北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,
)30
B ．1(0,)29
C ．1(0,
)28
D ．1(0,
)27
2．直线2y x m =+与函数()2ln 3x
f x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则
00ln x x +=（ ）
A ．2
B ．ln 2
C ．2e
D ．ln 2- 3．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．e C ．ln 2 D ．1 4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）
A ．ln 2
B ．1
C ．1ln 2-
D ．1ln 2+
5．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是
（ ）
①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；
②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2
π
个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内都是增函数. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21x
f x f x e x '=+-，
且()01f =，则不等式()3x
f x e <的解集为（ ）
A ．()2,1--
B ．()2,1-
C ．()1,1-
D ．()1,2-
7．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段
||PQ 的最小值为（ ）
A ．
65
B C D ．6
8．已知函数1
()1
x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）
A ．410x y -+=
B ．410x y ++=
C ．0x y -=
D ．430x y -+=
9．已知函数()ln a
f x x x
=+
，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．函数()2x a
f x x
+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若
在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭
C ．()1,0-
D ．()
1-
11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平
行，若数列1()f n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）
A ．2007
2008 B ．20092010 C ．20082009
D ．
2010
2011
12．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线
ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）
A ．y ex =
B ．y x e =-
C ．1
y x e =
或y x e =- D ．1
y x e
=
或1y x =- 二、填空题
13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程为_________． 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.
15．已知函数()2e ,1
43,13
x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零
点，则实数k 的取值范围是______.
16．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，则
ab =______.
17．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）
①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x = 18．设曲线1cosx y sinx +=
在点π,12⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．
19．若函数()x
x
f x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是
3
2
,则切点的横坐标是___． 20．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.
三、解答题
21．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数()x f x e =，x ∈R ．
（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =
++有唯一公共点． 23．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程； （Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的最小值. 24．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为
81y x =-+.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．
25．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． 26．已知函数2()ln ()f x tx x t =∈R ． （1）求()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程． （2）若不等式1
()e
f x ≥
恒成立，求实数t 的取值范围． （3）已知0a >，0b >，求证：
22
ln ln 1
a b b a ->-．
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一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，
转化为32
0001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32
254g x x x x =-+，问题转化
为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】
设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，
()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，
则()2
0032
0000
34112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得32
0001254t x x x +=-+有三个解， 令()3
2
254g x x x x =-+，()()()2
61042132g x x x x x '=-+=--，
当()0g x '>，得1x >或2
5x <，()0g x '<，得213
x <<， 所以()g x 在2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减， 又228
327
g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得28
1127t <+<，即1027
t <<
. 故选：D 【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
2．B
解析：B 【分析】
由切线的斜率计算两次可得00
00
2
2x x
e x e x +-
=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】
由已知，00x >且()0'2f x =.
因为()2x x
f x e xe x
'=+-
，所以000022x x e x e x +-=，即()()0
0002110x x x e x ++-=， 所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，所以
0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】
曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.
3．D
解析：D 【解析】
切线的斜率为1，令1
1,1y x x
=
=='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 4．D
解析：D 【解析】
由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，00000
2
ln y kx y x x =-⎧⎨
=⎩，
0002ln kx x x ∴-=，00
2
ln k x x ∴=+
，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.
5．B
解析：B 【分析】
求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案. 【详解】
()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛
⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，
()sin +cos sin ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ①，
()4f x x π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
，()4g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，两函数的值域相同，都是
[，故①正确；
②，若0x 是函数()f x 的极值点，则04
2
x k π
π
π-
=
+，k Z ∈，解得034
x k ππ=+
，
k Z ∈，()03044g x k πππ⎛
⎫=+
+= ⎪⎝
⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确； ③，把函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故③错误；
④，,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()
g x 也是单调增函数，故④正确. 综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选B. 【点睛】
本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.
6．D
解析：D 【分析】
本题首先可以令()()x
f x
g x e
=
，然后根据()()()21x
f x f x e x '=+-得出()21
g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将
()3x f x e <转化为3g x
，通过计算即可得出结果.
【详解】 令()()x
f x
g x e
=
，则()()()
x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21x
f x f x e x '=+-，所以()21
g x x '=-，
设2g x
x x c ，
因为()01f =，所以0
001f g c e ，()2
1g x x x =-+，
因为()3x
f x e <，所以
()
3x
f x e
<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，
故选：D. 【点睛】
本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.
7．C
解析：C 【分析】
求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】
由2ln 2y x =+得2
y x
'=
，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，
函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，
直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为5
d ==
．
∴线段||PQ ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．
8．A
解析：A 【分析】
求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】
由题意1
()1
x e f x x -=+，12
()(1)x xe f x x -'=+， ∴f ′（1）＝
14，又f （1）＝12，则切点为（1，1
2
）， ∴所求的切线方程为：y ﹣12＝1
4
（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．
9．B
解析：B 【分析】
设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln a
f x x x
=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】
设切点为()00,x y ,则()2
1'a
f x x x =
-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪
=-+⎨⎪⎪=+
⎪⎩
,消去0y 有000000
3ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有
()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入200
11a
x x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.
