新九年级上学期期中考试数学试题及答案

新九年级上学期期中考试数学试题及答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝109
3．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)
A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)
4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D)
A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6
C．y＝x2＋6 D．y＝x2
5．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）
A．10月份的售价为50(1＋10%)元
B．11月份的售价为50(1＋10%)元
C．50(1＋x)2＝64.8
D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.8
6．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）
A．6 B．3 C．－3 D．0
7．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－
mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是（ D ）
8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是( A )
A .7
B ．2 2
C ．3
D ．2 3
第8题图
第9题图 第10题图
9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：
①abc<0；
②9a ＋3b ＋c>0；
③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2； ④－35<a<－25.
其中正确结论有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x ＝2.
第11题图
第15题图 第18题图
12．一元二次方程(x ＋3)2－x ＝2(x 2＋3)化成一般形式为x 2－5x －3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．
13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．
14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A 关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y ＝－3x .
15．(原创)如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜ 1或x ＞ 3.
16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m ，当铅球运行的水平距离是6 m 时达到最大高度4 m ，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m .
17．已知方程(p －2)x 2－x ＋p 2－3p ＋2＝0的一个根为0，则实数p 的值是1. 18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时
针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B
三、解答题(本大题共7小题，共66分) 19．(8分)(1)解方程3x 2－x －1＝0； 解：∵a ＝3，b ＝－1，c ＝－1
∴b 2－4ac ＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞ 0，
∴x ＝－（－1）±132× 3
＝1±136，
∴x 1＝1＋136，x 2＝1－136
；
(2)通过配方，写出抛物线y ＝1＋6x －x 2的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：y ＝1＋6x －x 2＝－(x －3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x ＝3，顶点坐标是(3，10)．
20．(8分)如图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP ＝5，则PP ′的长是多少？
解：由旋转易知AP′＝AP ＝5，∠BAP ＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP ＋∠CAP′＝∠CAP ＋∠BAP ＝90°，则在Rt △PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP 2＋AP′2＝5 2.
21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ； (2)平移△ABC ，若A 的对应点A 2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A 2B 2C 2；
(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)如图； (2)如图；
(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．
22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．
解：(1)抛物线解析式为y ＝2x 2
－3x ；
(2)连接AB ，OM ，设MB 交y 轴于点N ， ∵B(2，2)，∴∠AOB ＝∠NOB ＝45°，△AOB ≌△NOB(ASA )，∴ON ＝OA
＝32，∴N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32，∴可设直线BN 解析式为y ＝kx ＋32，把B 点坐标代入可得2
＝2k ＋32，解得k ＝14，∴直线BN 的解析式为y ＝14x ＋3
2
，联立直线BN 和抛物线
解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋32，y ＝2x 2－3x ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2，y ＝2，或⎩
⎨⎧x ＝－3
8，y ＝4532
.
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，4532.
23．(10分)(2018·抚顺)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y 本，销售单价为x 元．
(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 最大？最大利润是多少元？
解：(1)y ＝300－10(x －44)，即y ＝－10x ＋740(44≤x ≤52)； (2)根据题意得(x －40)(－10x ＋740)＝2 400， 解得x 1＝50，x 2＝64(舍去)．
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2 400元；
(3)w ＝(x －40)(－10x ＋740)＝－10x 2＋1 140x －29 600＝－10(x －57)2＋2 890，
当x<57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x ≤52，所以当x ＝52时，w 有最大值，最大值为－10×(52－57)2＋2 890＝2 640(元)．
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润
w 最大，最大利润是2 640元．
24．(12分)抛物线y ＝x 2－6x ＋5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为P.
(1)直接写出抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式________； (2)直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式________；
(3)直接写出抛物线关于点B 成中心对称的抛物线的解析式________； (4)已知点D(－1，0)，将△COD 绕点M 旋转180°后，点C ，D 的对应点E ，F 分别落在抛物线上，求点M 的坐标．
解：(1)y ＝－x 2＋6x －5；
(2)易求A ，P 关于原点O 对称的点A′(－1，0)，P′(－3，4)，设所求抛物线为y ＝a(x ＋3)2＋4，将A′(－1，0)代入解析式得a ＝－1，∴y ＝－(x ＋3)2＋4；
(3)构造全等易求点P(3，－4)关于点B(5，0)的对称点P′(7，4)，设y ＝a(x －7)2＋4，将B(5，0)代入得a ＝－1，∴y ＝－(x －7)2＋4.
