正态总体参数的假设检验

的样本,EX

1 , DX


2 1
,
EY

2 , DY


2 2
,
则由中心极限定理知,
当n1和n2 较大时
U

X
Y
(1
2)
近似
~ N (0,1)

其中

2 1
n1


2 2
n2
故对大样本(n1和n2较大), 仍可用U检验法,这时拒绝条件仍如上表 所示.
如果
2 1
,
2 2
2

2 /2
2 (n 1)
2 2
0


2

2 1
概率统计（ZYH）
例1 某车间生产铜丝, 据经验知该车间生产的铜丝折 断力X~N(570,82).今换了一批质量较好的原材料,从性能上 看,估计折断力的方差不变,但不知折断力是否有所增强.故 从新生产的铜丝中抽取了十个样品,测得折断力(单位:N)为
n1


2 2
n2
T法



2 1
=
2 2
但未知


1 2 1 2 1 2
1 2 T
X Y
1 2
Sw 1 n1 1 n2
1 2 Sw
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ) (n1 n2 2)
N (0,1)
N (0,1) t (n 1)
| U | u / 2 U u U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2


2 0

2

2


2 0
2


2 0


2 0
2
(n 1)S 2


2 0
2


2 0
2


2 0
0
2

2 1
/
2
或
F大 s大2 s小2 3.657 F / 2 F0.025 (8 1, 9 1) 4.53
故接受H0, 即认为两车床生产的钢珠直径的方差无差异.
概率统计（ZYH）
四、两个非正态总体均值的假设检验
如果 X1 , X2 ,L , Xn1 和Y1 ,Y2 ,L ,Yn2 分别是来自非正态总体 X 和Y
2 )
~
t =
2 2
时）
其中Q 1 1 (n1 1)S12 (n2 1)S22 )
n1 n2
(n1 n2 2)
F

S12
2 2
S22
2 1
~ F (n1 1, n2
1)
与构造一个正态总体参数检验法的过程类似,由这三个抽样
分布出发,我们可构造两个正态总体参数的假设检验法。
故接受H0, 即认为该日生产的灯泡的平均寿命没有降低.
概率统计（ZYH）
例3 已知某种导线 ,要求其电阻的标准差不得超过 0.005欧. 今在生产的一批导线中取样品9根,测得s=0.007欧. 设这批导线的电阻服从正态分布,问在显著性水平α=0.05下 能认为这批导线的电阻标准差显著地偏大吗?
解
H0
|x
/
p0 | n

| 0.14 0.17 | 0.376 / 400
1.596

u / 2

u0.025
1.96
故接受H0, 即认为这项新工艺未显著地影响产品的质量.
概率统计（ZYH）
三、两个正态总体参数的假设检验
设样本 X1 , X2 ,L
, X n1 和Y1 ,Y2 ,L
, Yn2
例6 两台车床生产同一型号钢珠,据已有经验可以认为: 这两台车床生产的钢珠直径服从正态分布.现从这两台车床 的产品中分别抽出8个和9个,测得钢珠直径如下(单位:mm)：
甲车床: 15.0, 14.5, 15.2, 15.5, 14.8, 15.1, 15.2, 14.8; 乙车床: 15.2, 15.0, 14.8, 15.2, 15.0, 15.0, 14.8, 15.1, 14.8 问两车床生产的钢珠直径的方差是否有差异 (α=0.05)?
是来自总体 X
~
N
(
1
,

2 1
)
和Y
~
N
(
2
,

2 2
),
并且相互独立,它们的样本均值分别为X
,Y
,
样本
方差分别为S12 , S22 . 则由7.3节的抽样分布知
U X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1), 其中


2 1
n1


2 2
n2
T

X
Y
(1 Q
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验
概率统计（ZYH）
一、一个正态总体参数的假设检验
设 X1 , X2 ,L , Xn 是来自总体 X ~ N (, 2 )的样本, X , S 2分别 是样本均值和样本方差. 则在上节,我们构造了 U检验法( 已知)
| t |
| x y |

1 n1

1 n2

(n1
1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
2.68
t / 2 t0.025 (7 8 2) 2.16 （事实是显著降低）
故拒绝H0, 即认为处理前、后含脂率的均值有显著变化.
概率统计（ZYH）
概率统计（ZYH）
二、非正态总体均值的假设检验
如果 X1 , X2 ,L , Xn 是来自总
体 X的样本, EX , DX 2 , 但
总体不服从正态分布,则由中心极 限定理知
U