10．B
解析：B 【分析】
求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】
由题意22
()x a
f x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22
0002
00
(1)x a x a x x x +--=-，化简得2
0020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，
2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，
记2
000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈， ∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430
g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得4
3a ≥-，
∴4
13
a -
≤<-． 故选：B. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标
得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二
次方程根的分布问题．
11．B
解析：B 【分析】
求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到
n S ，从而得到答案.
【详解】
因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，
代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2
f x x x =+
所以
21111
()1
f n n n n n ==-++， 所以111111
12231
n S n n =-
+-+⋅⋅⋅+-+ 111
n =-
+ 所以200912009
120102010
S =-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】
①当直线l 过原点时，
设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y
有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=
⎩， 此时直线l 的方程为1
y x e
=
； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程 为1
y x e
=
或1y x =-. 故选：D 【点睛】
本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.
二、填空题
13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=
【分析】
求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】
cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
处的切线方程
为22y x π⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
，即20x y π+-=． 故答案为：20x y π+-=
14．【分析】对函数求导由可以求出切线的斜率进而求出切线方程然后求出切线与坐标轴的交点从而求出围成的三角形的面积【详解】对求导而所以曲线在处的切线斜率为1切线方程为切线与坐标轴的交点为（01）和（-10）
解析：
12
【分析】
对函数()f x 求导，由()'0f 可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积．
【详解】
对()2
x
f x e x =+求导，()'2x
f x e x =+，()0
'001f e =+=，而()0
001f e =+=，
所以曲线在()()
0,0f 处的切线斜率为1，切线方程为1y x =+， 切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0）， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为111122
S =⨯⨯=. 【点睛】
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．
15．【分析】函数有三个零点可知和的图象有三个交点进而作出图形结合图形分类讨论可求出答案【详解】令函数有三个零点则和的图象有三个交点当时且；当时；是过点的折线先考虑特殊情况若折线与在上存在相切设切点为由可
解析：(e 0,61,2⎛⎤
- ⎥⎝⎦
【分析】
函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，可知()f x 和1y k x =+的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案. 【详解】
令()()()1,1
11,1k x x h x k x k x x -+<-⎧⎪=+=⎨
+≥-⎪⎩
， 函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则()f x 和()h x 的图象有三个交点， 当1x ≤时，()e x
f x =，且()1e f =；当13x <<时，
()()()24313f x x x x x =-+-=---；()h x 是过点
1,0的折线.
先考虑特殊情况，若折线与()f x 在(],1-∞上存在相切，设切点为(
)0
0,e
x x ，
由()e x
f x '=，可得切线斜率为0e x ，则切线方程为()000e e x
x
y x x -=-， 因为切线过点
1,0，所以()0000e e 1x x x -=--，
解得00x =，即切点为0,1，切线斜率为1， 切线方程为1y x =+，此时1k =；
若折线与()f x 在()1,3上相切，设切点为(),x y ''， 由图象可知()1,2x '∈，且01k <<， 令()2
431x k x x =-++-，
方程整理得()2
403k x x k -++=+，
则()()2
4430
k k ∆=--+=，解得6k =±
因为()f x 在()1,3上最大值为()2
224231f =-+⨯-=，
所以()101
213k ->
=--，即113
k <<，
计算可知6421+>，
1
64213
<-<，所以642k =-； ①当0k ≤时，()10h x k x =+≤，两个函数没有交点，不符合题意； ②当0642k <<-时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上没有交点，在()1,3上有2个交点，共有3个交点，符合题意； ③当6421k -≤≤时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上至多有1个交点，不符合题意； ④当()e 0e
1112
k -<≤=--，
即e
12
k <≤
时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上有2个交点，在()1,3上没有交点，共有3个交点，符合题意. ⑤当e
2
>
k 时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围是()
e 0,642
1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦
.
故答案为：(e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.
16．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2
【分析】
由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)2
13f f '=⎧⎨=⎩
，即可求解.
【详解】
由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2a
f x a x
'=
-， 因为函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，
所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩
，所以2ab =.
