【浙教版】九年级数学下期中模拟试题(附答案)(1)

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一、选择题
1.如图,正方形ABCD 中,ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆,AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ,若4AE =则EF ED ⋅的值为( )
A .4
B .6
C .8
D .16
2.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,点P 是BD 上的一个动点,过点P 作EF ∥AC ,分别交正方形的两条边于点E ,F ,连接OE ,OF ,设BP =x ,△OEF 的面积为y ,则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像为( )
A .
B .
C .
D . 3.已知
a 3
b 4=,则下列变形错误的是( ) A .34a b = B .34a b = C .4a=3b D .43
b a =
4.如图,直线12//l l ,:2:3AF FB =,:2:1BC CD =,则:AE EC 是( )
A .1:2
B .1:4
C .2:1
D .3:2
5.如图,已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点,且,AE EB >若1S 表示AE 为边长的正方形面积,2S 表示以BC 为长,BE 为宽的矩形面积,3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积,则32:S S 的值为( )
A .51-
B .512+
C .3
52 D .35+ 6.如图,四边形ABCD 是正方形,E 是BC 的中点,连接AE 与对角线BD 相交于点G ,连接CG 并延长,交AB 于点F ,连接DE 交CF 于点H .以下结论:
①CDE BAE ∠=∠;②CF DE ⊥;③AF BF =;④22CE CH CF =⋅.其中正确结论的个数有( )
A .1
B .2
C .3
D .4
7.已知反比例函数13y x
=-,下列结论中不正确的是( ) A .图象必经过点11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
B .y 随x 的增大而增大
C .图象在第二、四象限内
D .若1x >,则103
y -<<
8.函数y a x a =+与(0)a y a x
=≠在同一直角坐标系中的图像可能是( ) A . B . C .
D .
9.如图,O 为坐标原点,菱形OABC 的顶点A 的坐标为(3
4)-,,顶点C 在x 轴的负半轴上,函数(0)k y x x
=<的图象经过顶点B ,则k 的值为( )
A .12-
B .27-
C .32-
D .36-
10.在平面直角坐标系xOy 中,对于横、纵坐标相等的点称为“好点”.下列函数的图象中
不存在...
“好点”的是( ) A .y x =- B .2y x =+ C .2y x = D .22y x x =- 11.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图,则一次函数y ax bc =+与反比例函数abc y x
=在平面直角坐标系中的图象可能是( ).
A .
B .
C .
D .
12.如图,点A 是反比例函数2(0)y x x =>的图象上任意一点,AB x 轴交反比例函数
3y x
=-的图象于点B ,以AB 为边作ABCD ,其中C 、D 在x 轴上,则ABCD S 为
( )
A .2.5
B .3.5
C .4
D .5
二、填空题
13.如图,D E 、分别是ABC 的边AB BC 、上的点,且//,
DE AC AE CD 、相交于点O ,若:1:25DOE COA S S =△△,则BE CE
的值是________.
14.如图,为了估算河的宽度,小明采用的办法是:在河的对岸选取一点A ,在近岸取点D ,B ,使得A ,D ,B 在一条直线上,且与河的边沿垂直,测得10m BD =,然后又在垂直AB 的直线上取点C ,并量得30m BC =.如果20m DE =,则河宽AD 为_________m .
15.目前,某市正积极推进“五城联创”,其中扩充改造绿地是推进工作计划之一.现有一块直角三角形绿地,量得两直角边长分别为a=3米和b=4米,现要将此绿地扩充改造为等腰三角形,且扩充部分为含以b 为直角边的直角三角形,则扩充后等腰三角形的周长为____________米
16.已知⊙O 的半径为2,A 为圆上一定点,P 为圆上一动点,以AP 为边作等腰Rt △APG ,P 点在圆上运动一周的过程中,OG 的最大值为____.
17.如图,平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点B 在x 轴负半轴上,边CD 与x 轴交于点E ,连接AE ,//AE y 轴,反比例函数()0k y x x
=>的图象经过点A ,及AD 边上一点F ,4AF FD =,若,2DA DE OB ==,则k 的值为________.
18.近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (米)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为________.(无需确定x 的取值范围)
19.反比例函数16y x =与2k y x
=()0k <的图像如图所示,点P 是x 正半轴上一点,过点
P作x轴的垂线,分别交反比例函数1
6
y
x
=与
2
k
y
x
=()0
k<的图像于点A,B,若
4
AB PB
=,则k的值为_______.
20.已知点A(-1,2)在反比例函数
1
m
y
x
-
=的图象上,则m=_____________.
三、解答题
21.如图,正方形ABCD的边长为4,E是CD中点,点P在射线AB上,过点P作线段AE 的垂线段,垂足为F.
(1)求证:PAF AED
△∽△;
(2)连接PE,若存在点P使PEF与AED相似,直接写出PA的长____.
22.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x秒.
(1)当x为何值时,PQ//BC;
(2)当
1
3
BCQ
ABC
S
S


