公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件

16 b2 c2 2bc cos
6 整理得16 b2 c2 3 bc
2
对称：b c，bc, b2 c2 非对称： 3b c,2b 3c
例5.(2014陕西理科）在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. （1）若a,b, c成等差数列，证明：sin A sin C 2sin(A C)
正弦边化角： a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2R sin C
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , cosC a2 b2 c2 ,
2ac
2ab
3
（3）重要不等式：a2 b2 2ab (4)基本不等式：a b a（ b a 0,b 0) 2 (5)变形：ab ( a b )2 2 当且仅当a b时，等号成立。
1.利用余弦定理及基本不 等式建立不等关系。 2.标明取等条件。
注：1.正弦定理化为三角函数为通法。 2.所求式为边的对称式：bc或b c或b2 c2 一般用余弦定理 不等式； 非对称式: 如 3b c,2b 3c, 一般用正弦定理 三角函数。
思考题：在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. 已知：3b 2a sin B, （1）求角A的大小； (2)若a 2,求b c的取值范围。
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
例4.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
3
解：余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，3 b2 c2 2bc cos
3
整理得3 b2 c2 bc
即3 （b c)2 3bc,
bc
(b
c)
2
（b
c)2
3
3bc
3
(b
c)2
4
4
（b c)2 3 3 (b c)2 4
解得（b c)2 12
解得b c 2 3 当且仅当b c时等号成立。
又由两边之和大于第三 边，可得 b c 3.
b c的取值范围为 3，2 3
4
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. B
4
(2)求 2 cos A cos C的最大值.
(2) 2 cos A cos C 2 cos A cos( A)
4Leabharlann 2 cos A (cos cos A sin sin A)
（2）若b 2,求ABC面积的最大值。 S 1 acsin B 2 ac
解：(2)由b
2，B
及余弦定理b2
a2
c2
2 2ac cosB
4
4
可得，4 a2 c2 2ac cos
4
可得，4 a2 c2 2ac
B
4
a2 c2 2ac, 4 a2 c2 2ac 2ac 2ac
3
解：由a 3, A 及正弦定理，得
b
c
2sin
B
3
2sinC
2 s in(C
)
2 s in
C
3
2sin C cos 2cosC sin 2sin C 3sin C 3 cosC
3
3
2 3 sin(C ) C 0, 2
6
3
C , 5
6 6 6
sin(C
3
sin
2，得
b
c
2sin
B
3
2 sin C
2 s in(C
)
2sin C
3
2sin C cos 2cosC sin 2sin C
3
3
sin C 3 cosC 2sin C 3sin C 3 cosC
2 3 sin(C ) C 0, 2
6
3
C , 5
和转二元三角函数为一数利用三角形内角边化角后为二元三角函利用正弦定理边化角
微专题
解三角形中取值范围（最值）问题 第一课时
1
学习目标
1.能利用正弦、余弦定理来解三角形； 2.掌握解决解三角形中的取值范围问题的常规解法： 三角函数法，不等式法，几何法等.
2
知识要点归纳
（1）正弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
17
4
44
4
4
sin( A )
4
当A ，即A 时，取得最大值为1.
42
4
例2.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边
分别为a,b, c.若a 3, A ,求b c的取值范围。
解：由a 3, A 及正弦定3理
3
ab sin A sin B
c sin C
4
4
cosC cos ( A B)
cos(A B) cos(A )
4
2 cos A ( 2 cos A 2 sin A)
2
2
B , A C 3
4
4
2 cos A 2 sin A sin 2 cos A cos2sin A
A (0, 3 ) A ( , )
6 6 6
sin(C
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
6
解三角形最值问题 方法一：正弦定理 三角函数 1.利用正弦定理边化角。 2.边化角后为二元函数，利用三角形内角 和转二元函数为一元函数。 3.求角的范围。 4.借助三角函数求最值或范围。
(2)若a,b, c成等比数列，求cosB的最小值。
解： a,b, c成等比数列， b2 ac
由余弦定理的推论得，cos B a2 c2 b2
2ac
a2 c2 ac 2ac ac ac 1
2ac
2ac 2ac 2
当且仅当a c时等号成立。
cosB的最小值为1 . 2
解三角形最值问题 方法一：正弦定理 三角函数 1.利用正弦定理边化角。 2.边化角后为二元三角函数，利用三角形内角 和转二元三角函数为一元三角函数。 3.求角的范围。 4.借助三角函数求最值或范围。 方法二：余弦定理 不等式
4 (2 2)ac
(2 2)ac 4ac 4 4 2 2 2 2
S 1 ac sin B 2 ac 1 2
2
4
当且仅当a c时，等号成立。
综上所述， ABC面积S的最大值为1 2。
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例2.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
练习1：已知在ABC中，角A, B.C所对的边分别为a,b, c,且 b 3a .(1)求角A的大小；（2）若a 4,求 3b c的最大值。
sin B cos A
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例3（. 2013新课标2卷理科）ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b, c，
已知a b cosC c sin B, (1)求角B的大小；
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练习1：已知在ABC中，角A, B.C所对的边分别为a,b, c,且
b 3a .(1)求角A的大小；（2）若a 4,求 3b c的最大值。 sin B cos A
解：（1）A
6
变式：若 a 4,求 3b c的最大值。
（2）由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，