概率与统计 第三课时 排列与组合 导学案-江苏省高邮市第一中学2021届高三数学一轮复习

第三课时排列与组合
【学习目标】
1. 理解排列、组合的概念．
2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3. 能解决简单的实际问题．
【预习单】
1. 某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()
A. A99种
B. A812种
C. 8A88种
D. 2A88A44种
2. 世博会期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿工作. 将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人. 若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()
A. 36种
B. 30种
C. 24种
D. 20种
3. 已知
1
C m5－
1
C m6＝
7
10C m7，则m＝________．
4. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．
5. 方程3A3x＝2A2x
＋1
＋6A2x的解为________．
【活动单】
一、排列问题
例1用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1) 五位数？
(2) 五位奇数？
(3) 五位偶数？
变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有________个．
变式2：变式1中所求的六位数中，有多少个偶数？
变式3：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？
例27位同学站成一排照相．
(1) 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(2) 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(3) 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(4) 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？
三、组合问题
例3一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1) 现要从中选出2个球，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出红球、白球各2个，有多少种不同的选法？
变式1：在例3的条件下，从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
变式2：在例3的条件下，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
三、排列组合的综合问题
例4有6本不同的书．
(1) 分成三份：
①每份2本，有多少种不同的分法？
②1份4本，另2份各1本，有多少种不同的分法？
③1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分法？
(2) 分给甲、乙、丙3人：
①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种不同的分法？
②1人1本，1人2本，1人3本，有多少种不同的分法？
③每人2本，有多少种不同的分法？
④1人4本，另2人各1本，有多少种不同的分法？
例5将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()
A. 12种
B. 10种
C. 9种
D. 8种
第三节排列与组合
【学习目标】
1. 理解排列、组合的概念．
2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3. 能解决简单的实际问题．
【预习单】
1. 某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()
A. A99种
B. A812种
C. 8A88种
D. 2A88A44种
【答案】A
【解析】根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列，有A99种不同的排法，即有A99种不同的停车方法．
2. 世博会期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿工作. 将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人. 若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()
A. 36种
B. 30种
C. 24种
D. 20种
【答案】C
【解析】根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个场馆，有A33＝6(种)情况；②没有人与甲在同一个场馆，则有C23·A22＝6(种)情况，则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×(6＋6)＝24(种)．
3. 已知
1
C m5－
1
C m6＝
7
10C m7，则m＝________．
【答案】2
【解析】由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，原等式可化为
m！（5－m）！
5！－m！（6－m）！
6！＝
7×（7－m）！m！
10×7！，整理可得m2－23m＋42＝0，
解得m＝21(舍去)或m＝2.
4. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________． 【答案】 36
【解析】 由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1，3；分为两步：先从1，3
两个数中选一个作为个位数有C 12种，再将中间3个位置中选一个放入0有C 1
3种，剩下的3个数字排列有A 33种，则满足条件的五位数有C 12
C 13A 3
3＝36(个)． 5. 方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2
x 的解为________．
【答案】 x ＝5
【解析】 由排列数公式可知3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，因为x ≥3且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝2
3(舍去)，所以方程的解为x ＝5.
排列与组合
⎩
⎪⎪⎨
⎪⎪⎧排列⎩⎪
⎨⎪⎧排列的定义：有序排列数的定义：A m
n （m ≤n ）
排列数公式：A m n ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）＝n ！
（n －m ）！组合⎩⎪⎨⎪⎧组合的定义：无序
组合数的定义：C m
n （m ≤n ）
组合数公式：C m n ＝n （n －1）…（n －m ＋1）m ！
＝n ！m ！（n －m ）！性质：①C m n
＝C n －m n
；②C m n
＝C m n －1
＋C
m －1n －1
【活动单】 一、排列问题
例1 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的： (1) 五位数？ (2) 五位奇数？ (3) 五位偶数？
【解析】 (1) 不考虑是否排0，有A 56种填法，考虑排0，且0排首位，有A 4
5种填法，所以共有A 5
6－A 45＝600(个)不同的五位数．
(2) 方法一(直接法)：分步：第一步先排个位，从1，3，5三个数字中任选一个填
入，有A 13种；第二步排首位，从不包括0的剩下的4个数字中任选一个填入，有A 14种，最后排剩下的几位，有A 34种填法，所以共A 13·A 14·
A 3
4＝288(个)五位奇数．
方法二(间接法)：不考虑是否排0，有A13·A45种填法，排0且0排在首位，有A13·A34种填法，所以共有A13·A45－A13·A34＝288(个)不同的五位奇数．
(3) 将无重复数字的五位数划分两类：五位奇数和五位偶数，由(1)(2)可知，偶数有600－288＝312(个)．
变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有________个．
【答案】300
【解析】首位数字有C15种选法，个位、十位数字有C25种排法，中间三位有A33种排法．根据分步计数原理知共有C15·C25·A33＝300(个)满足条件的六位数．变式2：变式1中所求的六位数中，有多少个偶数？
【解析】若个位排0，则有A55个偶数；若个位排2，则十位可从3，4，5中任选1个，有C13C13A33个偶数；若个位排4，则十位只能排5，有C13A33个偶数，由分类计数原理得偶数的个数为A55＋C13C13A33＋C13A33＝192.
