3晶格振动复习

在原子偏离平衡位置的位移比较小的情况下，固体中原子间的相互作用 可以近似地看成是由弹簧连结的，这就是简谐近似。
2 一维单原子链的振动
（1）. 振动方程及其解
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
Mx2n x2n1 x2n1 2x2n
mx2n1 x2n2 x2n 2x2n1
x2n1 Aeit 2n1aq x2n Beit2naq
其他原子位移可按下列原则得出:
(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。
(2)相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
n~k之间的相互作用力:
f nk
d2u dr 2
r0
xnk
nk xnk
n原子受到的总相互 fn nk xn xk
作用力:
k
nk
d2u dr 2
r0
弹性恢复力系数
牛顿第二定律 F=ma=m(d2r/dt2)
..
x 原子的振动方程:
fn m
n
nk xn xk
k
n k a r0 r0
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2
均为波失q的周期 函数，周期为π/a
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM
cos2aq
1 2
偶函数 (q) (q)
周期性 (q π) q
a
2
波失的取值就是限定在第一布里渊区内
2
π q π
2a
2a
O
m
q 0时 : omax
2(m M )
mM
2
A
2
M
Amin 0
根据布里渊区的定义，波失的取值就是限定在第一布里渊区内。
πq π
m
a
a
简约布里渊区
π a
o
πa
4）. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值
(1)玻恩---卡门周期性边界条件
实际固体都是尺寸有限的，边界上原子的运动规律可能不同于内部原子，但由于实际固 体的原子数目巨大，边界上原子的运动行为对内部原子影响很小。
n N (即每块晶体中的第n个原子的运动规律完全相同)
(2)波矢q的取值
对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同):
xn xnN
Aeit naq Aei[t ( n N )aq]
eiNaq 1
q 2π s Na
用倒格子基失表示
q b s N
Naq 2π s 整数
由于 π q π 限定在第一布里渊区内
m
2
该式意味着所有原子的运动方程导出同样的频率~波失关系，称为色散 关系（是一个周期函数）。
当
q
a
,
max
2
;
m
当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
周期为T=2π/a
2π / a
为了保证振动频谱的单值性，一般将q取值限定在-π/a～π/a之间。
为了简化并能正确描述固体内部原子的运动行为，玻恩---卡门提出了周期性边界条件。
设想含有N个原胞（对于一维简单晶格即是含有N个原子），长为Na的一维
原子链之外，仍然存在无限多个这样的晶体，而且所有晶体中相同位置的原子的
振动规律完全一致，即具有完全相同的振幅和位相）。玻恩---卡门周期性边界条
x x 件可表示为: n
晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数 晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数
3）.声学波和光学波
(1)当波矢q
0时,
cos(2aq) 1 1 2aq2 则,
2
声学波
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM cos2aq
12
A
2 aq,
mM
2
vp
a mM
在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。 推导略
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeitnaq
2 sin aq
m2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数目= 晶体的原胞数
3.一维双原子链(复式格)的振动
1）. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aeit naq
将试探解代入振动方程得色散关系: 2 sin aq
m2
由玻恩---卡门周期性边界条件: x1 x1N eiNaq 1
Naq 2π s q 2 s
Na
s为整数
N 5, q 2π s 5a
M Be 2 i( t2naq ) { Aei[ t(2n1)aq] Aei[ t(2n1)aq] 2Bei( t2naq ) }
M 2B eiaq eiaq A 2 B
m Ae 2 i[ t(2n1)aq ] {Bei[ t(2n2)aq] Bei( t2naq ) 2 Aei[ } t(2n1)aq]
n1
波动学中位相：
=kx, k为波失
x =Aei[t (n1)aq] n1
原子都以同一频率，同一振幅A振动，相邻原子间的位相差为aq。(q为波失)
晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系，即原子的振动
形成了波，这种波称为格波。
将试探解代入振动方程得 振动频率:
2
sin aq
m2
ω～q关系--色散关系
1.理解晶格振动的简谐近似
如果选取新的势能零点，使V(a0=0)，并令原子偏离平衡位置的位移为
x=a-a0，势能函数简化为
V (x) 1 x2
2
原子在平衡位置附近作微小振动的回复力为
F (x) dV x dx
简谐近似
显然，在简谐近似下，两个原子犹如倔强系数为β的弹簧相连接一样， 这一近似可以推广到一般三维晶体。
相邻原子间距均为a，恢复力系数为。 (晶格常量为2a )
2n-2
2n-1
2n
2n+1
2n+2
aM a m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
偏离平衡位置后，各个原子的位移为
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
(2)方程和解
2 {(m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq }
