2019年上海高中数学_第33讲_等比数列

第33讲 等比数列
一、知识点梳理 1、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，简记为G ．P ．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．（0q ≠）
非零常数1q =时得到等比数列为常数列．
非零常数列既是等差数列，又是等比数列． 2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅⇒n m n m a a q -=⋅
通常1a 、n a 、n 、q 四个参数，由公式只需知道其中三个，则可得第四个参数． 3、等比中项：（1）若三个数a 、b 、c
成等比数列，则b =，叫做a 、c 的等比中项； （2）三个数成等比数列． 4、等比数列前n 项和公式：()()
()
111111n n na q S a q q q
⎧=⎪
=-⎨≠⎪
-⎩
通常1a ，n a ，n ，q ，n S 五个参数，只需知其中三个就可得另两个的值． 5、等比数列性质
二、典型例题
例1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 中，11b a =，1n n n b a a -=-，2n ≥，若n n a S n +=，n N *∈． （1）设1n n c a =-，求证：数列{}n c 是等比数列；
（2）求数列{}n b 的通项公式．
例2、（1）已知等比数列{}n a 的公比为2，前4项和是1，则前8项的和为 ．
（2）已知等比数列{}n a 中41S =，83S =，求17181920a a a a +++的值．
（3）已知等比数列{}n a 中，1230a a +=，34120a a +=，56a a += ．
（4）在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++= ．
例3、（1）等比数列{}n a 中，0n a >，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=L ．
（2）x ，1a ，2a ，y 成等差数列，x ，1b ，2b ，y 成等比数列，则
()
2
1212
a a
b b +的取值范围是 ．
例4、由正数组成的等比数列公比2q =，且3012302a a a ⋅⋅⋅=L ，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ．
例5、数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且5a ，8a ，13a 是等比数列{}n b 的相邻三项．若25b =，则 n b = ．
例6、已知等差数列{}n a 中，28a =，10185S =，
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2，4，8，L ，2n ，L 项，按原来的顺序排成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n B ．
三、回顾反思
四、课后练习
1、等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a = ．
2、等比数列{}n a 中，若2n n a a +=，则q =，若3n n a a +=，则q = ．
3、等比数列{}n a 中，0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a += ．
4、设()473102222n f n +=++++L （n N *∈），则()f n 等于（ ）
A 、
()2817n - B 、()12817n +- C 、()32817n +- D 、()42
817
n +-
5、若数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a R ∈），则{}n a 是（ ）
A 、等差数列
B 、等比数列
C 、等差或等比数列
D 、等差或等比或都不是
6、等比数列{}n a 中，1020S =，2030S =，则30S = ．
7、（1）设12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，121n n a b b b =++++L ，则n a = ．
（2）已知{}n a 是等比数列公比为q ，11a =，求211n n q q q q -+++++=L ．
8、（1）已知等比数列{}n a 的前n 项和3n n S k b =⋅+，则k b += ．
（2）等比数列{}n a 中，11a =，已知对于任意的自然数n 有12321n n a a a a ++++=-L ，则222123a a a +++L 2n a += ．
9、一直角三角形三个内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
10、在正数等比数列{}n a 中，公比2q =，且15123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=L （ ）
A 、102
B 、202
C 、162
D 、152
11、已知等比数列{}n a 中，910a a a +=（0a ≠），1920a a b +=（0b ≠），99100a a += ．
12、等差数列{}n a 中，前2m 项之和2100m S =，且1233200m m m m a a a a +++++++=L ，则123m m m a a a ++++++L 2m a += ．
13、等比数列{}n a 中，0n a >，243546236a a a a a a ++=，则35a a += ．
14、已知a ，x ，b 和b ，y ，c 分别成等差数列，而a 、b 、c 成等比数列，0xy ≠，则a c
x y
+= ．
15、等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，如果1a 、2a 、5a 成等比数列，那么d = ．
16、已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，{}n a 的部分项组成数列：1
k a ，2
k a ，…，n
k a ，恰为等比数列，
其中11k =，25k =，317k =，求123n k k k k ++++L ．
11、已知数列{}n C ，其中23n n n C =+，且数列{}1n n C pC +-是等比数列，求p 的值．
12、等差数列{}n a 中，公差不为0，2a 是1a 与4a 的等比中项．若数列{}n k a 成等比数列，n k N *∈，其中11k =，23k =，求数列{}n k 的通项公式．
13、数列{}n a 是等比数列，18a =，设2log n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若在数列{}n S 中有最大项为7S ，求数列{}n a 的公比q 的取值范围．。