高二物理带电粒子在电场中的运动(二)鲁教版知识精讲

高二物理带电粒子在电场中的运动〔二〕鲁
教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
带电粒子在电场中的运动〔二〕
1、带电粒子在复合场中无约束情况下的运动性质
〔1〕当带电粒子所受合外力为零时，将做匀速直线运动或处于静止状态，合外力恒定且与初速同向时做匀变速直线运动，常见情况有：
①洛伦兹力为零〔即v与B平行〕，重力与电场力平衡，做匀速直线运动，或重力与电场力的合力恒定做匀变速运动。

②洛伦兹力f与速度v垂直，且与重力和电场力的合力〔或其中一种力〕平衡，做匀速直线运动。

〔2〕当带电粒子所受合外力充当向心力，带电粒子做匀速圆周运动，由于通常情况下，重力和电场力为恒力，故不能充当向心力，所以一般情况下是重力恰好与电场力相平衡，洛仑兹力充当向心力。

〔3〕当带电微粒所受的合力的大小、方向均是不断变化的，如此粒子将做非匀变速的曲线运动。

2、带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
带电粒子所受约束，通常有面、杆、绳、圆轨道等，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此类问题应注意分析洛伦兹力所起的作用。

3、带电粒子在交变场中的运动
带电粒子在不同场中的运动性质可能不同，可分别进展讨论，粒子在不同场中的运动的联系点是速度，因为速度不能突变，在前一个场中运动的末速度，就是后一个场中运动的初速度。

4、带电粒子在复合场中直线运动
〔1〕带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解。

〔2〕带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将做匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解。

5、带电粒子在复合场中的曲线运动
〔1〕当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛仑兹力提供向心力时，带电粒
子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解。

〔2〕当带电粒子所受的合外力是变力，是与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。

〔3〕由于带电粒子在复合场中受力情况复杂运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“最大〞、“最高〞、“至少〞等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。

6、带电粒子垂直射入E 和B 正交的叠加场
如如下图所示：速度选择器
〔1〕粒子的受力特点：电场力〔F 〕与洛伦兹力〔f 〕方向相反。

〔2〕粒子匀速通过选择器的条件：带电粒子从小孔1S 水平射入，匀速通过叠加场，并从小孔2S 水平射出，从不同的角度看有三种等效的条件。

①从力的角度看，电场力与洛伦兹力平衡，即
0Bqv qE =
②从速度的角度看，0v 的大小等于E 与B 的比值，即
B
E v 0= ③从功的角度看，电场力对粒子不做功，即
0qEd W F ==
〔3〕使粒子匀速通过选择器的两种途径：
①当0v 一定时，调节E 和B 的大小。

②当E 和B 一定时，调节加速电压〔U 〕的大小，根据功能关系和匀速运动条件，有
,)B
E (m 21mv 21qU 220== 所以，加速电压应为
.)B
E (q m 21U 2= 7、磁流体发电机
如如下图
〔1〕电动势的计算：设两极板间距为d ，根据两板电势差达到最大值的条件F f =，得
B
d B E v ε
== 所以，磁流体发电机的电动势为
Bdv =ε
这一结果，也可以利用等效方法一下看出：等离子体穿过发电通道，相当于有效长度为d 的导体垂直切割磁力线，根据感应电动势公式得Bdv =ε。

〔2〕发电通道两端的压强差的计算：设负载电阻为R ，电源内阻不计，通道横截面为边长等于d 的正方形，且入口处压强为1p ，出口处压强为2p ；当开关K 闭合后，发电机的电功率为
R
)Bdv (R r P 2
=ε=电〔1〕 根据能的转化和守恒定律
Sv p Sv p v F v F P 2121-=-=电〔2〕
所以，通道两端压强差为
R
v B p p p 221=-=∆ 8、质谱仪
质谱仪主要用于分析同位素，测定其质量，荷质比和含量比，如下图为一种常用的质谱仪，由离子源〔O 〕、加速电场〔U 〕、速度选择器〔E 、1B 〕和偏转磁场〔2B 〕组成。

〔1〕同位素荷质比和质量的测定
粒子通过加速电场，根据功能关系，有 qU mv 212=〔1〕 粒子通过速度选择器，根据匀速运动条件，有
1
B E v =〔2〕 假设测出粒子在盘旋磁场的轨道直径为d ，如此又有
q
B B mE 2q B mv 2R 2d 212===〔3〕 所以，同位素的荷质比和质量分别为
E
2qd B B m d B B E 2m q 2121== 〔2〕同位素种数和含量比确实定，不同荷质比的同位素离子，打在核乳胶片上的位置不同〔m q ∝d
1〕。

