四川省成都市高新实验中学2022年数学九上期末检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a AO β=
C ．tan BC a β=
D ．cos a BD β= 2．关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212
y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（ ）
A ．1142t <<
B ．114t -<≤
C ．1122t -≤<
D ．112
t -<< 3．抛物线y=（x+1）2+2的顶点（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（2，1）
C ．（1，2）
D ．（﹣1，﹣2）
4．抛物线2(1)2y x =-+-的顶点到x 轴的距离为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．2
D ．3
5．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x 尺，则根据题意，可列方程（ ）
A ．222(4)(2)x x x +++=
B ．222(4)(2)x x x -+-=
C ．222(4)(2)x x x -++=
D ．222(4)(2)x x x ++-= 6．对于反比例函数y ＝﹣3x ，下列说法正确的有（ ） ①图象经过点（1，﹣3）；
②图象分布在第二、四象限；
③当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；
④点A （x 1，y 1）、B （x 1，y 1）都在反比例函数y ＝﹣
3x 的图象上，若x 1＜x 1，则y 1＜y 1． A ．1个 B ．1个 C ．3个 D ．4个
7．下列语句所描述的事件是随机事件的是（ ）
A ．经过任意两点画一条直线
B ．任意画一个五边形，其外角和为360°
C ．过平面内任意三个点画一个圆
D ．任意画一个平行四边形，是中心对称图形
8．sin30的倒数是（ ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．32
9．模型结论：如图①，正ABC ∆内接于O ，点P 是劣弧AB 上一点，可推出结论PA PB PC +=.
应用迁移：如图②，在Rt EDG ∆中，90EDG ∠=，3DE =，23DG =，F 是DEG ∆内一点，则点F 到DEG ∆三个顶点的距离和的最小值为（ ）
A 17
B ．5
C ．33
D 39
10．一元二次方程240x -=的解是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．2±
D ．2±
11．在同一直角坐标系中，函数y=k x
和y=kx ﹣3的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．在Rt △ABC 中，∠C=90°
，∠A=α，AC=3，则AB 的长可以表示为（ ） A ．3cos α B ．3sin α C ．3sinα D ．3cosα
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于x 的分式方程721511
x m x x -+=--有增根，则m 的值为__________． 14．定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝1（a ≠1）满足a +b +c ＝1．那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2+bx +c ＝1（a ≠1）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论：①a ＝c ，②a ＝b ，③b ＝c ，④a ＝b ＝c ，正确的是_____（填序号）．
15．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为_____．
16．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是__________．
17．如图，在⊙O 内有折线DABC ，点B ，C 在⊙O 上，DA 过圆心O ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC ＝_____．
18．如图抛物线2
23y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE DF +的最小值为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，1．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，2．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，
再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．
（1）用适当的方法写出点A （x ，y ）的所有情况．
（2）求点A 落在第三象限的概率．
20．（8分）解方程：
（1）x 2﹣4x +2＝0；
（2）(1)(2)4x x -+=
21．（8分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？
22．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x 2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣52 ﹣2 ﹣1 0 1 2 52
3 … y … 3 5
4 m ﹣1 0 ﹣1 0 54 3 …
其中，m= ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有 个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x|=0有 个实数根；
②方程x 2﹣2|x|=2有 个实数根.
③关于x 的方程x 2﹣2|x|=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．
23．（10分）2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．
24．（10分）如图，在Rt ABC 中，ACB 90,CD AB ∠=︒⊥于点D .若AD 4,BD 2==，求tanA 的值.
25．（12分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC 斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB ＝2米，若梯子底端C 的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A'D 的长是多少米？（结果保留根号）
26．如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC ．
（1）求剪出的扇形ABC 的周长．
（2）求被剪掉的阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确；
B 、在Rt △AD
C 中，cos ∠ACD=DC AC , ∴cos β=2a AO ,∴AO=2cos a ，故B 选项错误；
C 、在Rt △BC
D 中，tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BC a
∴BC=atan β，故C 选项正确； D 、在Rt △BCD 中，cos ∠BDC=
DC DB , ∴ cos β=a BD ∴cos a BD β=，故D 选项正确. 故选：B.