变式3：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？
【解析】按个位数所排数字进行分类：
第一类，个位数字排0，有A35个；
第二类，个位数字排5，有A14A24个．
根据分类加法计数原理，共可组成A35＋A14A24＝108(个)能被5整除的四位数．
思考1：如何解决关于数字排列问题？
有关数字排列应用问题往往含有一些附加条件，即所谓的有限制条件的排列问题，其解答的一般策略：
(1) 把握原则，即特殊位置、特殊元素优先考虑．
(2) 当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接考虑；若相互影响，则首先分类，在每一类中再分步考虑．
(3) 常用方法：“直接法”“间接法”.
例27位同学站成一排照相．
(1) 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(2) 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(3) 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
(4) 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？
【解析】(1) 方法一：分两种情况：①甲站在排尾，则有A66种排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有A15·A15·A55种排法．
综上，共有A66＋A15·A15·A55＝3 720(种)排法．
方法二：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头且乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即A77－A66－A66＋A55＝3 720(种)排法．
(2) 采用“捆绑”法，将甲、乙看成一个整体进行排列，故有A22·A66＝1 440(种)排法．
(3) 采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲、乙插入到由这5个人形成的6个空中，故有A55·A26＝3 600(种)排法．
(4) 甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排法总数，故有1
2A77＝2
520(种)排法．
三、组合问题
例3一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1) 现要从中选出2个球，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出红球、白球各2个，有多少种不同的选法？
【解析】(1) 从10个不同的球中选出2个球，即是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数C210＝45，所以不同的选法有45种．
(2) 从4个不同的红球中选出2个的选法有C24种，从6个不同的白球中选2个的选法有C26种，根据分步乘法计数原理，共有C24·C26＝90(种)不同的选法．变式1：在例3的条件下，从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
【解析】将取出4个球分成三类情况：
第一类：取4个红球，没有白球，有C44种；
第二类：取3个红球1个白球，有C34C16种；
第三类：取2个红球2个白球，有C24C26种，
所以共有C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)．
变式2：在例3的条件下，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5
个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解析】 设取x 个红球，y 个白球，
则⎩⎨⎧x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7， 0≤y ≤6，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2或⎩
⎨⎧x ＝4，
y ＝1，符合条件的取法有C 24C 3
6＋C 34C 26＋C 44C 1
6＝186(种)．
思考2：如何解决组合应用题？
解决组合应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题．
(1) 建立组合模型的第一步是分析该实际问题有无顺序，有顺序便不是组合问题． (2) 解组合应用题的基本方法仍然是“直接法”和“间接法”．
(3) 要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
三、排列组合的综合问题 例4 有6本不同的书． (1) 分成三份：
①每份2本，有多少种不同的分法？
②1份4本，另2份各1本，有多少种不同的分法？ ③1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分法？ (2) 分给甲、乙、丙3人：
①甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种不同的分法？ ②1人1本，1人2本，1人3本，有多少种不同的分法？ ③每人2本，有多少种不同的分法？
④1人4本，另2人各1本，有多少种不同的分法？
【解析】 (1) ①先在6本书中任取2本作为一份，有C 2
6种不同的取法，再从余下的
4本书中任取2本作为一份，有C 24种不同的取法，
最后把余下的2本书都取出作为一份，有C 22种不同的取法，所以共有C 26C 24C 22种取法，但是这样每种取法对应的是一个排列，总体来讲相当于对三个元素进行了全排列，所以共有C 26·C 24·
C 2
2A 33＝15(种)分法．
②C 46·C 12·
C 1
1A 22＝15(种)． ③C 16·C 25·
C 33＝60(种)． (2) ①先从6本书中任取1本分给甲，有C 1
6种给法，再从余下的5本书中任取2本分给乙，有C 25种给法，最后把余下的3本书给丙，有C 33种给法，故共有C 16·C 25·
C 3
3＝60(种)不同的分配方法．
②甲、乙、丙3人谁得1本，谁得2本，谁得3本，不确定，可考虑先分组，后分
配，故共有C 16·C 25·
C 33·A 3
3＝360(种)分法． ③C 26·C 24·
C 2
2A 33·A 33＝C 26·C 24·C 22＝90(种)． ④C 46·C 12·
C 1
1A 22·A 33＝90(种)．
例5 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A. 12种
B. 10种
C. 9种
D. 8种 【答案】 A
【解析】 将4名学生均分为2个小组共有C 24C 2
2
A 22
＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A 22＝2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 2
2＝2(种)
分法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种)．
思考3：如何解决分组与分配问题？
1. 分组问题常见形式及处理方法： (1) 非均匀不编号分组(不平均分组)
将n 个不同元素分成m 组，第k 组的元素个数用m k (1≤k ＜n)表示．每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A ＝Cm 1n ·Cm 2n －m 1·Cm 3n －(m 1＋m 2)·…·
Cm m n －(m 1＋m 2＋m m －1)． (2) 均匀不编号分组(部分平均分组)
将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A A r r (其中A 为非均匀不编号分组中分法数，即(1) 中的A)，如果再有k 组
均匀分组应再除以A k
k
.
(3) 非均匀编号分组
n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A(A为非均匀不编号分组中的分法数，即(1) 中的A)．
(4) 均匀编号分组
n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数
为A
A r r·A m m(A为非均匀不编号分组中的分法数，即(1)中的A)．
2. 分配问题：
将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题．分组问题和分配问题是有区别
的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者即使两人元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则．特别提醒：分配问题是指把元素分给指定的目标，其实质是先分组，再排序．。