2019_2020学年高中数学第三章函数的表示法(第1课时)函数的表示法教师用书新人教A版

第1课时 函数的表示法
问题导学
预习教材P67，并思考以下问题： 1．函数的表示方法有哪几种？ 2．函数的表示方法有什么特点？
函数的表示法
■名师点拨
(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．
(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( ) 答案：(1)× (2)×
已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( )
A ．y ＝1
x
B ．y ＝－x
C ．y ＝2x
D ．y ＝x
2
解析：选C.设y ＝k x ，由题意得1＝k
2，
解得k ＝2，所以y ＝2
x
.
已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________．
则f (f (3))＝f (4)＝1. 答案：1
函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域是________，值域是________．
答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1)
函数的三种表示方法
某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收
款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
【解】 (1)列表法：
(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}．
(1)函数三种表示方法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点
①解析法必须注明函数的定义域；
②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；
③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
2．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是________．
当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．
当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.
当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.
综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1，2，3，5}．
答案：{1，2，3，5}
3．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：
解析：当x＝1时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意；
当x ＝2时，f (2)＝3，g (f (2))＝1，不符合题意； 当x ＝3时，f (3)＝1，g (f (3))＝3，符合题意． 综上，方程g (f (x ))＝x 的解集为{3}． 答案：{3}
求函数的解析式
(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；
(3)已知2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．
【解】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，
则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2
x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧k 2
＝9，
kb ＋b ＝4.
解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一：(配凑法)
因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1(x ＋1≥1)， 所以f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． 法二：(换元法)
令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2
(t ≥1)， 所以f (t )＝(t －1)2
＋2（t －1）2
＝t 2－1(t ≥1)． 所以f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． (3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x
，
得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＋2f (x )＝1x
. 于是得到关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f （x ）＝1
x
. 解得f (x )＝23x －x
3
(x ≠0)．
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2019·辽源检测)设函数f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝1＋x
1－x
B ．f (x )＝1＋x
x －1
C ．f (x )＝1－x
1＋x
D ．f (x )＝
2x x ＋1
解析：选C.令t ＝1－x
1＋x ，
解得x ＝1－t
1＋t ，
代入f ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，
可得f (t )＝1－t
1＋t ，
所以f (x )＝1－x
1＋x
.
2．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2
＋2x ，求f (x )． 解：因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① 所以将x 换成－x ，
得f (－x )＋2f (x )＝x 2
－2x .② ②×2－①得3f (x )＝x 2－6x ， 所以f (x )＝13
x 2
－2x .
函数图象的作法及应用
作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2
x
，x ∈[2，＋∞)；
(3)y ＝x 2
＋2x ，x ∈[－2，2]． 【解】 (1)列表：
(2)列表：
当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2
x
的一部分，观察图象可
知其值域为(0，1]．
(3)列表：
8]．
函数y ＝f (x )图象的画法
(1)若y ＝f (x )是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y ＝f (x )不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．
作出下列函数的图象：
(1)y ＝x ＋2，|x |≤3； (2)y ＝x 2
－2，x ∈Z 且|x |≤2.
解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)；
(2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．
1.已知函数f (x )的图象如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f (f (0))＝( )
A ．2
B ．4
C ．0
D ．3
解析：选C.结合题图可得f (0)＝3， 则f (f (0))＝f (3)＝0.
2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1
D ．f (x )＝3x ＋4 解析：选A.法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －1
2
.
所以f (t )＝6×
t －1
2
＋5＝3t ＋2，
所以f (x )＝3x ＋2.
法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.
3．已知函数f (x )＝x －m x
，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m 的值为________． 解析：因为函数f (x )＝x －m x
的图象过点(5，4)，
所以4＝5－m
5，解得m ＝5.
答案：5
4．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )． 解：因为f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)－f (x )＝2x ， 得a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)＋1－ax 2
－bx －1＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，
由系数相等得⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＝2，
a ＋
b ＝0，
所以⎩
⎪⎨
⎪
⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2
－x ＋1.