=时,求S△BPQ:S△ABC的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出时间x的值;若不能,说明理由.23.()1如图1,四边形ABCD和BEFG都是正方形,将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转,记旋转角为,a则图中AG与CE的数量关系是__ ,AG与CE的位置关系是_ _ ;
()2如图2,四边形ABCD 和BEFG 都是矩形,且2,2BC AB BE BG ==,将矩形BEFG 绕点B 按顺时针方向旋转,记旋转角为,a 图中AG 与CE 的数量和位置关系分别是什么?请仅就图2的情况给出证明;
参考答案
24.已知,反比例函数k y x
=
(k 是常数,且0k ≠)的图象经过点(,3)A b . (1)若4b =,求y 关于x 的函数表达式.
(2)若点(3,3)B b b 也在该反比例函数图象上,求b 的值. 25.如图,一次函数y 1=kx +b (k ≠0)和反比例函数()20m y m x
=
≠的图象相交于点A (﹣4,2),B (n ,﹣4)
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出不等式y 1<y 2的解集.
26.如图,一次函数y kx b =+与反比例函数6(0)y x x
=
>的图象交于(),6A m ,()3,B n 两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出
6
kx b
x
+-<的x的取值范围;
(3)求AOB的面积.
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一、选择题
1.D
解析:D
【分析】
根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°,根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠ADB=45°,
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C',
∴∠EAF=∠BAC=45°,
∵∠AEF=∠DEA,
∴△AEF∽△DEA,
∴AE EF
DE AE
=,
∴EF•ED=AE2,
∵AE=4,
∴EF•ED的值为16,
故选:D.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,找出相关的相似三角形是解题的关键.
2.C
【分析】
根据题意易得BO =
EF 与x 的关系,进而分两种情况,依情况来判断函数图像即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是正方形,边长为2,

AC BD ==12BO OD BD ==
=
①当P 在OB 上时,即0x ≤≤
∵EF ∥AC ,
∴△BEF ∽△BAC , ∴
EF BP AC OB
=, ∴22EF BP x ==, ∵
OP x =

∴)
2122y x x x =⨯⨯=-+;
②当P 在OD x <≤
∵EF ∥AC ,
∴△DEF ∽△DAC , ∴
EF DP AC OD =,
=,
∴)2EF x =,
∵BP=x , ∴
OP x =
∴(()
21242y x x x =⋅=-+-, 这是一个二次函数,根据二次函数的性质可知:二次函数的图像是一条抛物线,开口向下,
故选C .
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质,关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式,进而求解.
3.A
解析:A
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.
【详解】 解:由34
a b 得,4a=3b , A 、由等式性质可得:ab=12,原变形错误,故这个选项符合题意;
B 、由等式性质得到4a=3b ,原变形正确,故这个选项不符合题意;
C 、由等式性质可得:4a=3b ,原变形正确,故这个选项不符合题意;
D 、由等式性质可得:4a=3b ,原变形正确,故这个选项不符合题意;
故选:A .
【点睛】
本题考查比例的性质.熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键.
4.C
解析:C
【分析】
为了便于计算,可设AF =2x ,BF =3x ,BC =2y ,CD =y ,利用AG ∥BD ,可得
△AGF ∽△BDF ,从而可求出AG ,那么就可求出AE :EC 的值.
【详解】
解:如图所示,
∵AF :FB =2:3,BC :CD =2:1
∴设AF =2x ,BF =3x ,BC =2y ,CD =y
∵12//l l ,
∴△AGF ∽△BDF ,
∴AG BD =AF BF
∴3AG y =23
∴AG =2y
∴AE :EC =AG :CD =2y :y =2:1
故选:C .
【点睛】
根据三角形相似,找到各对相似三角形的共公边,建立起不同三角形之间的联系,是解答此题的关键.
5.A
解析:A 【分析】
设正方形ABCD 的边长为a ,关键黄金分割点的性质得到51AE AB 和12
BE
AE =,用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积,再求比例. 【详解】
解:设正方形ABCD 的边长为a , ∵点E 是AB 上的黄金分割点,

