北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第六章反比例函数自主学习培优测试卷A （附答案详解） 1．如图，点A ，B 是反比例函数y=k
x
（x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA 、BC ，已知点C （2，0），BD=3，S △BCD =3，则S △AOC 为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
2．已知反比例函数y=，下列结论中不正确的是（ ） A ．图象必经过点（1，﹣5） B ．若x ＞1，则﹣5＜y ＜0 C ．图象在第二、四象限内 D ．y 随x 的增大而增大
3．若反比例函数k
y x
=的图象经过点(2, 3)，那么此图象也经过点( ) A ．(2，-3)
B ．(3, 2)
C ．(3,-2)
D ．(-3，2)
4．已知点 A （2 ，3）在 双 曲 线 y=上，则下列哪个点也在改双曲线上（ ） A ．（﹣1，6） B ．（6，﹣1）
C ．（﹣2，﹣3）
D ．（﹣2，3）
5．若反比例函数k
y x
=的图象过点()
1,6，则不在这个反比例函数图象上的点是（ ）
A ．
(
)
3,2
B ．()
2,3--
C ．
(
)
6,1
D ．()2,3
6．已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2
x
的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是( ) A ．x ＞2
B ．－1＜x ＜0
C ．x ＞2，－1＜x ＜0
D ．x ＜2，x ＞0
7．如图为反比例函数y=
k
x
的图象，则k 等于（ ）
A ．
5 B ．
25
C ．10
D ．－10
8．若112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y 是反比例函数1
y x
=
的图象上的点，且1x ＜2x ＜0＜3x ，则1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是（ ）
A ．1y ＞2y ＞3y
B ．3y ＞1y ＞2y
C ．2y ＞1y ＞3y
D ．3y ＞2y ＞1y
9．关于反比例函数y ＝﹣
3
x
，下列说法不正确的是（ ） A ．点（3，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第二、四象限 C ．当x ＞3时，﹣1＜y ＜0 D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小
10．反比例函数y =
k
x
的图象与函数y =2x 的图象没有交点，若点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，y 3)在这个反比例函数y =k
x
的图象上，则下列结论中正确的
是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 3＞y 1＞y 2
D ．y 3＞y 2＞y 1
11．如图，11OP A ，122A P A ，233A P A …都是等腰直角三角形，直角顶点1P ，2P ，3P …都在函数4
(0)y x x
=
>的图象上，若三角形依次排列下去，则2009A 的坐标是________．
12．若直线11(0)y k x k =≠和双曲线2
2(0)k y k x
=
≠在同一坐标系内的图象无交点，则12k k _______0．（填“＞”或“＜”或“=”）
13．如果反比例函数k
y x
=的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于
_____________.
14．如图：P 是反比例函数k
y x
=
的图象上的点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，且四边形PAOB 的面积为4，则y 与x 的函数关系式是________．
15．计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y（天）是每日铺轨量x的反比例函数吗？解：因为________，所以y是x的反比例函数．
16．若双曲线
42k
y
x
-
=与直线
1
2
y x
=无交点，则k的取值范围是_____．
17．对于函数y=2
x
，当x＞0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.
对于函数y=－2
x
，当x＜0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.
18．函数y1＝x与y2＝4
x
的图象如图所示，下列关于函数y＝y1+y2的结论：①函数的图
象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是_____．
19．在平面直角坐标系中，O是坐标原点．点P（m，n）在反比例函数
k
y
x
=的图象
上．若m=k，n=k-2，则点P的坐标为________；
20．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例
函数
k
y
x
=的图象经过点B，则k的值是_____．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=k
x
（x
＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）k的值是______；
（2）当t=4时，求△BMN面积．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m
x
的图象交于A（﹣2，1），B（1，
n）．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△ABO的面积；
（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的自变量x的取值范围．
23．如图一次函数y=kx+b与反比例函数y=m
x
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（n，2）
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式（2）求△AOB的面积．
24．如图,平面直角坐标系xOy中,双曲线y＝4
x
(x＞0)与直线y＝kx－k的交点为点
A(m，2)．(1) 求k的值；
(2) 当x＞0时，直接写出不等式kx－k ≤4
x
的解集：；
(3) 设直线y＝kx－k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，
求点C的坐标．
25．如图1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动．
（1）点P到达终点O的运动时间是s，此时点Q的运动距离是
cm；
（2）当运动时间为2s时，P、Q两点的距离为cm；
（3）请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm；
（4）如图2，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y 轴，1cm长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC，与PQ相交于点D，
若双曲线y=k
x
过点D，问k的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会
变化，请求出k的值．
26．如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M坐标为（1，1）
（1）如图1中的第一象限内，若a=2，b=1，画出线段AB关于点M（1，1）的中心对称线段CD，并写出C、D两点的坐标；
（2）如图，若AB关于M（1，1）中心对称的线段为CD，点C、点D在双曲线
y=k
x
（x＞0）上，且2，求k的值；
（3）若a=1
2
，b=
1
3
，直接写出直线CD的解析式．
27．如图，一次函数23y mx m =++的图像与1
2
y x =-的图像交于点C ，与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，且点C 的横坐标为3-. (1)求m 的值与AB 的长;
(2)若点Q 为线段OB 上一点，且1
4
OCQ BAO S S ∆∆=
，求点Q 的坐标.