(4)易知四边形CDEF 为平行四边形，∵C(0，5)，D(－1，0)， 由平移性质可设E(a ，a 2－6a ＋5)，∴F(a ＋1，a 2－6a ＋10)，
∴(a ＋1)2－6(a ＋1)＋5＝a 2－6a ＋10，∴a ＝5，E(5，0)，F(6，5)，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.
25.(12分)(2018·宜宾)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，
0)，且经过点(4，1)，如图，直线y ＝1
4x 与抛物线交于A ，B 两点，直线l 为y ＝－1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在l 上是否存在一点P ，使PA ＋PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)已知F(x 0，y 0)为平面内一定点，M(m ，n)为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．
解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2.
∵该抛物线经过点(4，1)，∴1＝4a ，解得a ＝1
4
，
∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2
＝14
x 2－x ＋1.
(2)联立直线AB 与抛物线解析式，得
⎩
⎨⎧y ＝1
4x ，y ＝14
x 2－x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝14，⎩⎪⎨
⎪⎧x 2＝4，y 2＝1. ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，14，点B 的坐标为(4，1)． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA ＋PB 取得最小值．∵点B(4，1)，直线l 为y ＝－1，∴点B′的坐标为(4，－3)，设直线AB′的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，
将A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，14，B′(4，－3)代入y ＝kx ＋b ，得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝14，4k ＋b ＝－3，解得⎩
⎨⎧k ＝－13
12，b ＝43
.
∴直线AB′的解析式为y ＝－1312x ＋4
3. 当y ＝－1时，得x ＝28
13，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2813，－1，
(3)∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴(m －x 0)2＋(n －y 0)2＝(n ＋1)2，
∵m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0n ＋y 2
0＝2n ＋1.
∵M(m ，n)为抛物线上一动点，∴n ＝14
m 2
－m ＋1，
∴m 2－2x 0m ＋x 20－2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2－m ＋1＋y 2
0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2－m ＋1＋1，整理得⎝ ⎛⎭⎪
⎫12－12y 0m 2＋(2－2x 0＋2y 0)m ＋x 20＋y 2
0－2y 0－3＝0，
∵m 为任意值，
∴⎩⎪⎨⎪⎧12－1
2y 0＝0，2－2x 0＋2y 0＝0，x 2
＋y 20
－2y 0
－3＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝1，
∴定点F 的坐标为(2，1)．
新九年级（上）数学期中考试题(答案)
一、选择题（每小题4分，共30分）
1．下列二次根式中，最简二次根式为（）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；
C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．
3．下列事件中，是必然事件的是（）
A．将油滴入水中，油会浮在水面上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2＝b2，那么a＝b
D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，
D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一
定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
解：根据勾股定理，AB＝＝2，
BC＝＝，
AC＝＝，
所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，
A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A
选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，
即△＜0，
∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难
度不大．
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）
A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
解：x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝9，
（x﹣1）2＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．
解：∵代数式+有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．
8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）
A．7B．8C．12D．17
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵sin B＝，即＝，
∴AD＝12．
在Rt△ABD中，BD＝
＝12．
在Rt△ACD中，CD＝
＝
＝5．
∴BC＝BD+CD
＝12+5
＝17．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．
9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2：3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9
【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；
A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；
B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；
C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；
D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，
且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）
A ．﹣3
B ．﹣4
C ．﹣
D ．﹣2
【分析】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，由OA 与OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF 与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB 中，由锐角三角函数定义，根据cos ∠BAO 的值，设出AB 与OA ，利用勾股定理表示出OB ，求出OB 与OA 的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似
比的平方，求出两三角形面积之比，由A 在反比例函数y ＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．
解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，
∵OA ⊥OB ，
∴∠AOB ＝90°，
∴∠BOF +∠EOA ＝90°，
∵∠BOF +∠FBO ＝90°，
∴∠EOA ＝∠FBO ，
∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，
∴△BFO ∽△OEA ，
在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝，
设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝
，
∴OB ：OA ＝
：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，
∵A 在反比例函数y ＝上，
∴S △OEA ＝1，
∴S △BFO ＝2，
则k ＝﹣4．
故选：B ．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，
以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．在Rt△ABC中，sin A＝，则∠A等于30°．
【分析】根据sin30°＝解答．
解：在Rt△ABC中，sin A＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．
【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，
解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽
取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．
【分析】根据已知条件即可得到结论．
解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，
∴这三种颜色的球的个数相等，
∴添加的球是红球，
故答案为：红球．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．
【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．
解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴＝＝，
故答案为：1：2．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．
【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．