51
2
AE
AB ,则12AE a =,
∴BE AE =,则2
BE a ==⎝⎭,
∵2
221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭,
2
232
S BE BC a =⋅=

∴)
222
232S a a =-=,
∴)
2232:2S S a a ==
. 故选:A . 【点睛】
本题考查黄金分割点,解题的关键是掌握黄金分割点的性质.
6.D
解析:D 【分析】
证明△ABE ≌△DCE ,可得结论①正确;由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ,BE=CE ,∠DCE=∠ABE=90°,∠ABD=∠CBD=45°,可证△ABE ≌△DCE ,△ABG ≌△CBG ,可得∠BCF=∠CDE ,由余角的性质可得结论②;证明△DCE ≌△CBF 可得结论③,证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确. 【详解】
解:∵四边形ABCD 是正方形,点E 是BC 的中点,
∴AB=AD=BC=CD ,BE=CE ,∠DCE=∠ABE=90°,∠ABD=∠CBD=45°, ∴△ABE ≌△DCE (SAS )
∴∠DEC=∠AEB ,∠BAE=∠CDE ,DE=AE ,故①正确, ∵AB=BC ,∠ABG=∠CBG ,BG=BG , ∴△ABG ≌△CBG (SAS )
∴∠BAE=∠BCF ,
∴∠BCF=∠CDE ,且∠CDE+∠CED=90°, ∴∠BCF+∠CED=90°, ∴∠CHE=90°, ∴CF ⊥DE ,故②正确,
∵∠CDE=∠BCF ,DC=BC ,∠DCE=∠CBF=90°, ∴△DCE ≌△CBF (ASA ), ∴CE=BF , ∵CE=12BC=1
2AB , ∴BF=
1
2
AB , ∴AF=BF ,故③正确,
∵∠BCF+∠BFC=90°,∠DEC=∠BFC ∴∠BCF+∠DECC=90°, ∴∠CHE=90° ∴∠CHE=∠FBC 又∠DEC=∠BFC ∴△CHF ∽△CBF

