江西财经大学2012年专升本内部老师微积分讲义
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第三章 中值定理及导数应用
一、基本概念及结论
1.三个基本定理
1 罗尔定理 : 设函数f ( x )满足条件 (1)在闭区间 [a , b]上连续; ( 2)在开区间(a , b)上可导; ( 3) f ( a ) f ( b )
A
0
y f ( x)
B
a
b
则在(a , b)内至少存在一点 , 使f ( ) 0
2.函数的增、减、极值
（1）函数f(x)在其定义区间X上的增减（单调）性 有以下四种： 4
单增:
f ( x) 0( 0)
允许个别点取等号
单减： f ( x) 0( 0) 有增有减
允许个别点取等号 ： f ( x ) 有正有负
不增不减 : f ( x ) 0
*
f ( x ) ＞0是f(x)单增的充分条件而非必要条件
R(Q), R(Q) R(t )dt
0
Q
(3)总利润函数：L(Q ) R(Q ) C (Q ) (售后利润）
边际利润： L(Q ) R(Q ) C (Q ),
L总(Q ) L( t )dt C 0
0
Q
最大利润原则：在 Q0 处取得最大利润的 必要条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C (Q0 )
y f ( x)
B
几何意义： A 条件（1）说明曲线 y f ( x) 在A、B两点之间是连续曲线 a b （包括端点A，B） 条件（2）说明曲线 y f ( x) 在A，B之间是光滑的， 结论说明曲线 y f ( x) 在A点和B点之间（不包括A，B） 至少有点，它的切线与割线AB是平行的.
18
利用需求弹性求收益弹性:
ER p dR p dQ p dQ [Q p ] 1 Ep R dp pQ dp Q dp p dQ 1 ( ) 1 p Q dp
即
ER 1 P ( P 0) EP
ER 1 P ( P 0) EP
30 柯 西 中 值 定 理
: 设 函 数 f ( x), g ( x)满 足 条 件
(1)在[a, b]上 连 续; (2)在(a, b)内 , f ( x), g ( x)均 存 在 , 且g ( x) 0, 则 在(a, b) f (b) f (a ) f ( ) 内 至 少 存 在 一 点 ,使 g (b) g (a ) g ( )
利用需求弹性分析总收益的变化:
19
若 0 p 1 ，则总收益 R 随 p 单调增加， 适当提价即使销量减少也不影响收益； 若 p 1 ，则总收益 R 随 p 单调减少，可采
取降价措施；若
p 1
则总收益达到最大值。
(2)供给弹性 供 给 (量) : 在 一 定 条 件 下 ,生 产 者 愿 意 出 售 可 供 出 售 的 商 品 量 .供 给 量 与 价 格 之 间 的 关 系, 称 为 供 给 函 数 , 记 为 Q f ( P).供 给 函 数 单 调 增 加 的 函 数, 其 反 函 数
个单位.
Ⅱ.函数的弹性——相对变化率
定义：设函数 f ( x) 在点
x0处可导，函数的相对改变量
x y f ( x x) f ( x0 ) 与自变量的相对改变量 x 之 0 y0 f ( x0 )
y y 0 比 称为函数 f ( x)从x0到x0 x 两点之间的 x x0 14
注1：若f(x)在[a,b]上单增，则最大（小）值一定 在（左）端点取得；若f(x)在[a,b]上单减，则最（小）
值一定在左（右）端点取得。
7
若f(x)在(a,b)内有唯一的极大（小）值点， 注 2： 则该极大（小）值点也是最大（小）值点。
（4）增减极值的几何特征
例1.设f ( x )在( ,)内連续，其导函数的 图形如下，则 f ( x )有 ______ 个极大值， ＿＿＿个极小值
(2)曲线上凹与下凹的分界 点( x0 , f ( x0 ))称为拐点 , 拐点 不同于极值点 , 它是曲线上的点 .
需求量 Q与价格 P之间的函数
关系称为需求函数 .记为 Q f ( P )
需求函数 Q f ( P )是单调减少函数 , 其反函数 P f (Q )也称需求函数 .
1
16
边际需求 : Q f ( P )对价格 P的导数 f ( P ) 称为边际需求 .
