八年级初二数学下学期平行四边形单元达标质量专项训练试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元达标质量专项训练试题
一、选择题
1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB 的中点，下列结论
①BE⊥AC
②四边形BEFG是平行四边形
③EG=GF
④EA平分∠GEF
其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．已知在直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠BCD＝90°, BC＝CD＝2AD , E、F分别是BC、CD 边的中点，连结BF、DE交于点P，连结CP并延长交AB于点Q，连结AF，则下列结论不正确的是（）
A．CP 平分∠BCD B．四边形 ABED 为平行四边形
C．CQ将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形
3．点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a，则四边形EMCN的面积（）
A．2
3
a2B．
1
4
a2C．
5
9
a2D．
4
9
a2
4．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是()
A ．4≥x ＞2.4
B ．4≥x≥2.4
C ．4＞x ＞2.4
D ．4＞x≥2.4
5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）
A ．23-
B ．232-
C ．31-
D ．3
6．如图，111A B C ∆中，114A B =，115AC =，117B C =．点2A 、2B 、2C 分别是边
11B C 、11A C 、11A B 的中点；点3A 、3B 、3C 分别是边22B C 、22A C 、22A B 的中点；
；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）
A ．
2014
12 B ．
2015
12 C ．
2016
12 D ．
2017
12
7．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
8．如图，一张长方形纸片的长4=AD ，宽1AB =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，将四边形ABFE 沿着EF 折叠后，点B 落在边AD 的中点G 处，则EG 等于（ ）
A ．3
B ．23
C ．
178
D ．
54
9．如图所示，在周长是10cm 的ABCD 中，AB AD ≠，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE BD ⊥，是ABE △的周长是( )
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
10．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
二、填空题
11．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接
,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
12．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点
E ，若27CD
F ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．
13．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．
14．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的
点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝3
2
S△FGH；③△DEF∽△ABG；
④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）
17．如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP上，PE=1；作EF∥BC，分别
交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．
18．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令
AF
n BC
=，EC
m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝
1
2
AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．
20．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为
t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．
（1）求证：AOE COF ∆≅∆；
（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．
23．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝
13
S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
24．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当
ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
25．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他
条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =13
2
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
26．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动． （1）求点B 的坐标；
（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
27．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ． （1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数； （3）联结AF ，求证：2DE AF =
．
28．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是
BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求
PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
29．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
30．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=1
BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，
2
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=1
CD，
2
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=1
AB=AG=BG，
2
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，
故③错误，
∵BG=EF，BG∥EF∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
故②正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【详解】
解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP ≌△DCP （SAS ），
∴∠BCP =∠DCP ，
∴CP 平分∠BCD ，故A 选项结论正确；
∵BC =2AD ，E 是BC 的中点，
∴BE =AD ，
又∵AD ∥BC ，
∴四边形ABED 为平行四边形，故B 选项结论正确；
∴AB =DE ，
又∵DE =BF （已证），
∴AE =BF ，
∴△ABF 为等腰三角形，故D 选项结论正确；
连接QD ，
在△BCQ 和△DCQ 中，
，
∴△BCQ ≌△DCQ （SAS ），
∴S △BCQ =S △DCQ ，
∴CQ 将直角梯形ABCD 分成的两部分面积不相等，故C 选项结论不正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S =四边形.
【详解】
解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.