X
近似
~ N (0,1)
(当n较大时)
/ n
故对大样本(n较大), 仍可用U检验法,这时拒绝条件仍如上表所示.
解
H0
:

2 1


2 2
H1
:

2 1


2 2
用F 检验法,这时拒绝条件为 F大 F / 2 计算知 n1 8, s12 0.0955, n2 9, s22 0.0261， 所以 s大2 s12 0.0955, n大 n1 8, s小2 s22 0.0261, n小 n2 9
| U | u / 2 U u U u
| T | t / 2 t (n1 n2 2) T t
T t
F法

2 1


2 2

2 1


2 2

2 1


2 2

2 1


2 2
F S1大2 SS22小2
F(n1大11,,nn2小11)) F F / 2
或FF F1F/ 2
其中：S大 S小 , 而 n大是与S大对应的容量,n小是与S小对应的容量.
概率统计（ZYH）
例5 某种物品在处理前、后抽样分析的含脂率如下:
处理前: 0.19, 0.18, 0.21, 0.30, 0.41, 0.12, 0.27
处理后: 0.15, 0.13, 0.07, 0.24, 0.19, 0.06, 0.12, 0.08
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
可
列
提出检验假设 H0 : 0 H1 : 0
在假设条件下, 有检验统计量 U X 0 ~
N (0,1)
入
/ n
检
验 故有支持H1的小概率事件A：P(A) P | UU|uu/ 2
表
于是得检验H
的拒绝条件（或拒绝域）:
0
| UU|uu /2
未知,
则可用样本方差S12
,
S22或样本二阶中心距代替.
概率统计（ZYH）
解
H0 : 0 1600 H1 : 0
用T检验法,这时拒绝条件为T t , 计算知 n 10, x 1582, s 128.6
t
x 0
s/ n
1582 1600 0.443 128.6 / 10

t
t0.05
1.833
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
概率统计（ZYH）
两个正态总体参数的假设检验表（置信度水平为 ）
检验法 假设H0 假设H1
检验统计量
抽样分布 拒绝条件A (P(A) )
U法



2 1
,
2 2
已知


1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
U
X Y

2 1
如果
2未知,
则可用样本方差S
2或样本二阶中心距M
代替.
2
概率统计（ZYH）
例4 某产品的次品率为0.17．现对此产品进行新工艺 试验,从中抽取400件检验,发现有次品56件．能否认为这项
新工艺显著地影响产品的质量( 0.05)
解 设一次试验的次品数为X，则
X ~ B(1, p), EX p, DX p(1 p)
: 2


2 0

0.0052
用 2 检验法,这时拒绝条件为 2 2
将 n 9, s 0.007代入,得
H1
: 2


2 0
2 (n 1)s2 (9 1) 0.0072 15.68

2 0
0.0052
2

2 0.05
(9

1)

15.5
故拒绝H0, 即认为这批导线的电阻标准差显著地偏大.
假定处理前、后的含脂率都服从正态分布, 且标准差不变,
问处理前、后含脂率的均值是否有显著变化 (α=0.05)?
解
H0 : 1 2 H1 : 1 2
用T 检验法,这时拒绝条件为|T| t / 2
将 n1 7, x 0.24, s1 0.096, n2 8, y 0.13, s2 0.062 代入,得



时：X
0

/
n

U, X /
n
~
N (0,1), 从而
P U

u
P

X


/ n

u




因此 A U u 是更小概率的事件,故拒绝条件仍为：U u
概率统计（ZYH）
一个正态总体参数的假设检验表（置信度水平为 ）
检验法 假设H0
/ n 8 / 10
故拒绝H0, 即认为新生产的铜丝折断力有显著提高.
概率统计（ZYH）
例2 已知某工厂在正常情况下生产的灯泡的寿命X服 从正态分布,且均值为1600小时,如果某日发生异常情况,可 能影响产品质量,故测了十个灯泡,其寿命(单位:小时)如下:
1490, 1440, 1680, 1610, 1500, 1750, 1550, 1420, 1800, 1580 问该日生产的灯泡的平均寿命是否有所降低(取α=0.05)?