所以，根据胶片上谱线的条数和强弱，就可确定同位素的种数和含量的多少。

9、盘旋加速器
盘旋加速器的工作原理如如下图所示，设离子源中放出的是带正电的粒子，带正电的粒子以一定的初速度0v 进入下方D 形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，运行半周后回到窄缝的边缘，这时在'11A A 、间加一向上的电场，粒子将在电场作用下被加速，速率由0v 变为1v ，然后粒子在上方D 形盒的匀强磁场中做圆周运动，经过半个周期后到达窄缝的边缘'2A ，这时在'
22A A 、间加一向下的电场，使粒子又一次得到加速，速率变为2v ，这样使带电粒子每通过窄缝时被加速，又通过盒内磁场的作用使粒子盘旋到窄缝，通过反复加速使粒子达到很高的能量。

带电粒子在磁场中运动的半径为qB mv R =，所以粒子被加速后盘旋半径一次比一次增
大；而带电粒子在磁场中运动的周期qB
m 2T π=，所以粒子在磁场中运动的周期始终保持不变，这样只要加在两个电极上的高频电源的周期与带电粒子在磁场中运动的周期一样，就可以保证粒子每经过电场边界AA 和A A ''时正好赶上适宜的电场方向而被加速。

【典型例题】
例1. 〔2003年春季高考京皖蒙卷〕如如下图所示在Oxyz 坐标系所在的空间中，可能存在匀强电场或匀强磁场，也可能两者都存在或都不存在，但如果两者都存在，磁场平行于xy 平面。

现有一质量为m 带正电q 的点电荷沿z 轴正方向射入此空间中，发现它做速度为0v 的匀速直线运动。

假设不计重力，试写出电场和磁场的分布有哪几种可能性，要求对每一种可能性，都要说出其中电场强度、磁感应强度的方向和大小，以与它们之间可能存在的关系，不要求推导或说明理由。

［命题意图］考查电场力、洛伦兹力、力的平衡，属于II 级要求。

［解题思路］带正电的粒子匀速运动，其所受合外力为零，其可能性为电场力和磁场力同时为零，或者两力等值反向。

答案：以E 和B 分别表示电场强度和磁感应强度，有以下几种可能：
〔1〕E ＝0，B ＝0。

〔2〕E ＝0，B ≠0。

B 的方向与z 轴的正方向平行或反平行。

B 的大小可任意。

〔3〕E ≠0，B ≠0。

磁场方向可在平行于xy 平面的任何方向，电场E 的方向平行于xy 轴平面，并与B 的方向垂直，当迎着z 轴正方向看时，由B 的方向沿顺时针转90°后就是E 的方向。

E 和B 的大小可取满足关系式
0v B E =的任何值。

例2. 有一种质谱仪的结构如如下图所示，带电粒子经过1S 和2S 之间的电场加速后，进入21P P 、之间的狭缝，21P P 、之间存在着互相正交的磁场1B 和电场E ，只有在这一区域内不改变运动方向的粒子才能顺利通过0S 上的狭缝，进入磁感强度为2B 的匀强磁场区域后做匀速圆周运动，打在屏A A '上，并发出亮光，记录下亮光所在的位置，量取狭缝到亮光的距离d ，即可求出带电粒子的荷质比，简述其原理。

解析：设加速电场加速电压为U ，可求得带电粒子进入速度选择器时的速度v ，根据平衡条件知道，只有速度为v 的带电粒子才能被选择，粒子做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，建立m /q 的关系，qE qvB 1=可知，只有速度为：1B /E v =的粒子才能通过，这一局部装置叫做速度选择器，0S 以下的空间只存在磁场2B ，不存在电场，带电粒子在洛伦兹力的作用下将做半径为)2
d
R (R =的匀速圆周运动。

R /mv qvB 22=①
R B /mE qB 12=②
由②得R
B B E m q 21=式中21B B 、是人为加上去的，R 可测量，这样便可以求带电粒子的荷质比m /q 。

