第3章 MATALAB矩阵代数

zeros(m，n)
产生一个m行、n列的零矩阵
b=zeros(2,3) ones(m，n)
产生一个m行、n列的元素全为1的矩阵
c=ones(2,3) eye(m，n)
产生一个m行、n列的单位矩阵
e=eye(3,3)
rand(m，n)
随机数矩阵。
产生一个m行、n列在［0，1］上均匀分布的
rand(4,5)
a4=a(1:2,2:3) （5）删除A的第i1~i2行，构成新矩阵:A(i1:i2，：)=[ ] a(1:2,:)=[ ] （6）删除A的第j1~j2列，构成新矩阵:A(：， j1:j2)=[ ] a(:,1)=[ ]
3、矩阵的运算
1、矩阵的加减运算： 矩阵加减法：A+B，A－B 注：矩阵与标量可相加减 例如：A=[1,2,3;2,矩阵的乘法运算：
数据的简单分析
1.当数据为矩阵时，命令对列进行计
算，即把每一列数据当成同一变量的 不同观察值。
常用的命令：
max( 求 最 大 ) 、 min( 求 最 小 ) 、 mean(求平均值)、sum(求和)、std(求 标 准 差 ) 、 cumsum( 求 累 积 和 ) 、 median( 求 中 值 ) 、 sort( 升 序 排 列 ) 、 sortrows(行升序排列)等等。
令x3 k1 , x4 k2 , x5 k3
2 k1 2 k 2 6 k 3 6 2 2 6 6 k1 k 2 5 k 3 4 1 1 5 4 k 1 k 0 k 0 0 k1 通解： 1 2 3 k2 0 1 0 0 k3 0 0 1 0
矩阵的旋转


fliplr(A) 左右旋转
flipud(A) 上下旋转

rot90(A) 逆时针旋转 90 度； rot90(A,k) 逆时针旋转 k×90 度
B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A), E=rot90(A,-1)
例：A=[1 2 3;4 5 6]
3、矩阵中元素的操作
A=[1 2 1;3 -2 1];
B=[1;4];
X=A\B
x 2y 1 例3 求奇异方程组 －2 x 4 y －2
A=[1 2;-2 -4;0 0]; B=[1;-2;0]; X=A\B
右除“ / ”：
求矩阵方程XA=B的解 （A 、B的列要保持一致） 解为 X=B/A ， 当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A)
a=[1 1 1 1 1;2 3 1 1 -3;1 0 2 2 6;4 5 3 3 -1];
b=[2;0;6;4]; x=null(a) x0=a\b
0 0.8391 0.1634 0 0 0.4994 0.5638 1 k1 0.1498 k 2 0.5250 k 3 0.7071 0 0.1498 0.5250 0.7071 0 0.0399 0.3228 0 1
（1）矩阵A的第r行：A（r，：） a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; a1=a(2,:) （2）矩阵A的第r列：A（：，r） a2=a(:,2) （3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量： A（：） a3=a(:)
（4）取矩阵A的第i1~i2行、第j1~j2列构成新矩阵:
A(i1:i2, j1:j2)
数 学 建 模
第三章 矩阵代数
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一、矩阵的建立
▲矩阵的创建可以通过以下几种形式创建： （1）以直接列出元素形式输入 （2）通过语句和函数产生 （3）从外部文件装入 1、直接输入矩阵 ● 矩阵每行的元素必须用逗号或空格分开； ● 在矩阵中，采用分号或者回车表明每一行的结束； ● 整个矩阵必须包含在方括号中
例1 求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
解 有(A-2E)B＝A 程序 ：
A=[3 0 1; 1 1 0;0 1 4]; B=inv(A-2*eye(3))*A B=(A-2*eye(3))\A
x 2y z 1 例2 求不定方程组 3 x 2 y z 4
建立三角矩阵:
triu(A) 生成一个和A大小相同的上三角矩阵。 该矩阵的主对角线及以上元素取自A中相应元素，其余元 素都为零。
tril(A) 生成一个和A大小相同的下三角矩阵。 该矩阵的主对角线及以下元素取自A中相应元素，其余元 素都为零。
diag(A) 若A是矩阵，则 diag(A)为A的主对 角线向量; 若A是向量，diag(A)产生以A为主对 角线的对角矩阵.
矩阵乘法：A*B
3、矩阵的除法运算：
（1）方阵的求逆指令：B＝inv（A）
（2）方阵的行列式的值:det(A)
（3）特征值和特征向量： [V，D]=eig[A]：产生一个对角元是特征值的对角阵D和 一个行向量是特征值对应特征向量的满次矩阵，满足 XV=VD （4）rank(A)： 矩阵的秩 （5）null(A)： AX=0的基础解系 （6）orth(A)： 求A的列向量空间的正交规范基
例1 A=[1,2,3;4,4,4;5,4,6] B=[1,2,3 4,5,6 7,8,9]
注1 矩阵中的元素可以是数字或者表达式,但表达式 中不可以包含未知的变量。 例2 A=[-1,3+4*5,sqrt(2)]; B=[A;2,3,4]
2、由函数创建和修改矩阵 a=[ ]
产生一个空矩阵，当对一项操作无结 果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零.
矩阵的除法(左除和右除)
左除“ \ ”：
求矩阵方程AX=B的解；（ A 、B的行要保持一致） 解为 X=A\B；
(1)当A为方阵且可逆时有X=A\B=inv(A)*B；
(2)当A不为方阵，AX=B存在唯一解：X=A\B；
(3)当A不为方阵，AX=B存在无穷多解，A\B将给出 一个具有最多零元素的特解； (4)当A不为方阵，AX=B无解，A\B将给出近似解；
a=[1 1 1 1 1;2 3 1 1 -3;1 0 2 2 6;4 5 3 3 -1];
b=[2;0;6;4]; [rank(a),rank([a,b])]; rref([a,b])
同解方程： x1 6 2 x 3 2 x4 6 x5 x 2 4 x 3 x 4 5 x 5
线性方程组的通解（无穷解）
方法一：
利用rref画为最简形。
方法二：
（1）利用除法求出一个特解。 （2）利用null求出对应的齐次方程 组的基础解系。
例 求解线性方程组 x1 x 2 x 3 x4 x5 2 2x 3x x x 3x 0 1 2 3 4 5 x1 2 x 3 2 x4 6 x5 6 4 x1 5 x 2 3 x 3 3 x4 x5 4
3. 矩阵的修改
直接修改
可用键找到所要修改的矩阵，用键移 动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改
可以用A(,)= 来修改。
例如 a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9] a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 0 3 0 5 7 8 0
例4 观察：生成一个3×6的随机数矩阵， 并将其各列排序、求各列的最大值与各列 元素之和。 解：程序
A=rand(3,6) Asort=sort(A) Amax=max(A) Asum=sum(A)
观察结果