CH CE
BC CF = ∵BC=2CE ,
∴2BC CE CE CE
CH CF CF
== ∴22CE CH CF =⋅ 故选:D . 【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理等知识,熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.
7.B
解析:B 【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特点:横纵坐标之积=k ,可以判断出A 的正误;根据反比例函数的性质:k <0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y 随x 的增大而增大可判断出B 、C 、D 的正误. 【详解】
A 选项:将1x =-代入得13y =
故过11,3⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭,故A 正确;
B 选项:1
03
k =-<,故在每个象限内y 随x 的增大而增大,故B 错误; C 选项:1
03
k =-
<,故图象过二、四象限,故C 正确; D 选项:若1x >,则1
03
y -<<,故D 正确. 故选:B . 【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特点,关键是熟练掌握反比例函数的性质:(1)反比例函数y =
k
x
(k≠0)的图象是双曲线;(2)当k >0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每一象限内y 随x 的增大而减小;(3)当k <0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每一象限内y 随x 的增大而增大.
8.B
解析:B 【分析】
分a >0与a <0两种情况,根据一次函数和反比例函数的图象与性质解答即可. 【详解】
解:当a >0时,y =|a |x +a =ax +a 的图象在第一、二、三象限,a
y x
=的图象在第一、三象限,此时选项B 正确;
当a <0时,y =|a |x +a =﹣ax +a 的图象在第一、三、四象限,a
y x
=的图象在第二、四象限,此时没有正确选项; 故选:B . 【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质,属于常考题型,熟练掌握上述知识是解题关键.
9.C
解析:C 【详解】 ∵A (﹣3,4), ∴
, ∵四边形OABC 是菱形,
∴AO=CB=OC=AB=5,则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8, 故B 的坐标为:(﹣8,4),
将点B 的坐标代入k y x
=
得,4=8k -,解得:k=﹣32.故选C .
考点:菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.
10.B
解析:B 【分析】
根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点,再各函数中令y=x ,对应方程无解即不存在“好点”. 【详解】
解:根据“好点”的定义,好点即为直线y=x 上的点,令各函数中y=x , A 、x=-x ,解得:x=0,即“好点”为(0,0),故选项不符合; B 、2x x =+,无解,即该函数图像中不存在“好点”,故选项符合;
C 、2
x x
=
,解得:x =x =“好点”)
和(,),故选项不符合;
D 、22x x x =-,解得:x=0或3,即“好点”为(0,0)和(3,3),故选项不符合; 故选B. 【点睛】
本题考查了函数图像上的点的坐标,涉及到解分式方程,一元二次方程,以及一元一次方程,解题的关键是理解“好点”的定义.
11.C
解析:C 【分析】
由二次函数的图像性质分析a ,b ,c 的符号,从而判断bc 和abc 的符号,然后结合反比例函数和一次函数图像性质进行判断即可. 【详解】
解:由题意可知,二次函数开口向上,∴a >0 由二次函数对称轴在y 轴右侧,∴b<0 由二次函数与y 轴交于原点上方,∴c >0 ∴bc<0,abc<0
∴一次函数图像经过一、三、四象限,反比例函数图像经过二四象限 故选:C . 【点睛】
本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图像性质,掌握函数图像性质,利用数形结合思想解题是关键.
12.D
解析:D 【分析】
过点B 作BH ⊥x 轴于H ,根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同,由题意可设点A 的坐标为(
2a
,a ),点B 的坐标为(3
a -,a ),即可求出BH 和AB ,最后根据平行四边
形的面积公式即可求出结论. 【详解】
解:过点B 作BH ⊥x 轴于H
∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴//AB x 轴,CD=AB ∴点A 和点B 的纵坐标相同 由题意可设点A 的坐标为(2a
,a ),点B 的坐标为(3
a -,a )
∴BH=a ,CD=AB=2a -(3
a -)=5a
∴ABCD
S
=BH·CD=5
故选D . 【点睛】
此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题,掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键.
二、填空题
13.【分析】先证明然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值继而可求的值最后可求的值【详解】解:又故答案是:【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键
解析:1
4
【分析】
先证明DOE COA ∽,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出DE
AC
的值,继而可求BE
BC 的值,最后可求BE EC
的值. 【详解】
解:
//DE AC ,
DOE COA ∴∽,
又:1:25DOE COA S S =△△,
1
5
DE AC ∴
=, //DE AC ,
BDE BAC ∴∽△△, 15BE DE BC AC ∴==, 14
BE EC ∴=. 故答案是:1
4

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
14.20【分析】证出ADE 和ABC 相似然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】解:∵AB ⊥DEBC ⊥AB ∴DE ∥BC ∴ADE ∽ABC ∴即解得:AD =20m 故答案为:20【点睛】本题考查了相似三
解析:20 【分析】
证出ADE 和ABC 相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可. 【详解】
解:∵AB ⊥DE ,BC ⊥AB , ∴DE ∥BC , ∴ADE ∽
ABC ,
∴AD DE
AB BC
=, 即
20
1030AD AD =+,
解得:AD =20m . 故答案为:20. 【点睛】
本题考查了相似三角形的应用,利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键.
15.16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可
①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B 分别计算即可【详解】解:如图在Rt △ABC 中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△
解析:16或或403
【分析】
分三种情形讨论即可,①AB=BE 1,②AB=AE 3,③E 2A=E 2B ,分别计算即可. 【详解】 解:如图
在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90,BC=3,AC=4 ∴225AB BC AC =
+= ①当BA=BE 1=5时,CE 1=2, ∴221125AE AC CE =
+=∴△ABE 1周长为(5 ②当AB=AE 3=5时,CE 3=BC=3,BE 3=6, ∴△ABE 3周长为16米.
③当E 2A=E 2B 时,作E 2H ⊥AB ,则BH=AH=2.5, ∵∠B=∠B ,∠ACB=∠BHE 2=90∘, ∴△BAC ∽△BE 2H ,

