浙江省余姚中学高一数学上学期期中试题(重点班)

浙江省余姚中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题（重点班）
班级 姓名
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）
12 . (0,0),(1,2)A e e ==u r u u r
B .)2,5(),2,1(21-=-=e e
C.)10,6(),5,3(21==e e
D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 2. 已知sin(π－α)＝8
1log 4
，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为（ ）
A. 255
B. －255 C ．±255 D.5
2
3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π
8)＝－3，
则实数m 的值等于( )
A ．－1
B ．±5
C ．－5或－1
D ．5或1
4. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )
A ．10 m
B ．30 m
C ．10 3 m
D ．10 6 m 5. 对于函数1)12
(sin )12
(cos )(22
-+
+-=π
π
x x x f ，下列选项正确的是( )
A ．()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ内是递增的 B ．()x f 的图像关于原点对称 C ．()x f 的最小正周期为2π D ．()x f 的最大值为1 6. 已知锐角α的终边上一点P （sin40°，1＋cos40°），则α等于（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．70°
D ．80° 7. 在ABC ∆中，C=
3
π
，则22
cos cos A B +的最大值和最小值分别是( )
A ．
31,22-
B ．13
,22
C
．122-+ D
．1,122-+ 8. 下列命题，正确命题的个数为（ ）
①. 若tan tan 1,A B ⋅> 则ABC ∆一定是钝角三角形； ②. 若2
2
2
sin sin sin A B C +=，则ABC ∆一定是直角三角形；
③. 若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形； ④. 在锐角ABC ∆中，一定有sin cos A B >.
⑤. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
cos cos cos a b c
A B C
==
，则ABC ∆ 一定是等边三角形.
A ． 2
B ．3
C ．4
D ．5
二. 填空题：本大题共7小题，共36分
9. （1）. sin120cos330sin(690cos(660)tan675⋅+-⋅-+=o
o o o o ） ； （2）. 已知5cos sin θθ=，则tan 2θ= . 10.
函数())(,0,||f x x x ωϕωϕ=
+∈><
R π
)2
的部分图象如图所示，
则()f x 的解析式为 ；()f x 的图像的横坐标缩小为原来的1
2
后得函数()y g x =的图
像，则()g x 的单调减区间为 .
11. 已知1sin(),(0,)33x x π
π+
=∈，则sin()6x π-= ；cos(2+)3
x π= ； 12. 在锐角ABC 中，1,2BC B A =∠=∠,
则
cos AC
A
=
；AC 的取值范围为 .
13. 在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角A,B,C 对应的边，若4
a b B π
==
∠=
，则
C ∠=
14. 已知3,22πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，满足()tan 2tan 0αββ+-=，则tan α的最小值是 .
15. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点
D ，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r
，则n m +的取值范围是 .
三. 解答题：本大题共5小题，总共74分.
16. (本题满分14分) 已知O 为坐标原点，A （0，2），B （4，6），OM OA AB λμ=+u u u u r u u u r u u u r .
（1）. 若2λ=，且OM AB ⊥u u u u r u u u r
，求μ的值；
（2）. 若对任意实数μ，恒有A,B,M 三点共线，求λ的值.
17. (本题满分15分) 已知函数2
()2sin cos 233f x x x x ωωω=+-0ω>）的
最小正周期为π．
（1）.求函数)(x f 单调增区间； （2）.将函数)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有6个零点，求b 的最小值．
18. (本题满分15分) 函数2()sin )sin()2sin (0)4
f x x x x a x b a π
=
-⋅+-+>.
（1）. 若1b =，且对任意(0,
)6
x π
∈，恒有()0f x >，求a 的取值范围；
（2）. 若()f x 的最大值为1,最小值为4-，求实数,a b 的值.
19. (本题满分15分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
sin 5B c =，11cos 14
B =
． （1）求角A 的大小；
（2）设BC 边的中点为D
，2
AD =，求ABC ∆的面积．
20. (本题满分15分) 如图，G 是OAB ∆的重心，,P Q 分别是边OA,OB 上的动点（P 点可以和A 点重合，Q 点可以与B 点重合），且P,G,Q 三点共线.
（1）.设PG PQ λ=u u u r u u u v
，将OG u u u r 用,,OP OQ λu u u r u u u r 表示；
（2）.若OAB ∆为正三角形，且边长AB a =，设,PG x QG y ==，求
22
11x y +的取值范围.