EQ p dQ 0, 需求弹性： p Ep Q dp
12
充分条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C (Q0 ) 税后利润： L(Q) R(Q) C (Q) tQ （其中 t 为税率） (4).需求函数：Q Qd ( p)
P Pd (Q)
P Ps
Qd ( p) Qs ( p) 的价格 (6).均衡价格：
即
x0 Ey f ( x0 ) Ex x x0 y0
15
其经济意义是：函数
f ( x)在x0处当自变量
Ex
x 发生1%
E f ( x ) 的改变时，函数 改变了 f ( x0 )%
(1).需求弹性
: 在一定价格条件下 , 消费者愿 意购买并且有支付能力 购买的商品量 .
需求量
需求函数:
4.成本、收益、利润问题
(1) 总成本函数
总成本函数是由固定成本和变动成本两部分构成的，设 C为总成本, C0 为固定成本，C1 为变动成本，Q 为产 量，则
10
1
C C (Q ) C 0 C 1 (Q ) 总成本函数： C 0 C (Q ) Q 0
C (Q ) 2 平均成本： C , C (Q ) C Q Q
其经济意义是: 当价格在P P0的水平上变动 1%, 需求 P dQ 量变动 % Q dP
由于大纲没有明确规定需求弹性是
p dQ p dQ p 0, 或是 p 0 Q dp Q dp
17
所以解题时要注意：如果题中已知条件给出需
求弹性
p dQ . 如果题中已知条件给出需 求弹性 0, 则 p Q dp
20 拉格朗日中值定理: 设函数f ( x )满足条件 (1)在闭区间 [a , b]上连续; ( 2)在开区间 (a , b)内可导; f (b) f (a ) 则在(a , b)内至少存在一点 , 使f ( ) ba 2
或写成
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
p dQ p 0, 则 p ; Q dp
如果 p 1, 称需求富有弹性 , 即需求量下 降的幅度大于价格上升 的幅度 ; 如果 p 1, 称需求缺乏弹性 , 即需求量下降的幅度小 于 价格上升的幅度 ; 如果 p 1, 需求具有单
位弹性 , 此时需求下降的幅度与 幅度一致 .. 价格上升的
定理2.(二阶充分条件) 设函数f ( x )在点x0二阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 则 (1)当f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0取得极小值, ( x0是极小值点); ( 2)当f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0取得极大值. 二阶充分条件只能判定 驻点是否为极值点 , 一阶充分条 件既可判定驻点 , 也可判定不可导点是否 为极值点.
6
3.函数 f ( x )在闭区间
不可导点）为
[a , b上的最值 ]
设函数f(x)在[a,b]上的所有可能极值点（驻点或
x1 , x2 , xn ,
对x [a, b], max f ( x) max{f (a), f ( x1 ) f ( x2 ), f ( xn ), f (b)}; min f ( x) min{f (a), f ( x1 ), f ( xn ), f (b)}
Pe
5.边际与弹性问题
Ⅰ.边际的概念 定义：设函数 f ( x) 在
x 处可导，称 f ( x)为f ( x)
13
的边际函数，称
f ( x0 )为f ( x)在x0 的边际函数值.
其经济意义是：函数
f ( x)在 点 x0处 若 x改 变1个 单 位 ,则 函 数 f ( x)改 变 了 f ( x0 )
(2)函数的极值点必定是驻点或不可导点，反之不然， 但可导函数的极值点一定是驻点 (3).极值存在的一阶、二阶充分条件
5
定理1.(一阶充分条件 ) 设函数 f ( x )在点 x0的某邻域 内有定义 , 可导 , 且f ( x0 ) 0, 或f ( x0 )不存在 , 当x渐 增地经过 x0时, 导数由正变负 , 则在点 x0 取得极大值 ( x0为极大值点 , f ( x0 )为极大值 );如果 f ( x )由负变 正, 则在点 x0 取得极小值 .