2
BE BH BC AB
= ∴BE 2=256

∴△ABE 2周长为25402563

+=米. 综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或540
3
米 故答案为:16或5403
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识,正确理解题意是解题的关键,运用了分类讨论的数学思想,注意漏解.
16.【分析】连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O 于点H 连接AHHCOP 首先证明∠OAP ∽△HAG 推出由OP=2可得HG=2由OG≤OH+HG 推出OG≤2+2由此即可解决问题;【详解】解:连接OA 作OH ⊥OA 交⊙O
解析:222+
【分析】
连接OA ,作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ,连接AH ,HC ,OP .首先证明∠OAP ∽△HAG ,推出
2
OP OA HG AH ==
,由OP=2,可得HG=22,由OG≤OH+HG ,推出OG≤2+22,由此即可解决问题; 【详解】
解:连接OA ,作OH ⊥OA 交⊙O 于点H ,连接AH ,HG ,OP .
∵OA =OH ,∠AOH =90°, ∴AH 2OA , ∴AP =PG ,∠APG =90°, ∴AG 2AP , ∴
2
OA AP AH AG ==
∵∠OAH =∠PAG =45°, ∴∠OAP ∽△HAG , ∴
2
OP OA HG AH ==
. ∵OP =2, ∴HG 2. ∵OG ≤OH +HG , ∴OG 2,
∴OG 的最大值为2. 故答案为:2. 【点睛】
本题考查旋转变换,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,三角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题.
17.【分析】根据矩形的性质已知条件可得均为等腰直角三角形进而根据点在坐标系中的位置设并过点作于再根据点与点之间的相对位置反比例函数的解析式用含表示出然后利用反比例函数的解析式得到关于的方程解方程即可得解
解析:15
【分析】
根据矩形的性质、已知条件可得ADE 、ABE △、BCE 均为等腰直角三角形,进而根据点在坐标系中的位置设(),0E x ,并过D 点作DH
AE ⊥于H ,再根据点与点之间的相
对位置、反比例函数的解析式用含x 、k 表示出,
k A x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭、7436,55x x F ++⎛⎫
⎪⎝⎭
,然后利用反比例函数的解析式得到关于k 的方程,解方程即可得解. 【详解】
∵AD AE =,90ADE ∠=︒

ADE 为等腰直角三角形
∴45DAE ∠=︒
∴9045BAE DAE ∠=︒-∠=︒ ∴ABE △为等腰直角三角形 ∴45ABE ∠=︒ ∴45CBE ∠=︒ ∴
BCE 为等腰直角三角形
设(),0E x ,则,
k A x x ⎛⎫
⎪⎝