A
余姚中学
2015学年度
第一学期
高一数学期中（10,11,12班）测试卷
命题：乐陶军 审题：赵维泉 班级 姓名
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ B ）
12 . (0,0),(1,2)A e e ==u r u u r
B .)2,5(),2,1(21-=-=e e
C.)10,6(),5,3(21==e e
D.)3,2(),3,2(21-=-=e e
2. 已知sin(π－α)＝81log 4，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为（ A ） A. 255 B. －255 C ．±255 D.5
2
3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π
8)＝－3，
则实数m 的值等于( C )
A ．－1
B ．±5
C ．－5或－1
D ．5或1
4. 某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( B )
A ．10 m
B ．30 m
C ．10 3 m
D ．10 6 m 5. 对于函数1)12
(sin )12
(cos )(22
-+
+-=π
π
x x x f ，下列选项正确的是( B )
A ．()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4ππ内是递增的 B ．()x f 的图像关于原点对称 C ．()x f 的最小正周期为2π D ．()x f 的最大值为1 6. 已知锐角α的终边上一点P （sin40°，1＋cos40°），则α等于（ C ） 7. 在ABC ∆中，C=
3
π
，则22
cos cos A B +的最大值和最小值分别是( B )
A ．
31,22-
B ．13
,22
C
．122-+ D
．1,122-+ 8. 下列命题，正确命题的个数为（ C ）
①. 若tan tan 1,A B ⋅> 则ABC ∆一定是钝角三角形； ②. 若2
2
2
sin sin sin A B C +=，则ABC ∆一定是直角三角形；
③. 若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC ∆一定是等边三角形； ④. 在锐角ABC ∆中，一定有sin cos A B >.
⑤. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
cos cos cos a b c
A B C
==
，则ABC ∆ 一定是等边三角形.
A ． 2
B ．3
C ．4
D ．5
二. 填空题：本大题共7小题，共36分
9. （1）. sin120cos330sin(690cos(660)tan675⋅+-⋅-+=o
o o o o ） ； （2）. 已知5cos sin θθ=，则tan 2θ= . 10.
函数())(,0,||f x x x ωϕωϕ=
+∈><
R π
)2
的部分图象如图所示，
则()f x 的解析式为 ；()f x 的图像的横坐标缩小为原来的1
2
后得函数()y g x =的图
像，则()g x 的单调减区间为 .
11. 已知1sin(),(0,)33x x π
π+
=∈，则sin()6x π-= ；cos(2+)3
x π= ； 12. 在锐角ABC 中，
1,2BC B
A =∠=∠,则
cos AC
A
= 2 ；AC 的取值范围为
.
13. 在ABC ∆中， ,,a b c 分别为角A,B,C 对应的边，若4
a b B π
==
∠=
，则
C ∠=
14. 已知3,22πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，满足()tan 2tan 0αββ+-=，则tan α的最小值是 2
4
-
. 15. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点
D ，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r
，则n m +的取值范围是 （-1,0） .
三. 解答题：本大题共5小题，总共74分.
16. (本题满分14分) 已知O 为坐标原点，A （0，2），B （4，6），OM OA AB λμ=+u u u u r u u u r u u u r
.
（1）. 若2λ=，且OM AB ⊥u u u u r u u u r
，求μ的值；
（2）. 若对任意实数μ，恒有A,B,M 三点共线，求λ的值.
17. (本题满分15分) 已知函数2
()2sin cos 233f x x x x ωωω=+-0ω>）的
最小正周期为π．
（1）.求函数)(x f 单调增区间； （2）.将函数)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有6个零点，求b 的最小值．
17．解：（Ⅰ）由题意得()f x =2
2sin cos 233x x x ωωω+
sin 2322sin(2)3
x x x π
ωωω==-
由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3
f x x π
=-
（Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+…
18. (本题满分15分) 函数()sin )sin()2sin (0)4
f x x x x a x b a π
=-⋅+-+>. （1）. 若1b =，且对任意(0,
)6
x π
∈，恒有()0f x >，求a 的取值范围；
（2）. 若()f x 的最大值为1,最小值为4-，求实数,a b 的值.
19. (本题满分15分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
sin 5B c =，11cos 14
B =
． （1）求角A 的大小；
（2）设BC 边的中点为D ，2AD =
，求ABC ∆的面积．
解：（1）由11
cos 14
B =，得sin B =
又sin 5B c =，代入得37a c =，
由sin sin a c A C
=
，得3sin 7sin A C =， 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+
得tan A =23
A π
=
（2）22
192cos 4
AB BD AB BD B +-=g ，
22771119
()266144
c c c c +-=g g ，3c =，则7a =
11sin 3722144
S ac B =
==g g
20. (本题满分15分) 如图，G 是OAB ∆的重心，,P Q 分别是边OA,OB 上的动点（P 点可以和A 点重合，Q 点可以与B 点重合），且P,G,Q 三点共线.
（1）.设PG PQ λ=u u u r u u u v
，将OG u u u r 用,,OP OQ λu u u r u u u r 表示；
（2）.若OAB ∆为正三角形，且边长AB a =，设,PG x QG y ==，求
2211
x y
+的最大值与最小值.
A。