2020年安徽省六安市舒州中学高三数学文月考试卷含解析

2020年安徽省六安市舒州中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （9）已知函数，，则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C．
2. 己知i是虚数单位，则等于
A．－1+i B．－1－i C．1+i D．1－i
参考答案：
D
3. 若，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
【答案】A
【解析】利用中间值0和1来比较:
【高考考点】对数函数的性质及图象
4. 设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；
③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l?β，则l∥β．
其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
参考答案：
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】对各个选项分别加以判断：对①和②举出反例可得它们不正确；结合空间直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定和性质，对③和④加以论证可得它们是真命题．【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；
对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；
对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；
对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l?β，所以必定l∥β，故④正确．
故选D．
5. 设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】由A与B的交集为B，得到B为A的子集，由A与B，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵A∩B=B，
∴B?A，
∵A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
6. 已知集合，则（R A）∩B = （）
A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}
参考答案：
C
略
1.设全集，集合，，则( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则
( )
A ．1
B ．5
C ．7
D ． 9
参考答案：
B
9. 在△ABC 中，则∠BAC=
A ．30°
B ． 120°
C ．150°
D ． 30°或150
参考答案： C
10. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A ．
.若，则
B ．
.若
，则
.若
，则
D 若
，则
D
解答：
解：因为
，然后
，则
，因为sinx ＞sin 2x ，所以
，所以A ，B 不正确；
因为
，若
，则
，又sinx
，所以
，所以D 正确．C 不正确； 故选D ．
点评： 本题考查不等式的基本性质的应用，考查逻辑推理能力与判断能力．
11. 已知a ，b 为实数，不等式|x 2+ax +b |≤| x 2－7x +12 |对一切实数x 都成立，则a +b =_________.
参考答案：
5 因为，所以，在
中，令
与
得
且，解得
，所以
．
12. 设
,若对任意实数都有|
|≤,则实数的取值范围是
_________.
参考答案：
略 13. 过点
作直线交抛物线x 2
=2py （p ＞0）于A 、B 且M 为A 、B 中点，过A 、B 分别作抛
物线切线，两切线交于点N ，若N 在直线y=﹣2p 上，则p= ．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线x 2=2py （p ＞0），得y′=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过点A 的切线方程为x 1x=p （y+y 1），过点B 的切线方程为x 2x=p （y+y 2），由已知得点A ，B 在直线xx 0=p （y 0+y ）上，由此能求出p 的值．
【解答】解：由抛物线x 2=2py （p ＞0），得y′=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴过点A 的切线方
程为：y ﹣y 1=
，即x 1x=p （y+y 1），
同理求得过点B 的切线方程为：x 2x=p （y+y 2），
设N （x 0，y 0），∵过A 、B 分别作抛物线切线，两切线交于点N ，
∴，
∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在直线xx 0=p （y 0+y ）上， ∵直线AB 过定点M （1，2
），∴
，
∵N 在直线y=﹣2p 上，∴N（0，﹣2），
∴p=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查抛物线中参数p 的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用． 14. 设奇函数
的定义域为R ，且周期为5，若
=-1，
则
= .
参考答案：
2 15.
．
参考答案：
3
，故答案为.
16. 二项式的展开式中的系数为60，则实数等于 ．
参考答案：
17. 若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数k 的
取值范围_______________
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB 边上取点E ，使得BE=1，连
接EC ，ED ．若∠CED=
，EC=
．
（Ⅰ）求sin∠BCE 的值； （Ⅱ）求CD 的长．
参考答案：
【考点】HT ：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）在△CBE 中，正弦定理求出sin∠BCE；
（Ⅱ）在△CBE 中，由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2﹣2BE?CBcos120°，得CB ．由余弦定理得CB 2=BE 2+CE 2﹣2BE?CEcos∠BEC ?cos∠BEC ?sin∠BEC、cos∠AED 在直角△ADE 中，求得DE=2，在△CED 中，由余弦
定理得CD 2=CE 2+DE 2﹣2CE?DEcos120°即可
【解答】解：（Ⅰ）在△CBE 中，由正弦定理得
，
sin∠BCE=，
（Ⅱ）在△CBE 中，由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2﹣2BE?CBcos120°，即7=1+CB 2+CB ，解得CB=2． 由余弦定理得CB 2=BE 2+CE 2﹣2BE?CEcos∠BEC ?cos∠BEC=
．?sin∠BEC=
，
sin∠AED=sin=，?cos∠AED=，
在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，?DE=2，
在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE?DEcos120°=49
∴CD=7．
19. （13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递增，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由题意可得f′（x）≥0对x∈成立，只要f′（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，求得最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），
又f′（x）=x2+2x+a，
曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
所以f′（x）=x2+2x﹣3．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
单调递减区间为（﹣3，1）；
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间上单调递增，
所以f′（x）≥0对x∈成立，
只要f′（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可．
因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1
时，f′（x ）在上的最小值为f′（a ），
解f′（a）=a 2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣
3，所以此种情形不成立；
当a ＞﹣1时，f′（x）在上的最小值为f′（﹣1），
解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，
综上，实数a的取值范围是a≥1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．
20. （本小题满分13分）
已知函数，当时，函数有极大值.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
①当时，，令得
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减单调递减
根据表格，又，，
21. （本题14分）
在中，已知
（1）求角C;
（2）若c=4,求a+b的最大值.
参考答案：
【答案解析】（1）；（2）8. 解析：（1）由
得，所以．┅4分
又，故角．┅8分
（2）因为，所以．┅10分
又，所以，从而，其中时等号成立．
故，的最大值为8．┅14分
【思路点拨】（1）利用余弦定理求角B；（2）利用余弦定理及基本不等式求a+b的最大值. 22. (本小题满分6分)
已知直线与直线的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程.
参考答案：解：直线的斜率为.
因为直线与直线的倾斜角相等，
所以
.
……………1分
设直线的方程为，
令，则
.
……………2分
因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，
所以
.
……………4分
所以直线的方程为，
即或．……略。