信号与系统卷积定理
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j
e
j
4 Sa 2 2 Sa
解:( 2)法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa , g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t
2
f (t )
) )
E
0
2
2
2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一 :利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二:利用频移性质
解法三:用时域微分性质
(本题不是分段线性信号)
解法一 :
2
时域
1
t cos
2
F ( j )
f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1
e j
1
1
1 2
e j
e
2
1
1 j
e
e j
j 2
e
j 2
第八节 卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪 畐 F1( ) , f 2( t ) 揪 畐 F2( )
则:
时域卷积定理
f 1( t ) * f 2( t ) 揪 畐 F1( )譿2( ) F
频域卷积定理
f1( t )拙2( t ) f 井 1 2p F1( w ) * F2( w )
F F g 2 ( t ) F g 2 ( t ) 4 Sa 2 2 Sa
(3)法 时域积分 (4)法 时域微分
补充3.2:已知f(t)=g2(t)cos(500t),求其频谱函数
解:
(1) 法 利 用 傅 里 叶 变 换 线 性 性 和 频 移 性 求
j 500 t
即 g 2 ( t ) 2 Sa
j 500 t
2 Sa 500 , g 2 ( t ) e
2 Sa 500
F Sa 500 Sa 500
解:( 2)法
利用信号的调制作用求
f ( t ) cos( 500 t ) g 2 ( t )
举例
书例3-9 已知三角脉冲信号
(t (t 2 E (1 t ) f (t ) 0
2
) )
E
f (t )2ຫໍສະໝຸດ 022
t
求其频谱F(w).
解法一 : 应用时域卷积定理 解法二:用时域积分性质 解法三:用时域微分性质
书例3-8
已知余弦脉冲信号
t E cos( ) f (t ) 0
频域
( )
t
t F cos
( )
0
0
w
乘 以
卷 积
E
G (t )
E
t
G (w )
2
0
2
2
等 于
2
0
2
4
w
等 于
f (t )
E
0
2
E
F (w )
2
t
3
0
3
5
w
即: 而:
f ( t ) = G ( t ) co s( G (t ) 揪
FT
pt t
) wt 2 )
畐 G(
FT
)=E tSa (
cos(
t
pt t
) ( w
FT
) ( w
)
\ G ( t ) cos(
)揪
畃
1 2p
G ( w ) * [ d( w +
p t
) + d( w -
p t
)]
=
Et
轾 轾 p t Et p t Sa 犏 + ) + (w Sa 犏 (w ) 犏 犏 2 t 2 2 t 2 臌 臌
化简得:
F (w)
2 E
cos(
w 2
)
w 2 1 ( )
提醒:频域卷积定理应用的场合
傅里叶变换性质应用举例
补充例子3.1:
2
求图示信号
f(t)
f ( t )的 F( )
-2
-1
0
1
2
t
解:( 1)法
按定义求傅里叶变换
1 f (t ) 2 0 1 t 2 1 t 1 其它
解:利用傅里叶变换的
e
t
2
2
2
即
e
t
2 1
2
f ( t ) F ( ) F ( t ) 2 f ( )
F ( ) 2
e
f ( t ) cos( 500 t ) g 2 ( t )
1
e 2
1
j 500 t
e
j 500 t
g
2
(t )
j 500 t
g 2
2
(t ) e
j 500 t
g 2 (t ) e
g ( t ) Sa 2
g 2 (t )e
F 1 2
G 2 (
500 ) G 2 ( 500 )
g 2 ( t ) 2 Sa
F Sa 500 Sa 500
补充例子3.3:
求信号 f ( t ) 2 1 t
2
的 F( )
对称性求