答案：m /q 原理〔略〕
例3. 盘旋加速器D 形盒中央为质子流，D 形盒的交变电压为V 102U 4⨯=，静止质子经电场加速后，进入D 形盒，其最大轨道半径m 1R =，磁场的磁感强度T 5.0B =，问：①质子最初进入D 形盒的动能多大？②质子经盘旋加速器最后得到的动能多大？③交变电源的频率是多少？
解析：〔1〕粒子在电场中加速，根据动能定理得：
eV 102eU E 0E eU 4k k ⨯==-=
〔2〕粒子在盘旋加速器的磁场中，绕行的最大半径为R ，如此有：R /mv qvB 2= 解得：m
qBR v = ∴质子经盘旋加速器最后获得的动能为
J
1092.1)m
qvR (m 21mv 2
1E 1222
k -⨯=⨯=='
〔3〕.Hz 1063.7m
2Bq T 1f 6⨯=π== 答案：〔1〕eV 1024⨯
〔2〕.Hz 1063.7J 1092.1612⨯⨯-
例4. 如如下图所示，竖直绝缘杆处于方向彼此垂直，大小为E 、B 的匀强电、磁场中，一个质量为m 、带正电为q 的小球，从静止开始沿杆下滑，且与杆的摩擦系数为μ，试求：
〔1〕小球速度为多大时，加速度最大？是多少？
〔2〕小球下滑的最大速度是多少？
解析：小球开始下滑后，在水平方向始终受到相反电场力qE 和洛伦兹力qvB 的作用。

〔1〕当qE qvB <时，压力N 水平向左，小球下滑的加速度为
m
)qvB qE (g m N
mg a -μ-=μ-= 由上式知a 随v 的增加而增加，即小球做加速度增加的加速运动。

当qE qvB =，即速度增大到B
E v =时， 摩擦力0N f =μ=，加速度最大，其最大值为g a max =。

〔2〕当qE qvB >时，N 改变方向为水平向右，小球下滑加速度为
m
)qE qvB (g m N mg a -μ-=μ-= 由此可知a 随v 增大而减小，即小球做加速度减小的加速运动，当0a =时，速度达最大，这时有
)qE qvB (mg -μ=
故最大速度为qB
Eq mg v max μμ+=
【模拟试题】
1、〔2002年广东，8〕在如下图虚线所示的区域存在匀强电场和匀强磁场，取坐标如如下图，一带电粒子沿x 轴正方向进入此区域，在穿过此区域的过程运动方向始终不发生偏转，
不计重力的影响，电场强度E和磁感应强度B的方向可能是〔〕
A. E和B都沿x轴方向
B. E沿y轴正向，B沿z轴正向
C. E沿z轴正向，B沿y轴正向
D. E、B都沿z轴方向
2、如如下图所示，在水平正交的匀强电场和匀强磁场区域内，有一个带电小球A，电场强度为E，磁感强度为B，小球在场区中受到的电场力大小恰与它的重力大小相等，要使小球在电磁场中匀速运动，如此小球的速度大小等于_____________，方向为___________。

3、如如下图所示，在倾角为 的光滑斜面上，有一质量为m，带电量为＋q的小球，小球有一水平初速，〔1〕单独加一个匀强电场，使小球能在斜面上做匀速直线运动，如此这个电场的最小值为_____________，方向为_____________；〔2〕单独加一个磁场，使小球能在斜面上做匀速直线运动，如此这个磁场的最小值为_____________，方向为_____________；〔3〕假设上述的电场和磁场同时存在，小球将做_____________运动。

4、在相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，有一倾角为θ，足够长的光滑绝缘斜面，磁感强度为B ，方向垂直纸面向外，电场强度为E ，方向竖直向上，一质量为m 、带电量为＋q 的小球静止在斜面顶端，这时小球对斜面的正压力恰好为零。

如如下图所示，假设迅速使电场方向竖直向下时，小球能在斜面上连续滑行多远？所用时间是多少？
5、设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场。

电场强度和磁感应强度的方向是一样的，电场强度的大小m /V 0.4E =，磁感应强度的大小T 15.0B =。

今有一个带负电的质点以s /m 20v =的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比m /q 以与磁场所有可能的方向〔角度可用反三角函数表示〕。

6、如如下图所示为磁流体发电机示意图，其中两极板间距cm 20d =，磁场的磁感应强度T 5B =，假设接入额定功率W 100P =的灯泡，灯泡正好正常发光，灯泡正常发光时的电阻Ω=400R 。

不计发电机内阻，求： 〔1〕等离子体的流速多大？
〔2〕假设等离子体均为一价离子，如此每秒钟有多少个什么性质的离子打在下极板。

参考答案
1、AB
2、B
E 2与E 正向成135°角。

3、〔1〕q /sin mg θ沿斜面向上
〔2〕qv /sin mg θ垂直斜面向下
〔3〕在斜面上做匀速圆周
4、θθsin q B /cos g m 2222Bq /cot m θ
5、kg /C 96.1与重力方向夹角75.0arctan =θ且斜向下方的一切方向。

6、s /m 20018103⨯个正离子。