故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
17．①④⑤【分析】理解新定义的意义借助导数的几何意义逐一进行判断推理即可得到答案【详解】对于①所以是曲线在点处的切线画图可知曲线在点附近位于直线的两侧①正确；对于②因为所以不是曲线：在点处的切线②错误；
解析：①④⑤ 【分析】
理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案． 【详解】
对于①，2
03,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；
对于②，因为22(2),|0x y x y =-''=+=，所以:2l x =-不是曲线C ：2(2)y x =+在点()2,0P -处的切线，②错误；
对于③，e x y '=,0
0|1x y e ='==，在(0,1)P 的切线为1y x =+，画图可知曲线C 在点(0,1)P 附近位于直线l 的同侧，③错误；
对于④，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，画图可知曲线C ：
sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；
对于⑤，21cos y x '=
，02
1
|1cos 0
x y ='==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，图可知曲线C ：tan y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，⑤正确．
【点睛】
本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题．
18．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基
解析：1-
【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫
⎪⎝⎭
',得到a 的方程求解即可. 【详解】
切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1
a
， 又2
1cosx
y sin x
--=
'， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即
1
1a
=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】
本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.
19．ln2【解析】由题意可得是奇函数∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1f （x ）=曲线y=f （x ）在（xy ）的一条切线的斜率是即解方程可得ex=2⇒
x=ln2故答案为ln2 解析：ln 2
【解析】
由题意可得，()x x
f x e ae -=-'是奇函数
∴f ′（0）=1﹣a =0
∴a =1，f （x ）=x x e e -+，()x
x
f x e e -'=-
曲线y =f （x ）在（x ，y ）的一条切线的斜率是32，即32
x x
e e --= 解方程可得e x =2⇒x =ln 2 故答案为ln 2．
20．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由
解析：
2
π
【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】
由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过
(,sin )B ββ，
∴sin sin cos ()βααβα-=-，由
得βαπ=-，
∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2
π
α=．
故答案为：2
π． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．
三、解答题
21．（1）2
()f x x x
=-；（2）证明见解析，定值为4. 【分析】
（1）由曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=，可得
3(2)42
(2)21
2b f a b f a ⎧
=+=⎪⎪⎨
⎪=-=⎩
'⎪，从而求出,a b 的值，进而可得()f x 的解析式； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，则可得点P 的切线方程为
()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，从而可求出切线与直线0x =和直线y x =的交点坐
标，进而可求出所求面积 【详解】
（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线3240x y --=的方程得(2)1f =，
()b f x ax x =-
，则2()b f x a x '
=+，直线3240x y --=的斜率为32
， 于是3(2)42
(2)21
2b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩
'⎪，解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()f x x x =-；
（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2
()f x x x
=-
， 22
()1f x x
'
∴=+，又()00
02f x x x =-，
所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 即20024
1y x x x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭
， 令0x =，得04y x =-
，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 联立200241y x
y x x x =⎧⎪
⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .
所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为
00
14
242S x x =⋅-⋅=
故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 22．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】
试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可
()2法一：等价函数()2
112
x x e x x ϕ=-
--零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故
()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2
112x
x x y e ++=
与1
y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定
（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1
g x x
'=
，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()x
f x e =与曲线2
112
y x x =
++公共点的个数等于函数()2112
x x e x x ϕ=---零点的个数
∵
()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…
又()1x
x e x ϕ='--，令()()1x
h x x e x ϕ==--'，则()1x
h x e '=-．
当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，
∴
()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'= 即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），
∴
()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，
故曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，
2
1102
x x ++>， ∴曲线x
y e =与曲线2112
y x x =++公共点的个数等于曲线2
112x
x x y e ++=与1
y =的公共点的个数
设()2
11
2x
x x x e ϕ++=
，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x x
x e x x e x x e e ϕ⎛⎫
+-++-
⎪⎝⎭='=
≤（当且仅当0x =时等号成立），∴
()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，
故曲线()y f x =与曲线2
112
y x x =
++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。

23．（Ⅰ）11()y x e e
-=-即1
y x e =；（Ⅱ）0.
【分析】
（Ⅰ）对函数进行求导，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，写出点斜式方程，把原点的坐标代入切线方程， 可求出切点坐标，进而求出切线方程；
（Ⅱ）不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，可以转化为ln 0x ax b --≤恒成立，构造新函数()ln (0)m x x ax b x =-->，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，得到
ln 1
b a a a
+≥-，再构造一个新函数，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，由
()ln f x x =的单调性，可以求出2b f a ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的最小值. 【详解】
（I ）设切点为()00,x y ，因为1
()f x x
'=，所以01i k x =，
所以()000
1:l y y x x x -=
-，得()00001
001y x y x -=-=，
因为00ln y x =，所以0=x e ，
故l 的方程为11()y x e e
-=
-即1
y x e =.