28．如图已知函数y=
k
x
（k ＞0，x ＞0）的图象与一次函数y=mx+5（m ＜0）的图象相交不同的点A 、B ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，连接AO ，其中点A 的横坐标为x 0，△AOD 的面积为2．
（1）求k 的值及x 0=4时m 的值；
（2）记[x]表示为不超过x 的最大整数，例如：[1.4]=1，[2]=2，设t=OD•DC ，若﹣
3
2
＜m ＜﹣54，求[m 2•t]值．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积. 【详解】
因为，BD=3，S△BCD=1
•
2
CD BD=3，
所以，1
•33 2
CD=,
解得，CD=2，因为，C(2，0) 所以，OD=4，
所以，B（4，3）
把B(4，3)代入y=k
x
，得k=12,
所以，y=12 x
所以，S△AOC=1
6 2
xy=
故选D
【点睛】
本题考核知识点：反比例函数. 解题关键点：熟记反比例函数性质. 2．D
【解析】
【分析】
利用反比例函数的性质一一判断即可．
【详解】
对于反比例函数y=，经过（1，﹣5），故A选项正确，
若x＞1，则﹣5＜y＜0，故B选项正确，
图象在二四象限，故C选项正确，
在每个象限y随x的增大而减小，故D选项错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 3．B
【解析】
解：根据题意得k=2×3=6，所以反比例函数解析式为y=6
x
．∵2×（﹣3）=-6，3×2=6，3×
（﹣2）=﹣6，﹣3×2=﹣6，∴点（3，2）在反比例函数y=6
x
的图象上．故选B．
4．C
【解析】
【分析】
在同一双曲线上的点的横纵坐标之积相等.
【详解】
解：由题意得2×3=6=﹣2×(-3)，则C点在该双曲线上，其他点均不在，
故选择C.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义.
5．D
【解析】
【分析】
由题意得出k的值，再进行选择即可．
【详解】
∵反比例函数y=kx的图象过点)，
∴，
∵点A. B. C，
∴点A. B. C都在这个反比例函数图象上.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求反比例函数的解析式.
【解析】 【分析】
因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=
2
x
，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2． 【详解】
解方程x −1=
2
x
，得 x =−1或x =2，
那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)， 如右图，
当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >. 故选C. 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题 7．C 【解析】 【分析】
据k=xy 即横纵坐标相乘得比例系数解答. 【详解】
因为，反比例函数y=k
x
的图象经过点(－2, 5)，则k=-2×5=-10. 故选：D 【点睛】
本题考核知识点：反比例函数性质.解题关键点：熟记反比例函数性质.
【解析】 【分析】
先根据反比例函数1
y x
=
的比例系数1＞0，判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3，判断出y 1、y 2、y 3的大小． 【详解】 ∵反比例函数1
y x
=
的比例系数1>0，
∴该反比例函数的图象如图所示，该图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
又∵x 1<x 2<0<x 3， ∴y 3>y 1>y 2. 故选B. 【点睛】
考查反比例函数的图象与性质，反比例函数()0,k
y k x
=
≠ 当0k >时，图象在第一、三象限.在每个象限，y 随着x 的增大而减小， 当k 0<时，图象在第二、四象限.在每个象限，y 随着x 的增大而增大. 9．D 【解析】 【分析】
由题意利用反比例函数的性质可解． 【详解】
∵当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∴反比例函数y=-3
x
的图象分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 故选D ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．10．B
【解析】
因为反比例函数y=k
x
的图象与函数y=2x的图象没有交点,所以反比例函数y=
k
x
的图象分布
在二,四象限,根据反比例函数的图象性质画出反比例函数图象,观察图象可得:y2＞y1＞y3,故选B.