16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE 与△CDG的相似比为2：5．则
①CD＝10；
②图中阴影部分面积为．
【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，
∴△ABE∽△CDG，
∴＝，
即＝，
解得CD＝10；
②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，
∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，
∴AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，
又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，
∴∠CGA＝30°，
∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，
∴AG⊥GD，
∵∠BCF＝∠D＝60°，
∴CF∥DG，
∴△ACM∽△ADG，
∴MN⊥CF，
＝，
即＝，
解得CM＝5，
所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，
∵∠F＝60°，
∴MN＝MF＝，
∴S
＝MF•MN＝×1×＝，
△MNF
即阴影部分面积为．
故答案为：10；．
【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．
三、解答题（共86分）
17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°
【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．
解：原式＝+﹣×
＝4+﹣ ＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（8分）（1）（x ﹣3）2﹣49＝0
（2）5x 2+2x ﹣1＝0
【分析】（1）先变形为（x ﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
解：（1）（x ﹣3）2＝49，
x ﹣3＝±7，
所以x 1＝10，x 2＝﹣4；
（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，
x ＝
所以x 1＝，x 2＝． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和△ABC 的顶点均为格点．
（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（ ﹣1 ， 0 ），点C ′的坐标为 （ 1 ， 2 ），周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝ 1：2 ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标．
解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；
（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），
周长比C
△A′B′C′：C
△ABC
＝1：2．
故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ
＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP＝11，由AP＝，结合AB＝AP ﹣BQ﹣PQ可得答案．
解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，
∵CE∥AP，
∴DP⊥AP，
∴四边形CEPQ为矩形，
∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，
∵i＝，
∴设CQ＝4x、BQ＝3x，
由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍），
则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），
∴DP＝DE+PE＝11（米），
在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），
∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．
【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC 与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S
＝5，BC＝10，求DE的长．
△FCD
【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
（1）证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝．
∵S
＝5，
△FCD
＝20．
∴S
△ABC
＝×BC×AM，BC＝10，
又∵S
△ABC
∴AM＝4．
又DM＝CM＝CD，DE∥AM，
∴DE：AM＝BD：BM＝，
∴DE＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．
23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sin A+sin B的值．
【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；
（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，
根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．
解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，
根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b
∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，
∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，
∴4c＝5b，即b＝c，
∴a＝3c﹣3b＝c
∵sin A＝，sin B＝，
∴sin A+sin B＝＝＝．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．
24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．
（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出
三角形三边的长，则AB＝；
（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；
（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；
（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）利用梯形的面积公式解答即可．
解：（1）如图1，
∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC与△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE，
∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，
∴，
∴AB＝＝；
故答案为：
（2）
过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，
∴∠DME＝∠EDF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△DME∽△ENF，
∴，
∵EF＝2DE，
∴，
∵ME＝2，EN＝3，
∴NF＝4，DM＝1.5，
根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：
，
即，
解得：EG＝2.5．
【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和
C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为（2，2）；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：＝；
②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE ＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；
（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；
解：（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，
∴B（2，2）．
故答案为（2，2）．
（2）存在．理由如下：
∵OA＝2，OC＝2，
∵tan∠ACO＝＝，
∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°
①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AC＝2AO＝4，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．
∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
∴AB＝AD＝2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2．
（3）①如图1，
过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，
∵A（0，2）和C（2，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（a，﹣a+2），
∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴△BMD∽△DNE，
∴＝＝．
②如图2中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，
∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，
∴BH＝2﹣x，
在Rt△BDH中，BD＝＝，
∴DE＝BD＝•，
∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），
即y＝x2﹣2x+4，
∴y＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴x＝3时，y有最小值．
【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．。