（II ）不等式()f x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，
记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)ax
m x x x
'
-=>， 当>0a 时，令()0m x '=，得1x a
=
， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，此时()m x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0m x '<，此时()m x 单调递减， 则max 1()ln 10m x m a b a ⎛⎫
==---≤
⎪⎝⎭
，即ln 1b a ≥--， 则ln 1
b a a a
+≥-， 记ln 1()a n a a +=-
，则2ln ()(0)a n a a a
'
=>，令()0n a '=，得=1a ， 当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减， 当(1,)∈+∞a 时，()0n a '>，此时()n a 单调递增， 则min ()(1)1n a n ==-，得b
a
的最小值为1-， 所以2b
a
+
的最小值为1， 因为()ln f x x =是增函数，所以2b f a ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的最小值为ln10=. 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的切线方程，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.
24．（1）()32
431f x x x x =---（2）极小值为()319f =-,极大值为113327
f ⎛⎫-=-
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出()1f '，由切线斜率为()1f '，得到等式()18f '=-①，再将1x =代入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数()y f x =的解析式，得到等式②，将等式①②联立求出a 与b 的值，于此可得出函数()y f x =的解析式；
（2）对函数()y f x =求导，求出该函数的极值点，分析函数()y f x =在区间()1,4-上的单调性，便可求出该函数在区间()1,4-上的极值。

【详解】
（1）因为32()1f x x ax bx =++-， 所以，()2
32f x x ax b '=++.
所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程的 斜率()()1
132x k f x f a b =''===++
又因为8k =-,
所以,211a b +=- ① 又因为()111811f a b =++-=-⨯+ 所以,=7a b +- ② 联立①②解得4,3a b =-=-. 所以,()3
2
431f x x x x =---.
(2)由(1)知,()()2
1383333f x x x x x ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝
⎭
,
令()0f x '=得,121,33
x x =-= 当1
13
x -<<-,()0f x '>,()f x 单调递增；
当1
33
x -
≤<,()0f x '<,()f x 单调递减； 当34x ≤<,()0f x '>,()f x 单调递增. 所以()f x 在区间()1,4-上的极小值为()319f =-, 极大值为113327
f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的极值，在处理直线与函数图象相切的
问题时，要把握以下两点；
（1）切点是切线与函数图象的公共点；
（2）导函数在切点出的导数值等于切线的斜率。

25．（1）y ＝－2（2）y ＝－
94x ＋14 【分析】
（1）由已知可得斜率函数为()2
33f x x '=-，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可；（2）设另一切点为()
3000,3x x x -，求出该点切线方程，将点P 代入得到关于0x 的方程，解出0x 即可得结果．
【详解】
（1）由()33f x x x =-，得()2
33f x x '=-， 过点P 且以()1
2P -，为切点的直线的斜率()10f '=， ∴所求直线方程为2y =-．
(2)设切点坐标为()
3000,3x x x -， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝320x －3，
∴直线l 的方程为y －(30x －3x 0)＝(320x －3)(x －x 0)，
又直线l 过点P (1，－2)，
∴－2－(30x －3x 0)＝(320x －3)(1－x 0)，
∴30x －3x 0＋2＝(320x －3)(x 0－1)，
解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－
12， 故所求直线斜率k ＝320x －3＝－
94， 于是()()9214y x --=-
-，即9144
y x =-+. 【点睛】 本题较为简单，主要考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可．注意区分曲线在P 点处的切线和曲线过P 点的切线，前者P 点为切点；后者P 点不一定为切点，P 点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点.
26．（1）(1)y t x =-；（2）[2,0)-；（3）证明见解析．
【解析】
分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线方程.(2)先对t 分类讨论求f(x)的最大值，即得实数t 的取值范围.(3)利用分析法证明
22
ln ln 1a b b a ->-． 详解：（1）()10f =，()()2ln f x t x x x '=+，
∴()1f t '=，
∴()f x 在()()1,1f 处切线方程为()1y t x =-．
（2）()12ln
2f x tx x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭'，0x >，令()0f x '=，解得x = ①0t =时，()10e
f x =≤恒成立，符合要求， ②0t >时，函数()f x 在
⎛
⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭
上单调递减， x →+∞时，()f x →+∞，不满足()1
e f x ≤恒成立，舍去．
③0t <时，函数()f x 在
⎛
⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭
上单调递增， ∴
x =()f x 取得极大值即最大值， 由()111e 22f t t ⎛⎫=⨯⨯-
≥ ⎪⎝⎭恒成立，解得2t ≥-， 综上所述[)2,0t ∈-．
（3）证明：0a >，0b >，要证明22
ln ln 1a b b a ->-， 只需证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令a x b =， 只需证明0x >，2ln 1x x -<即可，
由（2）知，当1t =-时，211ln 1
e 2e x x
f -≤=-=<， ∴0x >时，2ln 1x x -<，
∴0a >，0b >时，22ln ln 1a b b a
->-． 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求最值和极值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能
力.(2)本题的难点在第3问，突破的关键是分析转化，先转化为证明2ln a b b a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
，再换元转化，令a x b =，只需证明0x >，2ln 1x x -<即可.。