11．()
42009,0
【解析】
【分析】
由于△OP1A1是等腰直角三角形，可知直线OP1的解析式为y＝x，将它与y＝4
x
联立，求出方
程组的解，得到点P1的坐标，则A1的横坐标是P1的横坐标的两倍，从而确定点A1的坐标；由于△P1OA1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，则A1P2∥OP1，直线A1P2可看作是直线OP1向右平
移OA1个单位长度得到的，因而得到直线A1P2的解析式，同样，将它与y＝4
x
联立，求出方
程组的解，得到点P2的坐标，则P2的横坐标是线段A1A2的中点，从而确定点A2的坐标；依此类推，从而确定点A2009的坐标．
【详解】
过P1作P1B1⊥x轴于B1，
易知B1（2，0）
0）是OA1的中点，
∴A1（4，0）．
可得P1的坐标为（2，2），
∴P 1O 的解析式为：y ＝x ，
∵P 1O∥A 1P 2，
∴A 1P 2的表达式与P 1O 的解析式一次项系数相等，
将A 1（4，0）代入y ＝x ＋b ，
∴b＝−4，
∴A 1P 2的表达式是y ＝x −4，
与y ＝4x
（x ＞0）联立，解得P 2（2＋
，−2＋
）， 仿上，A 2（
0）．
P 3（
＋
，−
），A 3（
0）．
依此类推，点A 2009的坐标是（
0）．
故答案为（
0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解．
12．＜
【解析】
【分析】由直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =
≠在同一坐标系内的图象无交点，可得方程21k k x x
=无解，由此即可得. 【详解】∵直线()11y k x k 0=≠和双曲线22k y (k 0)x =
≠在同一坐标系内的图象无交点， ∴方程21k k x x =
无解， 即x 2=21
k k ＜0， ∴k 1、k 2异号，
∴12k ?
k ＜0， 故答案为：＜.
【点睛】本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点，以及任何一个数的平方
都大于等于0，否则无解.
13．32
【解析】
分析：
由已知条件易得2y 1=k ，3y 2=k ，由此可得2y 1=3y 2，变形即可求得12
y y 的值. 详解：
∵反比例函数k y x =
的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2）， ∴2y 1=k ，3y 2=k ，
∴2y 1=3y 2， ∴1232
y y =. 故答案为：32
. 点睛：明白：若点A ()a b ，和点B ()m n ，在同一个反比例函数k y x
=的图象上，则ab mn =是解决本题的关键.
14．4y x =-
【解析】
【分析】
根据反比例函数k 的几何意义可得|k|=4，再根据图象在二、四象限可确定k=-4，进而得到解析式．
【详解】
解：∵S 矩形P AOB =4，
∴|k |=4，
∵图象在二、四象限，
∴k <0，
∴k =−4， ∴反比例函数解析式为4y x
=-，
故答案为4y x
=-
. 【点睛】 本题考查反比例函数系数k 的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.
15．1200y x
= 【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义作答即可.
【详解】
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y=k/x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数，铺轨天数y （天）和每日铺轨量x 可以表达成反比例函数的形式1200y x =，所以正确答案是1200.y x
= 【点睛】
本题主要考察反比例函数的相关定义，熟练掌握反比例函数相关知识是解答本题的关键. 16．2k >
【解析】
解：∵双曲线y =
2k x -与直线12y x =无交点，∴2﹣k 与12异号，∴2﹣k ＜0，∴k ＞2．故答案为：k ＞2．
17．＞ 一 2＞ 二
【解析】
【分析】
根据反比例函数的比例系数的符号以及所给的自变量的取值可得函数值，进而得知所在的具体象限.
【详解】
在函数y =x
中，
∵系数k ＞0，∴函数图象在一，三象限内，
又∵x＞0，∴函数图象在一象限内，y＞0；
在函数y=－2
x
中，
∵系数k=﹣2＜0，∴函数图象在二，四象限内，
又∵x＜0，∴函数图象在二象限内，y＞0.
故答案为＞，一，＞，二.
