广东省广州市第八十一中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市第八十一中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为
A．20 B．
C．56 D．60
参考答案：
B
略
2. 如图，在Rt△ABC中，，AC=1，，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）
A．B． C.(0,2) D．
参考答案：
D
3. 复数等于A．i B．C．1 D．—1
参考答案：
D
4. 已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A．B．6C．D．2
参考答案：
D
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；直线与圆．
分析：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD的面积．
解：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，
最长弦AC为圆的直径为2，
∵BD为最短弦
∴AC与BD相垂直，ME=d=，
∴BD=2BE=2=2，
∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+×BD×EC
=×BD×（EA+EC）=×BD×AC==2．
故选：D
【点评】本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
5. 给出下列命题：
①若（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=32
②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件
③已知sin（θ﹣）=，则cos（﹣2θ）=．
其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；推理和证明．
【分析】①利用二项展开式的通项公式求出通项，判断出项系数的正负，去掉绝对值；通过给x赋值﹣1、0求出和．
②因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，所以结论不成立；
③利用二倍角的余弦公式，即可得出结论．
【解答】解：①（1﹣x）5展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C5r x r
∴展开式的偶次项系数为正，奇次项系数为负
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（a0+a2+a4）﹣（a1+a3+a5）
令x=﹣1得25=a0+a2+a4﹣（a1+a3+a5），即32=a0+a2+a4﹣（a1+a3+a5）
令x=0得a0=1，
∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=31，故①正错误；
②因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，所以结论不成立；
③因为sin（θ﹣）=，所以cos（﹣2θ）=1﹣2sin2（θ﹣）=，正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用二项展开式的通项公式判断项的符号；利用赋值法求展开式的系数和，考查垂直于同一平面的两个平面的位置关系，属于中档题．
6. 《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）
A．18 B．20 C. 21 D．25
参考答案：
C
由题意设从第二天开始，每一天比前一天多织尺布，则，解得，所以，故选C. 7. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，
B
略
8. 已知数列的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2
解析：若a n ，a n+1，a n+2（n∈N+
）成等比数列，则a n+12=a n a n+2成立，
当a n=a n+1=a n+2=0时，满足a n+12=a n a n+2成立，但a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列不成立，‘
故a n，a n+1，a n+2（n∈N+）成等比数列是“a n+12=a n a n+2”的充分不必要条件，故选：A
【思路点拨】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
9. 在三棱锥D-ABC中，AC=BC=CD=2，CD⊥平面ABC,
.若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图
的面积为（）
A B 2
C D
参考答案：
A
略
10. 已知，函数，若实数满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，则f（x）的对称中心坐标
是
．
参考答案：
考点：正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：先将函数y=sin2x+mcos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案．
解答：解：由题意知y=sin2x+mcos2x=sin （2x+φ），
当x=时函数y=sin2x+mcos2x取到最值±，将x=代入可得：sin（2×）+mcos（2×）==±，解得m=1．
故函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），由2x+=kπ，k∈z，可得 x=，k∈z，
其对称中心为，
故答案为．
点评：本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，属于中档题．
12. 设向量，且的夹角为，则m= ．
参考答案：
﹣1
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量的数量积，列出方程，即可求出m的值．
【解答】解：向量，且的夹角为，
则，
根据公式得：
，
解得m=﹣1．
故答案为：﹣1．
13. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若3，a7，a5也成等差数列，则S17．
参考答案：
51
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列通项公式求出a1+8d=3．再由=17（a1+8d），能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，3，a7，a5也成等差数列，
∴2（a1+6d）=3+（a1+4d），
a1+8d=3．
=17（a1+8d）=51．
故答案为：51．
【点评】本题考查等差数列的第17项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14. 已知△ABC的周长为，面积为，且，则角C 的值为
．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理得出a+b=，结合周长得出c 和a+b
，根据面积公式得出ab ，利用余弦定理计
算cosC ．
【解答】解：∵，∴a+b=．
∵a+b+c=，∴，解得c=1．∴a+b=．
∵S=，∴ab=．
∴cosC===．
∴C=．
故答案为．
15. 执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．参考答案：-1
【考点】EA：伪代码．
【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，
根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．
【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求
f（x）=的值，
当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；
当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；
综上，x的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．
16. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，P为双曲线C上异于顶点的一动点，直线PA1斜率为k1，直线PA2斜率为k2，且k1k2=1，又△PF1F2内切圆与x轴切于点（1，0），则双曲线方程为．
参考答案：
x2﹣y2=1
考点：双曲线的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|﹣|PF2|=（PB+BF1）﹣（PC+CF2），由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=1，进而得到双曲线方程．
解答：解：设点P是双曲线右支上一点，
∴按双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，
若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．
设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：
则有：PF1﹣PF2=（PB+BF1）﹣（PC+CF2）
=BF1﹣CF2=AF1﹣F2A
=（c+x）﹣（c﹣x）
=2x=2a，即x=a
所以内切圆的圆心横坐标为a．
由题意可得a=1，
顶点A1（﹣1，0），A2（1，0），
设P（m，n），则m2﹣=1，即n2=b2（m2﹣1），
k1k2=1，可得?=1，
即有=b2=1，
即有双曲线的方程为x2﹣y2=1．
故答案为：x2﹣y2=1．
点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．
17. 设(其中为自然对数的底数)，则=
.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知函数f（x ）=sin（2x+）+cos（2x+）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f
（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin[（2x+）+]=2sin
（2x+）=2cos2x．
∴f（）=2cos（2×）=2cos=1；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，
∵ω=2，
∴周期T=π，
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z
【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．
19. ( 本小题满分14分)如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且
，.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）设椭圆方程为，由题意
又∵即
∴故椭圆方程为…………4分
（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故……………6分
于是设直线为，由得
…………8分
∵又
得即
由韦达定理得
解得或（舍）经检验符合条件
则直线的方程为:………14分
20. （本小题满分12分）已知数列各项均为正数，满足．（1）计算，并求数列的通项公式;
（2）求数列的前项和．
参考答案：
21. 某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
解：（Ⅰ）2袋食品都为废品的情况为：
①2袋食品的三道工序都不合格；
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格
；
③两袋都有两道工序不合格，
所以2袋食品都为废品的概率为．
（Ⅱ）由题意可得ξ=0，1，2，3，
，
，
P（ξ=3）==，故 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣
P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，得到ξ的分布列如下：
∴．
略
22. 已知函数．
(1)若，求证：f(x)在区间是增函数；
(2)设，若对任意的，恒有，求实数m的取值范围．
参考答案：
（1）见解析；（2）
【分析】
（1）当时，，求函数的导数并判断单调性，说明在区间是增函数；
（2）首先判断函数的单调性，并且判断函数只有最小值，无最大值，若满足条件，即，转化为求的最小值，并且用表示.
【详解】（1）当，．则.
当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.
所以，当时，.
所以在区间是增函数. （2）由题，则
令，则为上的增函数.
当；当；
所以必然存在，使得，即.
当，，即，所以减函数.
当，，即，所以为增函数.
所以，无最大值.
此外，因为，所以.
令，则就有.
又，当，，所以为上的增函数.
因为，且，.所以必然有.
此时，.
又任意的，恒有，
所以，即.
【点睛】本题考查导数与函数的单调性，极值和最值的综合运用，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，属于难题，本题第二问的难点是求的最小值并且用表示，用到构造函数，，判断的单调性，从而得出，从而得到函数的最小值并且用表示.。