直线的方程复习

设所求直线的方程为x 2y 4 (x y 2) 0, 即(1 )x ( 2)y 4 2 0. 由4 2 ) 3 1 ) 0, 得 11, ( ( 代入并化简得4x 3y 6 0.
例2 : ABC的两个顶点 A( 3,0), B( 2,1)ABC的重心 为G ( 1,1)求AB边中线所在直线的方程
x 2y 4 0 解方程组 ,得直线l 和l 的交点坐标为(0, 2) . 1 2 x y 2 0
设所求直线的方程为4x 3y m 0. 将点(0, 2)代入, 得m 6. 所以所求直线的方程为4x 3y 6 0.
例1、求经过两直线 l1 : x 2 y 4 0和 l 2 : x y 2 0的交点，且与直线 l 3 : 3 x 4 y 5 0垂直的直线方程。
O
( , ) k 0 2
π 2
π
03 2a源自直线方程五种形式已知条件 标准方程 斜率k和y轴 y kx b 斜截式 上的截距b 斜率k和一点 y y k ( x x ) 点斜式 0 0 P0 ( x0 , y0 ) 名称 使用范围
不包括y轴及平 行于y轴的直线 不包括y轴及与 y轴平行的直线
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1)
P2 (x2,y2)
o | P1P2 | ( x 2 x1 ) ( y 2 y 1 )
2 2
x
l : Ax By C 0
y
R
d
| Ax0 By0 C | A B
2 2
·
Q
· ·
y l1
P O l2 x
S
d
·
P x0 , y0
例4、 过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线
y 1 3 x 的斜率的2倍的直线方程.
变式1、过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直
线y
1 3
x 的倾斜角的2倍的直线方程
变式2、过点A(2,-3),并且它的倾斜角与直线
y 1 3 x 的倾斜角互补的直线方程
1、l 1 // l 2 k 1 k 2或k 1 , k 2都不存在 且b 1 b 2
P1 ( x1 , y1 ) 和 y y1 x x1 不包括坐标轴 点 两点式 点 P2 ( x2 , y2 ) y2 y1 x2 x1 以及与坐标轴
平行的直线
在x轴上的截 截距式 距a,即点(a , 0) 在y轴上的截 距b,即点(0, b)
x y 1 a b
Ax By C 0
倾斜角：x轴正方向与直线向上方向之间所成的角 y 倾斜 0 180 角 y y
k
2
1
x2 x1
( x1 x2 )

x
k
k tan
π π [0, ) ( , π) 2 2
[0, ) k 0 0 2 k不存在 2

π 2
点P（x, y）关于直线 y x m对称的点的坐标是 ________
例4.已知直线l1: x+y+2=0, l2: 3x+2y-9=0,求： (3,0) (1)点P(-2,1)关于直线l1的对称点的坐标为_______
(4,5) (2)点P(-2,1)关于直线l2的对称点的坐标为_______
y
l1 l2
O
x
2、l 1 l 2 k 1 k 2 -1或k 1 , k 2 中一个为 0，一个不存在
y l2 l1 y
l1
l2
α1
O
α2
x
O
x
l1 : A1 x B1 y C1 0 l 2 : A2 x B2 y C 2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C 2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2
2.若直线l1 ：2x-5y+20=0和直线l2:mx-2y -10=0与 -5 两坐标轴围成的四边形有外接圆则m的值______
例1、求经过两直线 l1 : x 2 y 4 0和 l 2 : x y 2 0的交点，且与直线 l 3 : 3 x 4 y 5 0垂直的直线方程。
A1 B1 A2 B2
l1与l2平行 l1与l2重合 l1与l2 相交 l1 l 2
A1 A2 B1 B2 0
两条直线的交点:
A 1 x B 1 y C1 0 A 2x B 2y C2 0
(1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交; (2)若方程组无解, 则l1// l2; (3)若方程组有无数解, 则l1与l2重合.
过两直线交点的
y
直线系方程
l1
l2
O
x
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
过l1与l2交点的直线系方程：
（A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 ） （ ）
1、平行直线系方程：与定直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程为Ax + By + m = 0 ( m 为参数 ) 2、垂直直线系方程：与定直线 Ax + By + C = 0
(3)直线x-2y+4=0关于直线l1 的对称直线
2x-y+6=0 方程为_____________
(4)直线x-2y+4=0关于直线l2 的对称直线
19x-22y+34=0 方程为_____________
例 5、一条光线从 A(3,2)出发，经 x 轴反射，反射光线 过点 B(-1,6),求入射光线和反射光线所在直线方程。
2、经过两点(1,8)和点 (4, 2) 的直线 l的 y2 x4 两点式方程________________ 10 5 y 2x 6 斜截式方程________________ x y 1 截距式方程________________ 3 6 2x y 6 0 一般式方程________________
( x, y ) 点P（x, y）关于x轴对称的点的坐标是 ________
点P（x, y）关于y轴对称的点的坐标是( x, y ) ________
点P（x, y）关于原点对称的点的 坐标是( x , y ) ________
( 点P（x, y）关于点（ , b）对称的点的坐标是2a x ,2b y ) a ________
x1 x 2 x 3 x0 3 y y 1 y 2 y 3 0 3
B（x2,y2)
O
M（x0,y0)
x
A（x1,y1)
1.若直线l1：mx+2y+6=0和直线l2:x+(m-1)y+m -1=0 -1 (1)l1//l2则m的值是______.
2 (2)l1⊥l2则m的值是______. 3
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
O
x
d
C 2 C1 A B
2 2
注意: 运用此公式时直线 方程要化成一般式,并且X、 Y项的系数要对应相等.
1.已知点P(1，2)，直线l: y=1-2x，则： 3 5 5 (1)点P到直线l的距离为_________，
5 10 (2)直线l与直线4x+2y-3=0的距离为_________
0
2

