2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年黑龙江省哈工大附中高一（下）期末数学
试卷
副标题
1.3−i
1−i
=()
A. 2+i
B. 2−i
C. −2+i
D. −2−i
2.从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇
数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()
A. ①
B. ②④
C. ③
D. ①③
3.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C=30°，B=45°，b=2√2，
则c等于()
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
4.若向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(−1,1)，c⃗=(4,2)，则c⃗=()
A. 3a⃗+b⃗
B. 3a⃗−b⃗
C. −a⃗+3b⃗
D. a⃗+3b⃗
5.已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为()
A. 12
B. 16
C. 12π
D. 16π
6.下列一组数据的25百分位数是()
2.1，
3.0，3.2，3.8，3.4，
4.0，4.2，4.4，
5.3，5.6
A. 3.2
B. 3.0
C. 4.4
D. 2.5
7.3个数1，3，5的方差是()
A. 2
3B. 3
4
C. 2
D. 8
3
8.如图，△O′A′B′是水平放置的的直观图，则的周长为()
A. 10+2√13
B. 3√2
C. 10+4√13
D. 12
9.如果平面向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，那么下列结论中正确的是()
A. |a⃗|=√2|b⃗ |
B. a⃗⋅b⃗ =2√2
C. (a⃗−b⃗ )⊥b⃗
D. a⃗//b⃗
10.已知复数z=1+i，则下列命题中正确的为()
A. |z|=√2
B. z−=1−i
C. z的虚部为i
D. z在复平面上对应点在第一象限
11.设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面.下列四个命题中，正确的是
()
A. 若a//α，b//α，则a//b
B. 若a⊥α，b⊥α，则a//b
C. 若a⊥α，a⊥β，则α//β
D. 若a⊥α，b//α，则a⊥b
12.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线
PQ与RS是异面直线的图是()
A. B.
C. D.
13.某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、
女学生采用分层随机抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是______．
14.已知i为虚数单位，则|3+2i|=______．
15.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,t)，若a⃗//b⃗ ，则实数t的值是________．
16.某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随
机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位：ℎ)，数据如表，
甲6 6.577.58
乙6789101112
丙3 4.567.5910.51213.5估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间______．
17.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(−3,1)．
(1)求a⃗−2b⃗ ；
(2)设a⃗，b⃗ 的夹角为θ，求cosθ的值．
18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=√7，b=2，A=60°．
(1)求sin B的值；
(2)求c的值．
19.做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，
每次取一个，构成有序数对(x,y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．
(1)求这个试验样本点的个数；
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．
20.如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AB=10，
BC=6，AC=PC=8，E，F分别是PA，PC的中点．求
证：
(1)AC//平面BEF；
(2)PA⊥平面BCE．
21.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分
成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；
22.已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若acosC+(c+2b)cosA=
0．
(1)求A；
(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．
答案和解析1.【答案】A
【解析】解：3−i
1−i =(3−i)(1+i)
(1−i)(1+i)
=4+2i
2
=2+i．
故选：A．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，
在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，
在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，
∴只有第三所包含的事件是对立事件
故选：C．
分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件．
分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：由正弦定理可得c
sinC =b
sinB
，
则c=bsinC
sinB =2√2×
1
2
√2
2
=2，
故选：D．
直接利用正弦定理即可求解
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设c⃗=λa⃗+μb⃗ =(λ,λ)+(−μ,μ)=(λ−μ,λ+μ)=(4,2)，
∴λ−μ=4，λ+μ=2，
∴λ=3，μ=−1，
∴c⃗=3a⃗−b⃗ ，
故选：B．
设c⃗=λa⃗+μb⃗ ，由c⃗=(4,2)，用待定系数法求出λ和μ，可得结果．
本题考查平面向量基本定理及向量的坐标运算．
5.【答案】C
【解析】解：因为圆柱底面半径为2，母线长为3，
则其侧面积为S=2π×2×3=12π．
故选：C．
利用圆柱的侧面展开图为长方形，由此求解即可．
本题考查了圆柱的侧面积的求解，解题的关键是掌握圆柱的侧面积公式，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，从小到大为：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，
因为10×25%=2.5，所以该组数据的25百分位数是3.2．
故选：A．
先把数据从小到大排列，再由10×25%=2.5，能求出该组数据的25百分位数．
本题考查25百分位数的求法，考查百分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：1，3，5的平均数为3，
则其方差s2=1
3×(22+02+22)=8
3
．
故选：D．
先求出数据的平均数，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查斜二侧画法，属于基础题．
根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，边长OB=4，OA=
2O′A′=6，然后即可求三角形的周长．
【解析】
解：根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°，
底边长OB=4，高OA=2O′A′=6，
所以AB=2√13，
∴直角三角形OAB的周长为10+2√13．
故选A．
9.【答案】AC
【解析】解：∵a⃗=(2,0),b⃗ =(1,1)，
∴|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，
∴|a⃗|=√2|b⃗ |，∴A正确；
a⃗⋅b⃗ =2，∴B错误；
(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =(1,−1)⋅(1,1)=1−1=0，∴(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴C正确；
∵2×1−0×1≠0，∴a⃗//b⃗ 错误，∴D错误．
故选：AC．
根据条件可求出|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，从而判断A正确；进行向量坐标的数量积运算可判断B错误；可求出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，从而判断C正确；根据平行向量的坐标关系可判断D错误．