,过D 点作DH AE ⊥于H ,如图:
∴()111
2222
DH AE BE x =
==+ ∴()132
222
x DH OE x x ++=+
+= ∴322,22x x D ++⎛⎫
⎪⎝
⎭ ∵
4AF FD =
∴点F 的横坐标为
32217422415x x x +++-⋅=+、纵坐标为22136
22145
x x x ++++⋅=+ ∴7436,55x x F ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
∵,k A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴2k
AE x x
==+ ∴
()2k x x =+
∴()7436
255
x x k x x ++=⋅=⋅+ ∴
()()()7436252x x x x ++=+
∴3x =或2x =-(不合题意舍去) ∴()()233215k x x =+=⨯+=. 【点睛】
本题考查了反比例函数、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等,能够表示出点F 坐标是解题的关键.
18.【解析】根据题意得xy =025×400=100∴ 解析:100
y x
=
【解析】
根据题意得xy =0.25×400=100,∴100
y x
=
. 19.-2【分析】设点A 横坐标为m 分别表示出ABPB 根据得到关于k 的方程解方程即可【详解】解:设点A 横坐标为m 则点A 纵坐标为∵AB ⊥x 轴∴点B 纵坐标为∴AB=PB=∵∴∴∴故答案为:-2【点睛】本题考查了
解析:-2 【分析】
设点A 横坐标为m ,分别表示出AB 、PB ,根据4AB PB =,得到关于k 的方程,解方程即可. 【详解】
解:设点A 横坐标为m ,则点A 纵坐标为6m
, ∵ AB ⊥x 轴, ∴点B 纵坐标为k m
, ∴AB =
66k k
m m m
--= ,PB =k k m m =-, ∵4AB PB =, ∴
64k k
m m
-=- , ∴64k k -=- ,
∴2k =-.
故答案为:-2
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的表示,解题的关键是根据4AB PB =列出方程,注意表示PB 时,注意式子符号问题.
20.-1【分析】将点A (-12)代入反比例函数即可求出m 的值【详解】将点A (-12)代入反比例函数得解得m=-1;故答案为:-1【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征所有在反比例函数上的点的横纵
解析:-1
【分析】
将点A (-1,2)代入反比例函数1m y x -=
即可求出m 的值. 【详解】
将点A (-1,2)代入反比例函数1m y x
-=,得 121
m -=-, 解得,m=-1;
故答案为:-1.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.
三、解答题
21.(1)见解析;(2)2或5
【分析】
(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可.
(2)分两种情形:当PA=PB=2时,易知PE ∥AD ,此时∠DAE=∠PEF ,∠D=∠PFE=90°,可得△PEF ∽△EAD .当∠AED=∠PEF ,∠D=∠PFE 时,△ADE ∽△PFE ,分别求解即可.
【详解】
(1)证明:在正方形ABCD 中,90D ∠=︒,//CD AB ,
∴DEA PAE ∠=∠.
∵PF AE ⊥,
∴D AFP ∠=∠.
∴PAF AED △∽△.
(2)当PA=PB=2时,∵DE=EC ,AP=PB ,
∴PE ∥AD ,此时∠DAE=∠PEF ,∠D=∠PFE=90°,可得△PEF ∽△EAD .
当∠AED=∠PEF ,∠D=∠PFE 时,△ADE ∽△PFE ,
∵CD ∥AB ,
∴∠AED=∠EAP=∠AEP ,
∴PA=PE ,
∵PF ⊥AE ,
∴AF=FE ,
∵AD=4,DE=EC=2,∠D=90°,
∴=
==AE
∴AF =
∵△PAF ∽△AED , ∴
PA AF AE DE =,
∴= ∴PA=5,
综上所述,满足条件的PA 的值为2或5.
故答案为:2或5.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质,正方形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
22.(1)103x =
;(2)29;(3)109x =或x=5. 【分析】
(1)当PQ ∥BC 时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP ,PQ ,AB ,AC 的比例关系式,我们可根据P ,Q 的速度,用时间x 表示出AP ,AQ ,然后根据得出的关系式求出x 的值.
(2)我们先看当13
BCQ
ABC S S ∆∆=时能得出什么条件,由于这两个三角形在AC 边上的高相等,那么他们的底边的比就应该是面积比,由此可得出CQ :AC=1:3,那么CQ=10cm ,此时时间x 正好是(1)的结果,那么此时PQ ∥BC ,由此可根据平行这个特殊条件,得出三角形APQ 和ABC 的面积比,然后再根据平行得出 AP :PB 的值,从而得出三角形PBQ 与三角形APQ 的面积,即可求解.
(3)本题要分两种情况进行讨论.可以证明∠A 和∠C 相等,那么就要分成AP 和CQ 对应成比例以及AP 和BC 对应成比例两种情况来求x 的值.
【详解】
(1)当AP AQ PB QC
=时,PQ//BC 43032043x x x x
-∴=- 180600x ∴=
解得:103x =
(2)当13
BCQ
ABC S S ∆∆=时 13
CQ AC = 13
CQ AC ∴= 13303
x =⨯ 103
x ∴= 由(1)得103
x =时, 20,10AQ CQ ==
202303
AQ AC == AQP ACB ∆∆
49
AQP
ACB S S ∆∆∴= 设4AQP S a ∆=
则9ACB S a ∆=
2AP PB =
122
BPQ AQP S S a ∆∆∴== 22:99BPQ ABC a S S a ∆∆∴=
=. (3)当APQ CQB ∠=∠时 ∵AB=BC,
∴∠A=∠C,