均衡价格: 需求量与供给量相等时 的价格
21
6.曲线的凹向与拐点
（1）y=f(x)的图形在定义区间X上的凹向有以下 四种：
上凹： f ( x ) 0( 0等号在个别点成立 )
下凹：f ( x ) 0( 0等号在个别点成立 )
有上凹也有下凹： f ( x)有正有负 既不上凹也不下凹： f ( x) 0
y y 0 的相对变化率或两点之间的弹性.当 x 0 时， x x 0
y y0 x0 y x0 极限 lim lim f ( x0 ) x 0 x x x 0 x y y0 0 0 称为 f ( x ) 在点 x0 处的弹性（ x0 的相对变化率）
记为
Ey E , 或 f ( x0 ) Ex x x0 Ex
推论1 ：如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续， 且在开区间(a, b)内恒有f ' ( x) 0, 则f ( x)在闭 区间[a, b]上恒为常数
3
推论2： 如果函数f ( x )与g( x )在闭区间 [a , b]上连续，且 在开区间（a , b）内恒有f ( x ) g( x )，则f ( x )在闭区 间[a , b]上恒有: f ( x ) g( x ) c (c为常数)
分析：因为y=f(x)的导函数 有三个根及一个导数不存 在的点，按由小到大的顺 序依次为
x1
x2
0
x3
8
x
x1 , x2 ,0, x3
x
f ( x )
f ( x)
( , x1 )
x1 ( x1 , x2 ) x2 ( x2 ,0)
0 (0, x3 ) x3
( x3 ,)
+
0 大
_
0 小
+
大 y
__
0 小
+
故y=f(x)有2个极大值和两个极小值
练习:已知函数y=f(x)的导 函数的图形如下图所示:则
x1
f ( x)(
)
0
x2 x3
x4
x
9
(A)有两个极小值点,两个极大值点;
(B)有一个极小值点，两个极大值点;
(C)有一个极大值点，两个极小值点;
(D)有一个极小值点，三个极大值点．
P f (Q)也 是 供 给 函 数
1
.
20
边际供给 : Q f ( P ); 供给弹性 :
P P0
p0 f ( P0 ) f ( p0 )
其经济意义是 : 当价格在 P P0的水平上 , P0 变动1%, 供给量将变动 f ( P0 ) % f ( P0 )
几何意义：条件（1）说明曲线 y f ( x) 在A、B两点之 间是连续曲线（包括端点A，B） 1
条件（2）说明曲线 y f ( x) 在A，B之间是光滑的，
也即每一点都有不垂直于x轴的切线（不包括点A和B）.
条件（3）说明曲线 y f ( x) 在端点A，B的纵坐标
相等；结论说明曲线 y f ( x) 在A点和B点之间（不包 括A点和B点）至少有一点，它的切线平行于x轴.
3
边际成本：
(Q), C (Q) C (t )dt C0 C (Q) C1
0
Q
注:总成本、平均成本、边际成本已知其一，可求 其二. (2)总收益函数：R(Q ) p Q Qf (Q )
11
R(Q ) P f (Q ) 平均收益： R(Q ) Q
边际收益：
一、基本概念及结论
1.三个基本定理
1 罗尔定理 : 设函数f ( x )满足条件 (1)在闭区间 [a , b]上连续; ( 2)在开区间(a , b)上可导; ( 3) f ( a ) f ( b )
A
0
y f ( x)
B
a
b
则在(a , b)内至少存在一点 , 使f ( ) 0
2.函数的增、减、极值
（1）函数f(x)在其定义区间X上的增减（单调）性 有以下四种： 4
单增:
f ( x) 0( 0)
允许个别点取等号
单减： f ( x) 0( 0) 有增有减
允许个别点取等号 ： f ( x ) 有正有负
不增不减 : f ( x ) 0
*
f ( x ) ＞0是f(x)单增的充分条件而非必要条件
R(Q), R(Q) R(t )dt
0
Q
(3)总利润函数：L(Q ) R(Q ) C (Q ) (售后利润）
边际利润： L(Q ) R(Q ) C (Q ),
L总(Q ) L( t )dt C 0
0
Q
最大利润原则：在 Q0 处取得最大利润的 必要条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C (Q0 )
y f ( x)
B
几何意义： A 条件（1）说明曲线 y f ( x) 在A、B两点之间是连续曲线 a b （包括端点A，B） 条件（2）说明曲线 y f ( x) 在A，B之间是光滑的， 结论说明曲线 y f ( x) 在A点和B点之间（不包括A，B） 至少有点，它的切线与割线AB是平行的.
18
利用需求弹性求收益弹性:
ER p dR p dQ p dQ [Q p ] 1 Ep R dp pQ dp Q dp p dQ 1 ( ) 1 p Q dp
即
ER 1 P ( P 0) EP
ER 1 P ( P 0) EP
30 柯 西 中 值 定 理
: 设 函 数 f ( x), g ( x)满 足 条 件
(1)在[a, b]上 连 续; (2)在(a, b)内 , f ( x), g ( x)均 存 在 , 且g ( x) 0, 则 在(a, b) f (b) f (a ) f ( ) 内 至 少 存 在 一 点 ,使 g (b) g (a ) g ( )
利用需求弹性分析总收益的变化:
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若 0 p 1 ，则总收益 R 随 p 单调增加， 适当提价即使销量减少也不影响收益； 若 p 1 ，则总收益 R 随 p 单调减少，可采
取降价措施；若
p 1
则总收益达到最大值。
(2)供给弹性 供 给 (量) : 在 一 定 条 件 下 ,生 产 者 愿 意 出 售 可 供 出 售 的 商 品 量 .供 给 量 与 价 格 之 间 的 关 系, 称 为 供 给 函 数 , 记 为 Q f ( P).供 给 函 数 单 调 增 加 的 函 数, 其 反 函 数
个单位.