本题考查了向量坐标的数量积和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，平行
向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：复数z=1+i，则|z|=√2.故A正确；
z−=1−i，故B正确；
z的虚部为1，故C错误；
z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．
∴命题中正确的个数为3．
故选：ABD．
利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．
本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：若a//α，b//α，则a//b或a与b异面，也可以相交，故A错误；对于B：若a⊥α，b⊥α，则a//b，故B正确；
对于C：若a⊥α，a⊥β，直线a可以看做这两个平面的法向量，则α//β，故C正确；对于D：若a⊥α，b//α，所以a为平面α的法向量，且b//α，则a⊥b，故D正确．
故选：BCD．
直接利用线面垂直和线面平行的判定和性质，法向量的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质，法向量的应用，主要考查学生对定义和判定定理的理解，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：A中，PQ//RS，B中，PQ//RS，C中，PQ与RS为异面直线，D.PQ与RS相交．
故选：C．
利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论．
本题考查了空间位置关系、正方体的性质、异面直线的定义，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
13.【答案】45
=35人，所以男生抽取的人数为80−35=45【解析】解：女生抽取的人数为80×350
800
人．
故答案为：45．
先求出女生抽取的人数，再求男生抽取的人数．
本题考查分层抽样，属于基础题．
14.【答案】√13
【解析】解：∵|3+2i|=√32+22=√13，
故答案为：√13．
根据复数模长的计算公式即可求解．
本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
15.【答案】−4
【解析】解：a⃗=(1,2)，b⃗ =(−2,t)，
由a⃗//b⃗ ，得1×t−2×(−2)=0，解得：t=−4．
故答案为：−4．
直接利用向量共线的坐标表示列式求得t值．
本题考查平面向量共线的坐标表示，关键是公式的记忆与应用，是基础题．
16.【答案】8.2ℎ
【解析】解：样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为：
1
(6+6.5+7+7.5+8)=7ℎ，
5
1
(6+7+8+9+10+11+12)=9ℎ，
7
1
(3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5)=8.25ℎ，
8
则样本平均数为5×7+7×9+8×8.25
5+7+8
=8.2．
估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2ℎ．
故答案为：8.2ℎ．
样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为7h，9h，8.25ℎ，由此能估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间．
本题考查平均数的求法，考查平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)a⃗−2b⃗ =(1,2)−2(−3,1)=(1+6,2−2)=(7,0)．
(2)cosθ=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ |⋅|b⃗|=
√1+22√(−3)2+1
=−√2
10
．
【解析】(1)进行向量坐标的减法和数乘运算即可；
(2)根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ的值．
本题考查了向量坐标的减法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵a=√7，b=2，A=60°，
由正弦定理得a
sinA =b
sinB
，
∴sinB=bsinA
a =2×
√3
2
√7
=√21
7
；
(2)由余弦定理得cosA=1
2=b2+c2−a2
2bc
=4+c2−7
4c
，
解得c=3或c=−1(舍)．
综上c=3．
【解析】(1)由已知结合正弦定理即可直接求解sin B；
(2)由已知结合余弦定理即可直接求解c．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当x=1时，y=2，3，4，
当x=2时，y=1，3，4，
当x=3时，y=1，2，4，
当x=4时，y=1，2，3，
所以共12个不同的有序数对．
故这个试验样本点的个数为12．
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，
则A={(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
【解析】(1)利用列举法能写出这个试验的所有结果．
(2)利用列举法能写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
本题考查试验的所有结果的求法，考查随机事件的定义等基础知识，是基础题．
20.【答案】证明：(1)在△PAC中，∵E，F分别为PA，PC的中点，∴EF//AC，
又∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，
∴AC//平面BEF；
(2)在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴AB2=AC2+BC2，∴BC⊥AC，
∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，
又∵AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．
∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA．
在△PAC中，∵AC=PC，E为PA的中点，
∴PA⊥EC，
又∵PA⊥BC，EC∩BC=C，CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，
∴PA⊥平面BCE．
【解析】(1)在△PAC中，由E，F分别为PA，PC的中点，由三角形的中位线定理可得EF//AC，再由直线与平面平行的判定可得AC//平面BEF；
(2)在△ABC中，由已知结合勾股定理得BC⊥AC，由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，再由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，得到BC⊥PA.由已知证明PA⊥EC，再由直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面BCE．
本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1，可得x=0.30，
所以频率分布直方图为：
(2)以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，
所以中位数是70+10×1
3=731
3
，所以估计本次考试成绩的中位数为731
3
．
【解析】(1)利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70,80)内的频率，再根据小
矩形的高=频率
组距
求得小矩形的高，补全频率分布直方图；
(2)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；
本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，
在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数
样本容量
．
22.【答案】解：(1)∵acosC+(c+2b)cosA=0，
∴由正弦定理可得：sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0，可得sinAcosC+sinCcosA+
2sinBcosA=0，
可得sin(A+C)+2sinBcosA=0，即sinB+2sinBcosA=0，
∵sinB≠0，
∴cosA=−1
2
，
∵A∈(0,π)，
∴A=2π
3
．
(2)由a=2√3，b+c=4，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，
∴12=(b+c)2−2bc−2bccos2π
3
，即有12=16−bc，∴bc=4，
∴△ABC的面积为S=1
2bcsinA=1
2
×4×sin2π
3
=√3．
【解析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinB+
2sinBcosA=0，由于sinB≠0，可求cos A的值，结合A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．。