∴APQ CQB ∆∆
AQ AP BC CQ ∴
= 3034203x x x
-∴= 解得109
x =
当CBQ APQ ∠=∠时
∵AB=BC,
∴∠A=∠C,
∴CBQ APQ ∆∆ CQ BC AQ AP ∴= 3203034x x x
∴=- 解得:125,10x x ==-(舍去)
经检验,x=5是原分式方程的解.
综上所述,当109
x =
或x=5时相似. 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质,根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键.
23.(1)AG=CE ,AG ⊥CE ;(2)CE=2AG ,理由见详解.
【分析】
(1)根据题意易得AB=CB ,BG=BE ,∠ABC=∠GBE=90°,则有∠ABG=∠CBE ,进而可证△ABG ≌△CBE ,然后问题可证,延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ,然后根据三角形全等的性质及直角三角形的性质可求解;
(2)由题意易得∠ABG=∠CBE ,则可证△ABG ∽△CBE ,进而问题可得证.
【详解】
解:(1)∵四边形ABCD 和BEFG 都是正方形,
∴AB=CB ,BG=BE ,∠ABC=∠GBE=90°,
∴∠ABG+∠GBC=90°,∠CBE+∠GBC=90°,
∴∠ABG=∠CBE ,
∴△ABG ≌△CBE (SAS ),
∴AG=CE ,
延长AG 交BC 、CE 与点H 、M ,如图所示:
∴∠GAB=∠ECB ,
∵∠GAB+∠AHB=90°,∠AHB=∠CHM ,
∴∠ECB+∠CHM=90°,
∴AM ⊥CE ,即AG ⊥CE ,
故答案为AG=CE ,AG ⊥CE ;
(2)CE=2AG ,理由如下:
∵四边形ABCD 和BEFG 都是矩形,
∴∠ABC=∠GBE=90°,
∴∠ABG+∠GBC=90°,∠GBC+∠CBE=90°,
∴∠ABG=∠CBE ,
∵2,2BC AB BE BG ==,
∴△ABG ∽△CBE , ∴
2BC CE AB AG
==, ∴CE=2AG .
【点睛】 本题主要考查矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握矩形与正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
24.(1)12y x =
;(2)13b = 【分析】
(1)把A 点代入反比例函数即可求解;
(2)把A 、B 两点代入反比例函数列出方程组即可求解;
【详解】
解:(1)∵4b =,
∴A (4,3),
把A 点代入反比例函数得:34k =
, 即k=12,
∴函数解析式为:12y x
=; (2)把A 、B 代入反比例函数得:
333k b k b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
①② 解得:13
b =
. 【点睛】
本题主要考查的是反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键. 25.(1) y =﹣x ﹣2,;(2) x >2或﹣4<x <0
【分析】
将点A (﹣4,2)代入2m y x
=
,求反比例函数解析式,再求得B 的坐标,将A 与B 两点坐标代入y 1=kx +b ,即可求解;
(2)y 1<y 2,在图象中找反比例函数图象在一次函数图象上方的部分即可.
【详解】 (1)将点A (﹣4,2)代入2m y x =
, ∴m =﹣8,
∴y =8
x -,
将B (n ,﹣4)代入y =
8x -,
∴n =2,
∴B (2,﹣4), 将A (﹣4,2),B (2,﹣4)代入y 1=kx +b ,
得到2442k b k b =-+⎧⎨
-=+⎩, ∴12k b =-⎧⎨=-⎩
, ∴y =﹣x ﹣2,
(2)由图象直接可得:x >2或﹣4<x <0;
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数图象和性质;熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键.
26.(1)28y x =-+;(2)当01x <<或3x >时,60kx b x
+-
<;(3)8 【分析】 (1)把A ,B 两点的坐标分别代入6y x
=
中,求得m ,n 的值,即可确定A ,B 两点的坐标,再利用待定系数法求得一次函数的解析式; (2)将不等式60kx b x
+-
<转化为6kx b x +<,找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x 的取值范围; (3)设一次函数图象分别与x 轴和y 轴交于点D 、C ,C 、D 的坐标都可以求得,则S S S S AOB COD COA BOD =--,求解即可.
【详解】
解:(1)分别把()(),6,3,A m B n 代入6(0)y x x
=>得66,36m n ==,
解得1,2m n ==,
所以A 点坐标为()1,6,B 点坐标为()3,2,
分别把()()1,6,3,2A B 代入y kx b =+得632
k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得28
k b =-⎧⎨=⎩, 所以一次函数解析式为28y x =-+; (2)60kx b x +-
<,即 6kx b x +<,即要找一次函数图象低于反比例函数图象的部分对应的x 的取值范围,所以当01x <<或3x >时,60kx b x
+-
<; (3)一次函数图象分别与x 轴和y 轴交于点D 、C ,如图,
当0x =时,288y x =-+=,则C 点坐标为()0,8,
当0y =时,280x -+=,解得4x =,则D 点坐标为()4,0,
所以S S S S AOB COD COA BOD =--
111488142222
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 8=.
【点睛】
本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键.。

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