3
例2、直线 x
5 3 y 2 0 的倾斜角为______ 6
变式1：直线 sin x 3 y 2 0 ( R )
5 [0, ] [ , ) 的倾斜角的取值范围为__________ 6 6

变式2：直线 2 x cos y 2 0 ( [ , ]) 6 3
C
. A
变式1:BC边上中线的方程
. .G
y
B . O x
变式2:BC边上高所在直线的方程 变式3:BC边上垂直平分线的方程
.
例3、求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线 2x+3y-1=0 2x+3y+12=0平行； (2)经过点Q(-1，3)且与直线 2x-y+5=0 x+2y-1=0垂直； (3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上 截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0 (4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、 B(4,-5)距离相等； 4x+y-6=0或3x+2y-7=0 (5) 经过点N(-1,3)且在轴的截距与 它在y轴上的截距的和为零. 3x+y=0或x-y+4=0
不包括过原点 的直线以及与 坐标轴平行的 直线
A,B不同时为零
一般式
过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2
x=x1； 时，直线垂直于 x 轴，方程为
y=y1 ； (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为
(3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x=0 ；
垂直的直线系方程为Bx －Ay + m = 0 ( m 为参数 )
3、中心直线系方程：过相交直线 A 1x + B 1y + C 1 = 0 和 A 2x + B 2y+ C 2 = 0 的交点的直线系方程为：
A 1x + B 1y + C 1 + ( A 2x + B 2y + C 2 ) = 0 __________________________________________
x
1 k 1 7
C（0，-1）
1、经过点(2,1)，且斜率为 3 的直线 l 的 y 1 3 ( x 2) 点斜式方程________________ y 3x 2 3 1 斜截式方程__________________ 3x y 2 3 1 0 一般式方程__________________
(为参数, 不包括直线A2 x B2 y C2 0) __________________________________________
y
A(x1，y1)
中点
P(x，y) B(x2，y2)
O y
x C（x3,y3)
重 心
x1 x2 x 2 y1 y 2 y 2
2x+y-4=0 (3)过点P且与直线l平行的直线方程为__________， x-2y+3=0 (4)过点P且与直线l垂直的直线方程为__________ 3x-4y+5=0 或x=1 (5)过点P且与原点距离为1的直线方程为__________ x+2y-5=0 (6)过点P且与原点距离最远的直线方程为__________
[ , ] 的倾斜角的取值范围为___________ 4 3


例3、如图，A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角。 思考: 过A点的直线 L与线段BC有交点, 求L斜率k的变化范 y 围
B(-4，1),
O
A(3，2)
点P（x, y）关于直线 x对称的点的坐标是 ( y , x ) y ________
对称问题：
( 点P（x, y）关于直线y x对称的点的坐标是 y , x ) ________ ( y m, x m ) 点P（x, y）关于直线y x m对称的点的坐标是 ________ ( y m , x m
两点间的距离 P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
(1) x1≠x2, y1=y2
y
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
o
P2(x2,y2)
x
| P1 P2 || y2 y1 |
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
y=0 (4)若 x ≠x ，且 y ＝y ＝0 时，直线即为 x 轴，方程为
1 2 1 2
.
例1、已知直线l的倾斜角为α，斜率为k根据下 列条件，求斜率的值或范围：
(1) [120 ,150 ]
0 0
3 k [- 3， ] 3
( 2) [ , ] 6 4
3 k [ ,) ( ,1] 3