18．①③
【解析】
分析：结合图形判断各个选项是否正确即可．
详解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
③y=x+4
x
=（x﹣
x
）2+4≥4，当且仅当x=2时取“=”．即在第一象限内，最
低点的坐标为（2，4），故正确；
∴正确的有①③．
故答案为①③．
点睛：考查根据函数图象判断相应取值；正确理解图形是解决本题的关键．19．（3，1）
【解析】
∵把m=k，n=k-2代入反比例函数y= k
x
中，得k-2=1，解得k=3，
∴m=3，n=3-2=1，
∴点P的坐标为（3，1）．
故答案为（3，1）．
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适
合反比例函数的解析式． 20．3．
【解析】
【分析】
已知△ABO 是等边三角形，通过作高BC ，利用等边三角形的性质可以求出OB 和OC 的长度；由于Rt △OBC 中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC 的长度，进而确定点B 的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x =
中，即可求出k 的值. 【详解】
过点B 作BC 垂直OA 于C ，
∵点A 的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO 是等边三角形，
∴OC=1，BC=3，
∴点B 的坐标是()1,3,
把()1,3代入k y x
=，得3k =． 故答案为3．
【点睛】
考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标； 21．8
【解析】
分析：(1)、根据点A 的坐标得出k 的值；(2)、利用待定系数法求出直线AB 的解析式，然后得出MN 的长度，根据铅锤×水平÷2得出三角形的面积．
详解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=k
x
（x ＞0），
得：k=1×8=8，即k=8；
（2）设直线AB 的解析式为：y=ax+b，根据题意得：
81
3
a b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，解得：
1
2
3
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线AB的解析式为：y=1
2
x﹣3；当t=4时，M（4，2），N（4，﹣1），则MN=3，
∴△BMN 的面积=1
2
×3×4=6.
点睛：本题主要考查的是反比例函数的性质，属于基础题型．在求三角形面积的时候我们可以用割补法，也可以利用铅锤×水平÷2进行求解．
22．（1）y=-2
x
，y=-x-1（2）1.5（3）﹣2＜x＜0或x＞1
【解析】
（1）把A（﹣2，1）代入y=；得m=﹣2；
∴反比例函数为y=﹣；
把B（1，n）代入y=﹣得：n=﹣2；
∴点B坐标为（1，﹣2），
把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1．
（2）令y=0得：﹣x﹣1=0，即x=﹣1，
∴S△ABO=×1×2+×1×1=1.5．
（3）由函数图象可知，反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围为x<-2或．0<x<1.
23．（1）
6
y
x
=，y=﹣2x+8；（2）8
【解析】
试题分析：，对于（1），先把A（1，6）坐标代入y=m
x
求出m的值，进而得到两点的坐标，
再将其代入一次函数表达式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值，
从而求出函数的解析式；
对于（2），根据图形可知S△AOB=S△AOC-S△BOC，至此，再结合三角形的面积公式计算即可. 解：（1）∵A（1，6），B（n，2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式是y=．
∴2n=6，
解得n=3，
∴B（3，2），
∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点．
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）设直线y=﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）．
S△AOB=S△AOC﹣S△BOC=OC|y A|﹣OC|y B）=8．
24．(1)k=2 ；(2)0＜x≤2；(3)C(-1，0)或(3，0)
【解析】
分析: （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）观察图象，直线y=kx-k的图象在y=4
x
的下方（包括交点A），由此可以写出不等式的
解集．
（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．
详解: （1）∵点A在双曲线y=4
x
上，
∴2=4
m
，
∴m=2，
∴点A（2，2）．
∵点A在直线y=kx-k上，∴2=2k-k，
∴k=2．
（2）由图象可知，x＞0时，不等式kx-k≤4
x
的解集为0<x≤2．
故答案为0<x≤2．
（3）设点C坐标（m，0）．
∵直线y=2x-2与x轴的交点D坐标为（1，0），与y轴的交点B坐标为为（0，-2），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，
∴1
2
|m-1|×（2+2）=4，
∴m=3或-1．
∴点C坐标为（3，0）或（-1，0）．
点睛: 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，待定系数法，利用函数图像解不等式等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．
25．（1）16
3
，
32
3
；（2）62（3）t=
8
5
或t=
24
5
；（4）
576
25
.
