江苏省宿豫中学高中物理物理解题方法：微元法压轴题易错题

江苏省宿豫中学高中物理物理解题方法：微元法压轴题易错题
一、高中物理解题方法：微元法
1．水刀切割具有精度高、无热变形、无毛刺、无需二次加工以及节约材料等特点，得到广泛应用．某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d 的水流以速度v 垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零，已知水的密度为ρ，则钢板受到水的冲力大小为
A ．2d v πρ
B ．22d v πρ
C ．2
14
d v πρ
D ．22
14
d v πρ
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
设t 时间内有V 体积的水打在钢板上，则这些水的质量为：
21
4
m V Svt d vt ρρπρ===
以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F ，以水运动的方向为正方向，由动量定理有：
Ft =0-mv
解得：
221
4
mv F d v t πρ=-
=- A. 2d v πρ与分析不符，故A 错误． B. 22d v πρ与分析不符，故B 错误． C. 2
1
4
d v πρ与分析不符，故C 错误． D. 22
14
d v πρ与分析相符，故D 正确．
2．如图所示，长为l 均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为（ ）
A ．2gl
B ．gl
C ．
2
gl D ．
1
2
gl 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
铁链从开始到刚脱离滑轮的过程中，链条重心下降的高度为
244
l l l H =
-= 链条下落过程，由机械能守恒定律，得：
2142
l mg mv ⋅
= 解得：
2
gl v =
A. 2gl 与分析不相符，故A 项与题意不相符；
B. gl 与分析不相符，故B 项与题意不相符；
C. 2
gl
与分析相符，故C 项与题意相符； D.
1
2
gl 与分析不相符，故D 项与题意不相符．
3．如图所示，有一条长为2m L =的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30，另一半长度竖直下垂在空中，链条由静止释放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g 取210m /s ）（ ）
A ．2.5m /s
B ．
52
m /s 2
C 5m /s
D ．
35
/s 2
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
设链条的质量为2m ，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为
113
2sin 302024248
p k L L E E E mg mg mgL =+=-⨯⨯︒-⨯⨯+=-
链条全部滑出后，动能为
21
22
k E mv '=
⨯ 重力势能为
22
p L E mg '=-⨯
由机械能守恒定律可得
k p E E E ''=+
即
23
8
mgL mv mgL -=- 解得
52
m /2
v s =
故B 正确，ACD 错误。

故选B 。

4．生活中我们经常用水龙头来接水，假设水龙头的出水是静止开始的自由下落，那么水流在下落过程中，可能会出现的现象是（ ）
A ．水流柱的粗细保持不变
B ．水流柱的粗细逐渐变粗
C ．水流柱的粗细逐渐变细
D ．水流柱的粗细有时粗有时细 【答案】C 【解析】 【详解】
水流在下落过程中由于重力作用，则速度逐渐变大，而单位时间内流过某截面的水的体积是一定的，根据
Q=Sv
可知水流柱的截面积会减小，即水流柱的粗细逐渐变细，故C 正确，ABD 错误。

故选C 。

5．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是
A ．重力做功为mgL
B ．绳的拉力做功为0
C ．空气阻力做功0
D ．空气阻力做功为1
2
F L π-阻 【答案】ABD 【解析】
A 、如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A
B 在竖直方向上的投影L ，
所以W G =mgL ．故A 正确．B 、因为拉力F T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即W FT =0．故B 正确．C 、F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即
12F 1
=()2
W F x F x F L π-∆+∆+⋅⋅⋅=
阻阻阻阻，故C 错误，D 正确；故选ABD ． 【点睛】根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．
6．位于光滑水平面上的小车受到水平向右的拉力作用从静止开始运动，已知这一过程中拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，所用时间为t ，小车的位移为s ，小车末速度为v 。

则下列判断正确的是（ ） A ．小车增加的动能等于()121
2
F F s + B ．小车增加的动能大于()121
2
F F s + C ．小车增加的动量等于()121
2
F F t + D ．小车的位移小于
12
vt
【答案】BCD 【解析】 【详解】
AB ．因为拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2，而小车做加速运动，位移在单位时间内增加的越来越大，所以若将位移s 均分为无数小段，则在每一小段位移内F 增加的越来越慢，如图所示（曲线表示题所示情况，直线表示拉力随s 均匀变化情况），而图像的面积表示拉力做的功。

其中拉力随s 均匀变化时，拉力做功为：
()121
2
W F F s =
+， 故当拉力大小由F 1随时间均匀增大到F 2时（曲线情况），做功大于()121
2
F F s +，根据动能定理可知小车增加的动能大于
()121
2
F F s +，A 错误B 正确； C ．因为拉力是随时间均匀增大，故在t 时间内拉力的平均值为：
()121
2
F F F +=
， 所以物体动量增加量为：
()121
2
p F F t ∆=
+， C 正确；
D ．根据牛顿第二定律可知在力随时间均匀增大的过程中物体运动的加速度逐渐增大，即
v t -图像的斜率增大（图中红线所示，而黑线表示做匀加速直线运动情况）。