四边形ABCD 为正方形
∴EL=EK
,EK CD EL BC ⊥⊥
∴90ELM EKN ︒∠=∠=
90BCD ︒∠=
90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形
90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=
LEM NEK ∴∠=∠
ENK ELM ∴∆≅∆
2224()39
EKCL ENCM S S
a a ∴===四边形 故选D.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形，得出四边形AEPF 是矩形，求出
AM=
12EF=12
AP ，求出AP≥4.8，即可得出答案． 【详解】
解：连接AP ．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB 2+AC 2=36+64=100，BC 2=100，
∴AB 2+AC 2=BC 2，
∴∠BAC=90°，
∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴AP=EF ，
∵∠BAC=90°，M 为EF 中点，
∴AM=12EF=12
AP ， 当AP ⊥BC 时，AP 值最小，
此时S △BAC =
12×6×8=12×10×AP ， AP=4.8，
即AP 的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM 的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P 为边BC 上一动点，当P 和C 重合时，AM=4，
∵P 和B 、C 不重合，
∴x ＜4，
综上所述，x 的取值范围是：2.4≤x ＜4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP 的范围和得出AM=12
AP ． 5．B
解析：B
【分析】
连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．
【详解】
解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ∆是等边三角形，
∴60EAB EBA ∠=∠=︒，
∴30DAE CBE ∠=∠=︒，
在DAE ∆和CBE ∆中，
∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴DAE CBE ∆≅∆，
∴ED EC =，
在EDF ∆和ECF ∆中，
∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴EDF ECF ∆≅∆，
∴DFE CFE ∠=∠
∴EF 是DFC ∠的平分线，
∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，
∴FG DC ⊥，
∴GE GF EF =-，
同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,
∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，
∴GF EH =，
∴GE FH =,
∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,
∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，
∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，
∴2DF =，
∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，
∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，
∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：
222DF DG GF =+，即：2222=1GF +，
∴GF =
∴2FH =，
同理可得：2GE =-，
∴(
(
22222EF GE FH =--=--=，
故选：B ．
【点睛】
本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据三角形的中位线可得，B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于
12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1，所以△A 2
B 2
C 2的周长等于△A 1B 1C 1周长的一半.进而推出第n 个三角形的周长
【详解】 解：∵114A B =，115AC =，117B C =,
∴△A 1B 1C 1的周长是16,
∵点2A 、2B 、2C 分别是边11B C 、11A C 、11A B 的中点,
∴B 2C 2，A 2B 2，A 2C 2分别等于12B 1C 1，12A 1B 1，12
A 1C 1, 以此类推，则△A 4
B 4
C 4的周长是
31×16=22 , ∴△A n B n C n 的周长是4
n 122
- , ∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是=42018201421=22
, 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.
7．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判
断．
【详解】
解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．
故答案为B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．
8．D
解析：D
【分析】
连接BE ，根据折叠的性质证明△ABE ≌△A GE '，得到BE=EG ，根据点G 是AD 的中点，AD=4得到AE=2-EG=2-BE ，再根据勾股定理即可求出BE 得到EG.
【详解】
连接BE ，
由折叠得：AE A E '=，A A '∠=∠=90°，AB A G '=,
∴△ABE ≌△A GE ',
∴BE=EG,
∵点G 是AD 的中点，AD=4，
∴AG=2，即AE+EG=2，
∴AE=2-EG=2-BE ，
在Rt △ABE 中，222BE AE AB =+，
∴ 222(2)1BE BE =-+,
∴EG=5BE 4
=
， 故选：D.
【点睛】
此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等，目的是证得EG=BE ，由此利用勾股定理解题.
9．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出ABE ∆的周长等于AB+AD ，代入求出即可．
【详解】
∵10ABCD C cm =
∴=5AB AD cm +
∵在ABCD 中，OB=OD ，OE BD ⊥
∴EB=ED
∴AEB C
AB AE BE AB AE BE AB AD =++=++=+ ∴5AEB C cm =
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质来进行计算是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF 为矩形，可得AM=
12AP ，最后利用垂线段最短确定AP 的位置，利用面积相等求出AP 的长，即可得AM.
【详解】
在△ABC 中，因为AB 2+AC 2=BC 2，
所以△ABC 为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，
故四边形AEPF 为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP 中点，即AM=12
AP ， 故当AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时AM 最小， 由1122ABC S
AB AC BC AP =⨯⨯=⨯⨯，可得AP=125， AM=12AP=6 1.25
= 故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP ⊥BC 时AM 最小是解题关键.
二、填空题
11．37
【分析】
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，
∴∠WCK=60°，
∵WK⊥CK，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=1
2
CW=
3
2
，3
33
2
，
∴TK=1+3+3
2
=
11
2
，
∴
2
2
22
1133
22
TK WK
⎛⎫
⎛⎫
+=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
37
∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴37
∴BD+BE37，
37．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．12．102︒
【分析】
根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
【详解】
连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=27°，
∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，
∴∠DAB=2∠DAC=102°．
故答案为：102°．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
13．5
【分析】
过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则
22
+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性OE BE
质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
OB=22OE BE +．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 14．6
【分析】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到 AB ∥CD ，推出PE=12
PD ，由此得到当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，利用∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE 的最小值=
12AB=3，得到2PB+ PD 的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1 2
PD，
∵2PB+ PD=2（PB+
1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=
1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
15．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF的角度，从而得到∠AEB的大小，再证△AEB≌△AED，得到∠AED的大小
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE中，∠AEB=65°
在△ABE与△ADE中
45
AB AD
BAE EAD
AE AE
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出
∠AEB的大小.