mM
两种格波的
色散关系
2 o
mM
m
M
m2
M
2
2m M
cos2aq
1 2
2 A
mM
m
M
m2
M2
2mM cos2aq
12
0 ()---光学支格波
A (-) ---声学支格波
推导略
(1)色散曲线
2 o
mM
m M
整理后，得 m 2 ( 2 eiaq eiaq ) (eix cos x i sin x)
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
振动角频率
2
sin aq
m
2
（3）.色散关系 2 sin aq
t时刻为 u(r) u(r0 r)
u(r) u(r0 r) xnk
按级数展开
u(r0 )
du dr r0
r
1 2
d2u dr 2
r0
(
r)2
1 6
d3u dr 3
r0
(
r)3
u(r )
u(r0 )
1 2
d2u dr 2
r0
xn2k
1 6
d3u dr 3
r0
xn3k
第 n个与第 k个原子间的相互作用力:（dr xnk）
2a
2a
N s N
2
2
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
2
2
整数
(共有N个值)
(共N个值)
由N个原胞组成的一维双原子链，波矢的数目为N，频率的数目
为2N，格波(振动模式)数目为2N。
一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N。
a
a
则 N s N
2
2
s ( N 1),( N 2),( N 3), ,1, 0,1, 2, , N
2
2
2
2
波矢 q 2π s也只能取N个不同的值。 Na
(共N个值)
晶格振动波矢只能取分立的值 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目
5）. 长波极限: , q 2π 0
2 sin aq 2 aq a q
m2
m2
m
=v p q
vp a m
由连续介质波
弹性模量
的传播速度： v p 介质密度
vp a m
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
弹性波
m
q
2π a
π a
o
πa
2π a
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，
恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
m
..
xn
nk
xn
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
x2n2 x2n 2 x2n1
x2n+2
波失的取值就是限定在 第一布里渊区内
πq π
a
a
5 s 5 s 2, 1, 0, 1, 2 q 4π , 2π , 0, 2π , 4π
22
5a 5a 5a 5a
1 2
sin m
2π 5
,2
2
sin m
π 5
,3
0, 4
2 ,5
1
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
2 A
mM
m
M
m2 M 2 2m M cos 2aq
12
cos(2aq) 1 1 2aq2
2
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)2
1
2
(1
1
x)2
1
1
x
2
mM
m
M
m
M
1
2m M
m M
2
(aq)2
x2n1 Aeit2n1aq
x Be 2n2
[t (2n2)aq]
Mx2n x2n1 x2n1 2x2n
mx2n1 x2n2 x2n 2x2n1
2）.色散关系
x Be 2n2
[t (2n2)aq]
x2n1 Aei t 2n1aq
x2n Bei t2naq x2n1 Aeit2n1aq
mM
2mM
m M
(
aq)
a
Xn-2
Xn-1
Xn
Xn+1
Xn+2
用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，
用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。
(2)振动方程和解
平衡时，第k个原子与第n个原子相距 n k a r0
u(r) 为两个原子间的相互作用势能，平衡时为 u(r0 )，
推导略
(晶格振动频谱)
振动角频率的推导
..
m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解:
xn Aei t naq
.
xn
iAei t naq
..
xn
( i
)2
Aeitnaq
2 Aeitnaq
左边= mA 2eitnaq
右边= 2Aeiwtnaq Aeitn1aq Aeitn1aq
只考虑最近邻原子间的相互作用(选定原子左右两边的近邻原子），且恢复力
系数相等：
..
m xn xn xn1 xn xn1
..
整理后，得 m xn 2xn xn1 xn1
给出试探解（简谐振动的解是余弦或正弦函数）：
xn =Aei[t naq] x =Aei[t (n1)aq]
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方及以上的高次项，
只保留到(r)项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
m 2 A eiaq eiaq B 2 A
上两式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；
2 cos aqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cos aqB 0
若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即:
2 cos aq M 2 2
0
m 2 2 2 cos aq (2 cos aq)(2 cos aq) (M 2 2 )(m 2 2 ) 0
折合质量
π
o
πq
2a
2a
q π 时: 2a
o min
2
m
A max
2
M
(2)波矢q的取值
由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：
x2n x2(n N ) Aeit2naq Aeit2n N aq
ei2Naq 1 2Naq 2πs
q π s Na
由于 π q π 限定在第一布里渊区内