根据v t -图像的面积表示位移可知小车的位移小于1
2
vt ，D 正确。

故选BCD 。

7．光子具有能量，也具有动量．光照射到物体表面时，会对物体产生压强，这就是“光压”，光压的产生机理如同气体压强；大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生了持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力就是气体的压强，设太阳光每个光子的平均能量为E ，太阳光垂直照射地球表面时，在单位面积上的辐射功率为P 0，已知光速为c ，则光子的动量为E
P c
=
，求： （1）若太阳光垂直照射在地球表面，则时间t 内照射到地球表面上半径为r 的圆形区域内太阳光的总能量及光子个数分别是多少？
（2）若太阳光垂直照射到地球表面，在半径为r 的某圆形区域内被完全反射（即所有光子均被反射，且被反射前后的能量变化可忽略不计），则太阳光在该区域表面产生的光压（用l 表示光压）是多少？ 【答案】（1）20r P t
n E
π=（2）0
2p I c
=
【解析】 【分析】 【详解】
（1）时间t 内太阳光照射到面积为S 的圆形区域上的总能量
0=E P St 总
解得 20E
r Pt π=总
照射到此圆形区域的光子数
E n E
=
总
解得20r P t
n E
π=
（2）因光子的动量E p c
=
则达到地球表面半径为r 的圆形区域的光子总动量
p nP =总
因太阳光被完全反射，所以时间t 内光子总动量的改变量
2p p ∆=
设太阳光对此圆形区域表面的压力为F ，依据动量定理 Ft p =∆
太阳光在圆形区域表面产生的光压I=F/S
解得0
2p I c
=
8．如图所示，一质量为 2.0kg m =的物体从半径为0.5m R =的圆弧轨道的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。

拉力F 的大小始终为15N ，方向始终与物体所在处的切线成37︒角。

圆弧轨道所对应的圆心角为45︒，BO 边沿竖直方向。

求这一过程中：（g 取210m /s ，sin 370.6︒=，cos370.8︒=） (1)拉力F 做的功； (2)重力G 做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力N 做的功。

【答案】(1)47.1J(2)－29.3J(3)0 【解析】 【详解】
(1)将圆弧AB 分成很多小段1l ，2l ，…，n l ，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为12,W W ，…，n W ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在点的切线成
37︒角，所以
11cos37W Fl ︒= 22cos37W Fl ︒=
…
cos37n n W Fl ︒=
()1212πcos37cos3747.1J 4
F n n R
W W W W F l l l F ︒︒=++
+=+++=⋅
≈ (2)重力G 做的功
()1cos 4529.3J G W mgR ︒=--≈-
(3)物体受到的支持力N 始终与物体的运动方向垂直，所以
0N W =
9．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者
表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m 与一定的能量E 相对应：2E mc =，其中c 为真空中光速．
(1)已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量E h ν=，其中h 为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量
h
P λ
=
．
(2)光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S ，当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式．
(3)设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力．一个质量为m 的探测器，正在朝远离太阳的方向运动．已知引力常量为G ，太阳的质量为M ，太阳辐射的总功率为P 0，设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部吸收．试估算该探测器光帆的面积应满足的条件． 【答案】（1）见解析 （2）0
P I cS
=（3）
【解析】
试题分析：（1）光子的能量2E mc =c
E h h νλ
==（2分）
光子的动量p mc =（2分） 可得E h
p c λ
=
=（2分） （2）一小段时间Δt 内激光器发射的光子数
0P t
n c h
λ
∆=
（1分） 光照射物体表面，由动量定理
F t np ∆=（2分）
产生的光压F
I S
=（1分） 解得0
P I cS
=
（2分） （3）由（2）同理可知，当光一半被反射一半被吸收时，产生的光压
32P
I cS
=
（2分） 距太阳为r 处光帆受到的光压
2
324P
I c r π=
⋅（2分）
太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
2
'Mm
IS G
r >（2分） 解得
（2分）
考点：光子 压强 万有引力
10．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．
（1）一段横截面积为S 、长为L 的直导线，单位体积内有n 个自由电子，电子电荷量为e ．该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v,求导线中的电流I （请建立模型进行推导）；
（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力F 与m 、n 和v 的关系(提示：建议，建立模型，思考压强的产生原理)．
【答案】（1）nvSe ；（2）2
13
nmv 【解析】
试题分析：取一时间段t ，求得相应移动长度l=vt ，体积为为Svt ．总电量为nesvt ，再除以时间，求得表达式；粒子与器壁有均等的碰撞机会，即相等时间内与某一截面碰撞的粒子为该段时间内粒子数的1
6，据此根据动量定理求与某一个截面碰撞时的作用力f ． （1）导体中电流大小q I t
=
t 时间内电子运动的长度为vt ，则其体积为Svt ，通过导体某一截面的自由电子数为nSvt
该时间内通过导体该截面的电量：q nSvte = 由①②式得I nesv =；
（2）考虑单位面积，t 时间内能达到容器壁的粒子所占据的体积为1V Svt vt ==⨯， 其中粒子有均等的概率与容器各面相碰，即可能达到目标区域的粒子数为11
66
nV nvt =
， 设碰前速度方向垂直柱体地面且碰撞是弹性的，则分子碰撞器壁前后，总动量的变化量为
1
26
p mv nvt ∆=⋅
由动量定理可得：()21
2163
nvt mv p f nmv t t ⨯∆===。