16．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到
∠EBG=1
2
∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则
DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用
相似比得到
4
3
DE AF
DF AB
==，而
6
2
3
AB
AG
==，所以
AB DE
AG DF
≠，所以△DEF与△ABG不相
似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝1
2
∠CBF+
1
2
∠ABF＝
1
2
∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴AB
DF
＝
AF
DE
，
∴DE
DF
＝
AF
AB
＝
8
6
＝
4
3
，
而AB
AG
＝
6
3
＝2，
∴AB AG ≠DE DF
， ∴△DEF 与△ABG 不相似；所以③错误． ∵S △ABG ＝
12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6， ∴S △ABG ＝32
S △FGH ，所以②正确． 故答案是：①②④．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
17．5
【分析】
先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12
MN FC =
即可． 【详解】
∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，
∴四边形BCEF 是矩形，
∵1PE =，
∴3CE =，
连接FM FC 、，如图所示：
∵四边形ABCP 是正方形，
∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，
∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，
∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，
又∵N 是FC 中点，12MN FC =
，
∵5FC ==
∴ 2.5MN =，
故答案为：2.5 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
18．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形 11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴==
28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=
+四边形 1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键． 19．51313 【分析】
根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝1313
，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝1313
，再根据BE ＝2OB 1213EC ． 【详解】
设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ． 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，
由勾股定理得：BC 13
∵点D 是BC 的中点，
∴AD ＝DC ＝DB 13， ∵12•BC •AH ＝12
•AB •AC ， ∴AH ＝1313
， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，
∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝
121313， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，
∴∠DEB+∠DEC=12
×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)(
)13-=51313． 故答案为：51313
． 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
20．2或3.5
【分析】
分别从当Q 运动到E 和B 之间、当Q 运动到E 和C 之间去分析求解即可求得答案．
【详解】
如图，
∵E 是BC 的中点，
∴BE=CE= 12
BC=9， ①当Q 运动到E 和B 之间，则得：
3t ﹣9=5﹣t ，
解得：t=3.5；
②当Q 运动到E 和C 之间，则得：
9﹣3t=5﹣t ，
解得：t=2，
∴当运动时间t 为2秒或3.5秒时，以点P ，Q ，E ，D 为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】
“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．解题时注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；
（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；
（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.
【详解】
（1）四边形ABCD 为平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =，
点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，
12OE OB ∴=，12
OF OD =， 则OE OF =，
在AOE ∆与COF ∆中
OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AOE COF ∴∆≅∆；
（2）AOE COF ∆≅∆，
EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，
//AE CF ∴，
又GE AE =，
GE CF ∴=，
∴四边形EGCF 为平行四边形；
（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.
∵AC=2AB ，AC=2AO ，
∴AB=AO ，
∵点E 是OB 的中点，
∴AG ⊥OB ，
∴∠GEF=90°，
∴四边形EGCF是矩形.
故答案为：AC=2AB.
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
23．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m ＝103， ∴P （103
，2）； （2）∵S △POB ＝
13S 矩形OBCD ， ∴设点P 的纵坐标为h ，
∴12h ×5＝133⨯⨯5， ∴h ＝2，
∴点P 在直线y ＝2或y ＝﹣2上，
作B 关于直线y ＝2的对称点E ，
则点E 的坐标为（5，4），
连接OE 交直线y ＝2于P ，则此时PO +PB 的值最小，
设直线OE 的解析式为y ＝nx ，
∴4＝5n ，
∴n ＝45
， ∴直线OE 的解析式为y ＝
45x ， 当y ＝2时，x ＝
52， ∴P （52
，2）， 同理，点P 在直线y ＝﹣2上，
P （52
，﹣2）， ∴点P 的坐标为（
52，2）或（﹣52，2）． 【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P 在位置是解题的关键．
24．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详
见解析；（2）45︒
【分析】
（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;
（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．
【详解】
解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）
理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90︒,
∴∠ABC=∠ACB=45︒,
∵∠BAC=∠DAF,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD 和△CAF 中,
BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,
∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,
∵∠ACB=45︒,
∴∠FCB=90︒,
∴CF ⊥BD,CF=BD,
故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．
②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
理由:
由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．
∵∠BAC=90︒,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC,
∴△DAB≌△FAC（SAS）,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90︒,AB=AC,
∴∠ABC=45︒,
∴∠ACF=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF⊥BD．
（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD．
理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG,
由（1）可知:△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGD=45︒,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,
即CF⊥BD．
故答案为45︒．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．
25．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）49
4
．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；
（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，。