【解析】
分析：（1）先求出OA，进而求出时间，即可得出结论；
（2）构造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出结论；
（3）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（4）先求出直线AC解析式，再求出点P，Q坐标，进而求出直线PQ解析式，联立两解析式即可得出结论．
详解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴OA=BC=16，
∵动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，
∴t=16
3
，此时，点Q的运动距离是
16
3
×2=
32
3
cm；
（2）如图1，由运动知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，过点P作PE⊥BC于E，过点Q作QF⊥OA于F，
∴四边形APEB是矩形，
∴PE=AB=6，BE=6，
∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，
根据勾股定理得，；
（3）设运动时间为t秒时，
由运动知，AP=3t，CQ=2t，
同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，
∵点P和点Q之间的距离是10cm，
∴62+（16﹣5t）2=100，
∴t=8
5
或t=
24
5
；
（4）k的值是不会变化，
理由：∵四边形AOCB是矩形，∴OC=AB=6，OA=16，
∴C（6，0），A（0，16），
∴直线AC的解析式为y=﹣8
3
x+16①，
设运动时间为t，∴AP=3t，CQ=2t，∴OP=16﹣3t，
∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），
∴PQ解析式为y=516
6
t
x+16﹣3t②，
联立①②解得，x=18
5
，y=
32
5
，
∴D（18
5
，
32
5
），
∴k=18
5
×
32
5
=
576
25
是定值．
点睛：此题是反比例函数综合题，主要考查了勾股定理，待定系数法，构造出直角三角形是解本题的关键．
26．（1）C（0，1），D（2，1）;（2）k=2;（3）y=﹣x+7
2
．
【解析】
【分析】
（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式计算即可；
（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，由点C、D在反比例函数
y=k
x
上，可以假设C（m，2），D（2，m），根据AB=CD=2，2-m=1，可得m=1，求出
点D坐标即可解决问题；
（3）设C（m，n），D（p，q）．利用中点坐标公式求出C、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图1中，设C（m，n），D（p，q）．
由题意A（2，0），B（0，1），
∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，
∴
2
2
m+
=1，
2
m+
=1，
0+p
2
=1，
q1
2
+
=1，
解得m=0，n=2，p=2，q=1，
∴C（0，1），D（2，1）．
（2）如图2中，由题意点C的纵坐标为2，点D的横坐标为2，∵点C、D在反比例函数y=
k
x
上，
∴可以假设C（m，2），D（2，m），
∵AB=CD=2，
∴2﹣m=1，
∴m=1，
∴C（1，2），D（2，1），
把C（1，2）代入y=
k
x
中，得到k=2．
（3）设C（m，n），D（p，q）．由题意A（
1
2
，0），B（0，
1
3
），∵A、C关于M对称，B、D关于M对称，
∴
1
2
2
m+
=1，
2
n+
=1，
0+p
2
=1，
1
3
2
q+
=1，
解得m=
3
2
，n=2，p=2，q=
5
3
，
∴C（
3
2
，2），D（2，
5
3
），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则有
3
k2
2
5
2
3
b
k b
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，解得
k1
7
2
b
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+
7
2
．
【点睛】
本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、中心对称、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
27．(1)
3
2
m=，213
AB=；(2) (0,2)
Q.
【解析】
【分析】
（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB；
（2）由
1
4
OCQ BAO
S S
∆∆
=得到OQ的长，即可求得Q点的坐标．
【详解】
(1)∵点C在直线
1
2
y x
=-上，点C的横坐标为−3，
∴点C坐标为
3 (3,)
2 -，
又∵点C在直线y=mx+2m+3上，
∴
3 323
2 m m
-++=，
∴
3
2 m=，
∴直线AB的函数表达式为
3
6
2
y x
=+，
令x=0,则y=6,令y=0,则3
60
2
x+=，解得x=−4，
∴A(−4,0)、B(0,6)，
∴22
46213 AB=+=；
(2)∵
1
4
OCQ BAO
S S
∆∆
=，
∴111
346 242
OQ
⨯⋅=⨯⨯⨯，
∴OQ=2，
∴点Q坐标为(0,2).
【点睛】
考查两条直线相交问题，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积公式等，比较基础，难度不大.
28．（1）k= 4；m=﹣1；（2）[m2•t]=5．
【解析】
【分析】
（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合k=x0y0可求出k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值.
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示出DC的长，从而可以表示t，根据A
的横坐标x0，即x0满足4
5
mx
x
=+，可得2
00
54
mx x
+=,再根据m的取值计算m2·t，最后
利用新定义可得所求值.
【详解】
（1）设A（x0，y0），则OD=x0，AD=y0，∴S△AOD=O D•AD==2，
∴k=x0y0=4；
当x0=4时，y0=1，
∴A（4，1），
代入y=mx+5中得4m+5=1，m=﹣1；（2）∵，
，
mx2+5x﹣4=0，
∵A的横坐标为x0，
∴mx02+5x0=4，
当y=0时，mx+5=0，
x=﹣，
∵OC=﹣，OD=x0，
∴m2•t=m2•（OD•DC），
=m2•x0（﹣﹣x0），
=m（﹣5x0﹣mx02），
=﹣4m，
∵﹣＜m＜﹣，
∴5＜﹣4m＜6，
∴[m2•t]=5．
【点睛】
本题主要考察一元二次方程、反比例函数的解析式以及反比例函数的图形与性质.。