Ⅱ.函数的弹性——相对变化率
定义：设函数 f ( x) 在点
x0处可导，函数的相对改变量
x y f ( x x) f ( x0 ) 与自变量的相对改变量 x 之 0 y0 f ( x0 )
y y 0 比 称为函数 f ( x)从x0到x0 x 两点之间的 x x0 14
注1：若f(x)在[a,b]上单增，则最大（小）值一定 在（左）端点取得；若f(x)在[a,b]上单减，则最（小）
值一定在左（右）端点取得。
7
若f(x)在(a,b)内有唯一的极大（小）值点， 注 2： 则该极大（小）值点也是最大（小）值点。
（4）增减极值的几何特征
例1.设f ( x )在( ,)内連续，其导函数的 图形如下，则 f ( x )有 ______ 个极大值， ＿＿＿个极小值
(2)曲线上凹与下凹的分界 点( x0 , f ( x0 ))称为拐点 , 拐点 不同于极值点 , 它是曲线上的点 .
需求量 Q与价格 P之间的函数
关系称为需求函数 .记为 Q f ( P )
需求函数 Q f ( P )是单调减少函数 , 其反函数 P f (Q )也称需求函数 .
1
16
边际需求 : Q f ( P )对价格 P的导数 f ( P ) 称为边际需求 .
EQ p dQ 0, 需求弹性： p Ep Q dp
12
充分条件是： L(Q) 0 R(Q0 ) C (Q0 ) 税后利润： L(Q) R(Q) C (Q) tQ （其中 t 为税率） (4).需求函数：Q Qd ( p)
P Pd (Q)
P Ps
Qd ( p) Qs ( p) 的价格 (6).均衡价格：
即
x0 Ey f ( x0 ) Ex x x0 y0
15
其经济意义是：函数
f ( x)在x0处当自变量
Ex
x 发生1%
E f ( x ) 的改变时，函数 改变了 f ( x0 )%
(1).需求弹性
: 在一定价格条件下 , 消费者愿 意购买并且有支付能力 购买的商品量 .
需求量
需求函数:
4.成本、收益、利润问题
(1) 总成本函数
总成本函数是由固定成本和变动成本两部分构成的，设 C为总成本, C0 为固定成本，C1 为变动成本，Q 为产 量，则
10
1
C C (Q ) C 0 C 1 (Q ) 总成本函数： C 0 C (Q ) Q 0
C (Q ) 2 平均成本： C , C (Q ) C Q Q
其经济意义是: 当价格在P P0的水平上变动 1%, 需求 P dQ 量变动 % Q dP
由于大纲没有明确规定需求弹性是
p dQ p dQ p 0, 或是 p 0 Q dp Q dp
17
所以解题时要注意：如果题中已知条件给出需
求弹性
p dQ . 如果题中已知条件给出需 求弹性 0, 则 p Q dp
20 拉格朗日中值定理: 设函数f ( x )满足条件 (1)在闭区间 [a , b]上连续; ( 2)在开区间 (a , b)内可导; f (b) f (a ) 则在(a , b)内至少存在一点 , 使f ( ) ba 2
或写成
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
p dQ p 0, 则 p ; Q dp
如果 p 1, 称需求富有弹性 , 即需求量下 降的幅度大于价格上升 的幅度 ; 如果 p 1, 称需求缺乏弹性 , 即需求量下降的幅度小 于 价格上升的幅度 ; 如果 p 1, 需求具有单
位弹性 , 此时需求下降的幅度与 幅度一致 .. 价格上升的
定理2.(二阶充分条件) 设函数f ( x )在点x0二阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 则 (1)当f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0取得极小值, ( x0是极小值点); ( 2)当f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0取得极大值. 二阶充分条件只能判定 驻点是否为极值点 , 一阶充分条 件既可判定驻点 , 也可判定不可导点是否 为极值点.
