数学模型可用h(t)或H(jw)来表述. h(t ) H ( jw) 3)频域响应的物理意义:
第 1 页
第7节 连续时间系统的频谱分析
• 从时域卷积到频域相乘
•LTI频谱分析原理 •系统函数与频谱分析求法 •系统频谱分析举例1：信号无失真传输 •系统频谱分析举例2：理想滤波器 •可实现滤波器的约束条件
X
第 2 页
系统
f(t)
h(t)
y(t)
系统零状态响应：
时域关系: 频域关系:
y(t) = f(t)* h(t) Y F H ()
第
32 页
s s
还保留原信 号的信息吗?
1 频域抽样过程: Fs j F f t T t F j s s 2π 1 Fs j F j ns Ts n
X
第
2．冲激抽样信号的频谱
f(t) 1
理论基础:线性和时不变性 信号的频域分析法:(与时域分析区别?) 信号的分解 不同频率的虚指数信号 的线性组合
f T (t )
n jn1t F e n
指数形式傅立叶级数 傅立叶反变换
nw1离散变量 w连续变量
X 时域卷积定理
1 f (t ) 2
F ( jw)e jwt dw
定理解决
3)如何复原连续信号
X
第
一．信号的抽样
从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行 数字处理的第一个环节。 对连续信号等间隔的采样过程. 采样（抽样）开关： 抽样原理图：
f (t )
28 页
数字信号
A/D
f (k )
fs (t )
量化编码
数字
滤波器
g (k )
D/A
g(t )
周期信号: 采样脉冲序列 需解决的问题:
那么r ( t ) Ke( t t 0 )时不失真 幅度可以比例增加 波形形状不变 可以有时移
r t
h(t)
因为 r (t ) Ke(t t 0 )
e t
r t
R( j ) KE ( j )e jt R( j ) jt 所以 H ( j ) Ke E ( j )
5 页
(t ) bm1 f
( m 1)
(t ) b1 f (t ) b0 f (t )
对方程进行傅里叶变换 , 利用时域微分性得
a n ( jw) n a n1 ( jw) n1 a1 jw a0 Yzs ( jw) b m ( jw) m bm 1 ( jw) m 1 b1 jw b0 F ( jw) b m ( jw) m bm1 ( jw) m 1 b1 jw b0 Yzs ( jw) F ( jw) n n 1 a n ( jw) an1 ( jw) a1 jw a0
c O
c
c
c O
ห้องสมุดไป่ตู้
1 e H j 0
jt 0
c c
1 H j 0 即
c c
t 0
● c 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称 频带 ● 在0 ~ c的低频段内，传输信号无失真 ( 只有时移t 0 )。
抽样脉冲
pt P j
s n s
p(t ) TS (t )
n
(t nT ) ( n ) s ( )
s
s
时域抽样过程: f s ( t ) f ( t ) T ( t )
n
f (nT ) (t nT )
Yzs ( jw) H ( jw) F ( jw)
X
第
系统的频域响应:
6 页
Yzs ( jw) b m ( jw) m bm1 ( jw) m1 b1 jw b0 j ( w) H ( jw) H ( jw ) e F ( jw) a n ( jw) n an1 ( jw) n1 a1 jw a0
2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统
原因：从h(t)看，t<0时已有值。
X
第
总结
主要内容: 1) 连续时间系统的频谱分析(求法)
25 页
2)信号无失真传输（条件与原理）
3）理想滤波器（原理）
作业: 3-23(+时域求法）, 3-32(解题思路) 3-35,3-40,3-41
X
第
26 页
乘法运算 说明:频域分析中求的响应是指系统零状态相应
X
第
二.LTI系统的傅里叶变换分析法 1.系统的频域响应H(jw) 一般LTI系统可描述为:
a n y ( n ) (t ) a n 1 y ( n 1) (t ) a1 y (t ) a0 y (t ) bm f
( m)
1 2π
1 e
c
c
j ( t t 0 )
1 1 j t t 0 c d e c 2π jt t 0
1 1 1 j c t t0 j c t t0 e e π t t 0 2 j
如果信号和噪声的频谱相互重叠，经典滤波器无能为力
第
16 页
现代滤波器：从含有噪声的数据记录（又称时间 序列）中估计出信号的某些特征或信号本身。它 把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（自相关函数、功率谱等）导出最佳的估算 方法，利用硬件或软件予以实现。 X
2.几种常见的滤波器
H j
第
17 页
低通滤波器
H j
高通滤波器
通带
O
阻带
c 截止频率
H j
O
c
带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2
O
c1
c 2
X
二．理想低通的频率特性
y (t ) f (t t0 )
H (j )
第
18 页
1
0
Y j F ( j )e j t
●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频
率成分； ●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求： ●无失真传输；●利用失真波形变换。
X
第
二．无失真传输条件