[A 基础达标]
1．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )
C ．(0，20]
D ．N *
解析：选B.由表格可知，y 的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}． 2．已知f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝( ) A ．0 B ．8 C ．2
D ．－2
解析：选B.因为f (x )＝x 2
＋bx ＋c ， 且f (1)＝0，f (3)＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，
即f (x )＝x 2
－4x ＋3， 所以f (－1)＝1＋4＋3＝8.
3．已知函数f (x －1)＝x 2
－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1
D ．0
解析：选B.法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， 所以f (t )＝(t ＋1)2
－3， 所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.
法二：f (x －1)＝(x －1)2
＋2(x －1)－2， 所以f (x )＝x 2
＋2x －2， 所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令x －1＝2，所以x ＝3， 所以f (2)＝32－3＝6.
4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( ) A.2
3x ＋5 B.2
3x ＋1 C ．2x －3
D ．2x ＋1
解析：选A.因为f (x )是一次函数， 所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17， 整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，
所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，
3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪
⎨⎪⎧a ＝2
3，b ＝5，
所以f (x )＝2
3
x ＋5，故选A.
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水． 则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口
进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．
6．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x ) 的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))的值为________．
解析：由函数g (x )的图象知，g (2)＝1， 则f (g (2))＝f (1)＝2. 答案：2
7．(2019·莆田检测)函数y ＝x 2
＋2x －3在区间[－3，0]上的值域为________． 解析：y ＝x 2
＋2x －3＝(x ＋1)2
－4， 抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 因为x ∈[－3，0]， 所以当x ＝－3时，y max ＝0， 当x ＝－1时，y min ＝－4. 函数的值域为[－4，0]． 答案：[－4，0]
8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2
＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2
＋10x ＋24，则5a －b ＝________． 解析：由f (x )＝x 2
＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2
＋10x ＋24，得(ax ＋b )2
＋4(ax ＋b )＋3＝x 2
＋10x
＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3＝x 2
＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，
解得a
＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.
答案：2
9.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；
(3)p 取何值时，有唯一的m 值与之对应．
解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－
3≤m ≤0或1≤m ≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．
(2)由题图知值域为[－2，2]．
(3)由题图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应．
10．已知函数f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )关于x 2
成正比，h (x )关于x 成反比，且g (1)＝2, h (1)＝－3.求：
(1)函数f (x )的解析式及其定义域；
(2)f (4)的值．
解：(1)设g (x )＝k 1x 2
(k 1∈R ，且k 1≠0)， h (x )＝k 2x
(k 2∈R ，且k 2≠0)， 由于g (1)＝2，h (1)＝－3，
所以k 1＝2，k 2＝－3.
所以f (x )＝2x 2－3
x ，
定义域是(0，＋∞)．
(2)由(1)，得f (4)＝2×42－34＝612
. [B 能力提升]
11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2
(x ≠－1)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x
1＋x
2(x ≠－1) B ．f (x )＝－2x 1＋x
2(x ≠－1) C ．f (x )＝2x
1＋x 2(x ≠－1) D ．f (x )＝－x
1＋x 2(x ≠－1) 解析：选C.设1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t (t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－t 1＋t 2＝4t 2＋2t 2＝2t 1＋t 2，即f (x )＝2x
1＋x 2(x ≠－1)．故选C. 12．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14
(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1
C ．1或－1
D ．1或－2
解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14
(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2
－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.
13．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；
(2)求函数f (x )的值域．
解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：
(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，
所以f (1)＞f (0)＞f (3)．
(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．
[C 拓展探究]
14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．
解：设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；① 又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |
＝22， 所以b 2－4ac ＝8a 2；②
又由已知得c ＝1.③ 由①②③解得b ＝2，a ＝12
，c ＝1， 所以f (x )＝12
x 2＋2x ＋1.。