6
3.函数 f ( x )在闭区间
不可导点）为
[a , b上的最值 ]
设函数f(x)在[a,b]上的所有可能极值点（驻点或
x1 , x2 , xn ,
对x [a, b], max f ( x) max{f (a), f ( x1 ) f ( x2 ), f ( xn ), f (b)}; min f ( x) min{f (a), f ( x1 ), f ( xn ), f (b)}
Pe
5.边际与弹性问题
Ⅰ.边际的概念 定义：设函数 f ( x) 在
x 处可导，称 f ( x)为f ( x)
13
的边际函数，称
f ( x0 )为f ( x)在x0 的边际函数值.
其经济意义是：函数
f ( x)在 点 x0处 若 x改 变1个 单 位 ,则 函 数 f ( x)改 变 了 f ( x0 )
(2)函数的极值点必定是驻点或不可导点，反之不然， 但可导函数的极值点一定是驻点 (3).极值存在的一阶、二阶充分条件
5
定理1.(一阶充分条件 ) 设函数 f ( x )在点 x0的某邻域 内有定义 , 可导 , 且f ( x0 ) 0, 或f ( x0 )不存在 , 当x渐 增地经过 x0时, 导数由正变负 , 则在点 x0 取得极大值 ( x0为极大值点 , f ( x0 )为极大值 );如果 f ( x )由负变 正, 则在点 x0 取得极小值 .
均衡价格: 需求量与供给量相等时 的价格
21
6.曲线的凹向与拐点
（1）y=f(x)的图形在定义区间X上的凹向有以下 四种：
上凹： f ( x ) 0( 0等号在个别点成立 )
下凹：f ( x ) 0( 0等号在个别点成立 )
有上凹也有下凹： f ( x)有正有负 既不上凹也不下凹： f ( x) 0
y y 0 的相对变化率或两点之间的弹性.当 x 0 时， x x 0
y y0 x0 y x0 极限 lim lim f ( x0 ) x 0 x x x 0 x y y0 0 0 称为 f ( x ) 在点 x0 处的弹性（ x0 的相对变化率）
记为
Ey E , 或 f ( x0 ) Ex x x0 Ex
推论1 ：如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续， 且在开区间(a, b)内恒有f ' ( x) 0, 则f ( x)在闭 区间[a, b]上恒为常数
3
推论2： 如果函数f ( x )与g( x )在闭区间 [a , b]上连续，且 在开区间（a , b）内恒有f ( x ) g( x )，则f ( x )在闭区 间[a , b]上恒有: f ( x ) g( x ) c (c为常数)
分析：因为y=f(x)的导函数 有三个根及一个导数不存 在的点，按由小到大的顺 序依次为
x1
x2
0
x3
8
x
x1 , x2 ,0, x3
x
f ( x )
f ( x)
( , x1 )
x1 ( x1 , x2 ) x2 ( x2 ,0)
0 (0, x3 ) x3
( x3 ,)
+
0 大
_
0 小
+
大 y
__
0 小
+
故y=f(x)有2个极大值和两个极小值
练习:已知函数y=f(x)的导 函数的图形如下图所示:则
x1
f ( x)(
)
0
x2 x3
x4
x
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(A)有两个极小值点,两个极大值点;
(B)有一个极小值点，两个极大值点;
(C)有一个极大值点，两个极小值点;
(D)有一个极小值点，三个极大值点．
P f (Q)也 是 供 给 函 数
1
.
20
边际供给 : Q f ( P ); 供给弹性 :
P P0
p0 f ( P0 ) f ( p0 )
其经济意义是 : 当价格在 P P0的水平上 , P0 变动1%, 供给量将变动 f ( P0 ) % f ( P0 )
几何意义：条件（1）说明曲线 y f ( x) 在A、B两点之 间是连续曲线（包括端点A，B） 1
条件（2）说明曲线 y f ( x) 在A，B之间是光滑的，
也即每一点都有不垂直于x轴的切线（不包括点A和B）.
条件（3）说明曲线 y f ( x) 在端点A，B的纵坐标
相等；结论说明曲线 y f ( x) 在A点和B点之间（不包 括A点和B点）至少有一点，它的切线平行于x轴.
3
边际成本：
(Q), C (Q) C (t )dt C0 C (Q) C1
0
Q
注:总成本、平均成本、边际成本已知其一，可求 其二. (2)总收益函数：R(Q ) p Q Qf (Q )
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R(Q ) P f (Q ) 平均收益： R(Q ) Q
边际收益：