已知系统 h(t ) H ( j ), 若激励为 et 响应为 r t
12 页
et
p( t )
f s (t ) Fs j , 抽样后频谱的变化 , 与F j 的关系 , 由f s t 能否恢复f t f s t 是否保留原信号的信息
X
第
模拟信号，抽样信号，数字信号
•模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。 抽
样
f t
29 页
•抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。 量
相位特性为什么与频率成正比关系？
H ( j ) Ke jt0 K t t0 ht
14 页
只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延 迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。
总结
时域 :
频域 :
系统的无失真传输条件
h(t ) K (t t 0 )
H ( j ) Ke
[卷积*关系]
[乘积*关系]
X
第
一.引言
连续系统的时域分析法: y(t ) y zi (t ) y zs (t )
ˆ(t ) y zs (t )的求解 : 信号的分解 (t )的线性组合 求h 线性叠加求h(t ) y zs (t ) f (t ) h(t )
3 页
π
t0
t
X
c
第
说明：
1．比较输入输出，可见严重失真；
而理想低通的通频带(系统频带)有限的 0 ~ c
22 页
t 1信号频带无限宽，
当 t 经过理想低通时， c 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。 当 c 时，h( t ) ( t ) 系统为全通网络，可以 无失真传输。
0
0
o
t o
t0
t
X
第
频谱图
H ( j ) K 即: t 0
K
O
13 页
H j
t 0
O
说明： ●要求幅度为与频率无关的常数 K，系统的通频带为 无限宽。
●相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。 ----线性相位
X
第
连续系统的频域分析法
Y ( jw) F ( jw) H ( jw)
第
系统频域分析思路:
f t
y zs t
4 页
h(t )
y zs (t ) f (t ) h(t )
卷积运算 变换
F ( jw)
反变换
Yzs jw
H(jw)
Y ( jw) F ( jw) H ( jw)
X
c sin c t t 0 c Sa c t t 0 π c t t 0 π
第
波形
t
1
21 页
t
c
π
h( t )
ht
c
π
Sa c t t 0
由对称性也可以从矩形 脉冲的傅氏变换式得到
X
三．信号过LP的系统响应
第
19 页
1 单位冲激函数
2 单位阶跃函数
X
第
1．理想低通的冲激响应
因为 h(t ) H (j )
1
20 页
由傅氏反变换公式：
1 j t 所以 h( t ) F H (j ) H (j ) e d 2 1 c j t 0 j t 1 e e dω 2π c
第8节 信号的抽样与恢复
•1.问题的提出(数字化) •2信号抽样理想抽样 •3.信号的恢复
X
第
问题的提出:
现实生活中的连续信号的数字化问题 即用离散信号描述本来由连续信号描述的物理现象 如:新闻照片,一幅图片需要多少个离散点才清晰?
27 页
电影胶片,每秒多少个离散样本可放映连续景象?
绘制曲线,取多少个离散点才具有一定光滑度? 说明连续信号和离散信号存在关系,在一定条件下 连续信号可用离散信号来复原. 需解决的问题: 1)对连续信号的要求 由抽样 2)如何抽样
31 页
F
o p(t)
(1)
t
o m m
P
o TS fS(t) o T S
E
t 相 乘 t 卷 积
s
s o
s
F s 1 Ts
s
o m s
X
3．说明
1 Fs F n s Ts n
化
O
f (k )
t
•数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。
O
k
f (k )
O
k
X
1．理想抽样信号
连续信号
(抽样脉冲是冲激序列)
第
30 页
f t
T t
S
抽样信号
f s t
(m m ) f s t Fs j
f t F j
jt 0
即 H ( j ) K , ( ) t 0
K和t 0均为实常数
X
第
15 页
理想低通滤波器
•滤波器概述 •理想低通的频率特性 •信号过LP的系统响应
X
一.滤波器概述
1.分类 经典滤波器 现代滤波器
经典滤波器：假定输入信号的有用成分和希 望去除的成分各自占有不同的频带
h(t)和H(jw)分别从时域和频域描述了同一系统的特性 X
第 7 页
X
第 8 页
X
第 9 页
参考课本
X
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10 页
信号的无失真传输
•失真
•无失真传输条件
X
一．失真
信号经系统传输，要受到系统函数 H j 的加权，输出 波形发生了变化，如与输入波形不同，则产生失真。
第
11 页
线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 ●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减； ●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比， 使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。