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
2、D
【分析】二次函数的图象过点(1,0)-，则102a b -+=，而2t a b =+，则216t a -=，226
t b +=，二次函数的图象的顶点在第一象限，则02b a ->，2
1024b a
->，即可求解． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2102
ax bx ++=有一个根是﹣1， ∴二次函数212y ax bx =++
的图象过点(1,0)-， ∴102
a b -+=， ∴12
b a =+，2t a b =+， 则216t a -=，226
t b +=， ∵二次函数212
y ax bx =++的图象的顶点在第一象限， ∴02b a ->，2
1024b a
->， 将216t a -=，226
t b +=代入上式得： 22
602126
t t +>-⨯，解得：112t -<<，
222(
)1602124()6t t +->-，解得：12
t 或13t <<， 故：112t -<<
， 故选D ．
【点睛】 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
3、A
【解析】由抛物线顶点坐标公式[]y=a （x ﹣h ）2+k 中顶点坐标为（h ，k ）]进行求解．
【详解】解：∵y=（x+1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），
故选：A ．
【点睛】
考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x ﹣h ）2+k 中，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为直线x=h ．
4、C
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x 轴的距离.
【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x 轴的距离为2.
故选C.
【点睛】
本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.
5、B
【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
∴可列方程为（x-4）2+（x-2）2=x 2，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键．
6、C
【解析】根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：①∵将x=1代入y=- y＝﹣3
x
得，y=-3
∴图象经过点（1，﹣3）；
②③∵k=-3,图象分布在第二、四象限，在每个分支上，y随x的增大而增大；
④若点A在第二象限，点B在第四象限，则y1＞y1．
由此可得①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，理解熟记其性质是解决本题的关键．
7、C
【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误；
B、任意画一个五边形，其外角和为360°，是必然事件，故此选项错误；
C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误；
D、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了随机事件的定义，有可能发生有可能不发生的时间叫做随机时间，正确掌握相关性质是解题关键．8、B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin30=1 2
故sin30的倒数是2，
故选B．
【点睛】
此题主要考查倒数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
9、D
【分析】在△DEG右侧作等边三角形DGM，连接FM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为线段EM，根据题意求出EM即可.
【详解】解：在△DEG右侧作等边三角形DGM，过M作ED的垂线交ED延长线于H，连接FM，EM，
由模型可知DF+FG=FM ，∴DF+EF+FG 的最小值即为EF+FM 的最小值，即线段EM ，
由已知易得∠MDH=30°，DM=DG=23
∴在直角△DMH 中，MH=123()()2222=2333DM MH --=， ∴EH=3+3=6，
在直角△MHE 中()22226339EM EH MH =
+=+=
【点睛】 本题主要考查了学生的知识迁移能力，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键.
10、D
【分析】这个式子先移项，变成x 2=4，从而把问题转化为求4的平方根．
【详解】移项得，x 2=4
开方得，x=±
2， 故选D ．
【点睛】
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且
a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
11、B
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k ＞0和k ＜0两种情况讨论；当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k ＞0时，y=kx ﹣3与y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B选项符合，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．12、A
【解析】Rt∆ABC中，∠C=90°，∴cos A=AC AB
，
∵Aα
∠=，AC=3，
∴cosα=3
AB
，
∴AB=3
cosα
，
故选A.
【点睛】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数值是余弦值的知识是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=1，
故答案为1.
14、①
【分析】由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于1，再由a+b+c＝1，把表示出b代入根的判别式中，变形后即可得到a＝c．
【详解】解：∵方程有两个相等实数根，且a+b+c＝1，
∴b2﹣4ac＝1，b＝﹣a﹣c，
将b＝﹣a﹣c代入得：a2+2ac+c2﹣4ac＝（a﹣c）2＝1，
则a＝c．
故答案为：①．
【点睛】
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，一元二次方程中根的判别式大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于1，方程无解．
15、13
【分析】利用因式分解法解方程，得到14x =，29x =，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.
【详解】解：∵213360x x -+=， ∴(4)(9)0x x --=， ∴14x =，29x =， ∵369+=，
∴29x =不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：36413++=； 故答案为：13. 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系. 16、
23
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，1，2，4，5，5， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：42=63
． 故答案为：23
． 【点睛】
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键． 17、1
【分析】作OE ⊥BC 于E ，连接OB ，根据∠A 、∠B 的度数易证得△ABD 是等边三角形，由此可求出OD 、BD 的长，设垂足为E ，在Rt △ODE 中，根据OD 的长及∠ODE 的度数易求得DE 的长，进而可求出BE 的长，由垂径定理知BC =2BE 即可得出答案．
【详解】作OE ⊥BC 于E ，连接OB ．
∵∠A ＝∠B ＝60°， ∴∠ADB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形， ∴BD ＝AD ＝AB ＝12， ∵OA ＝8， ∴OD ＝4， 又∵∠ADB ＝60°， ∴DE ＝
1
2
OD ＝2， ∴BE ＝12﹣2＝10， 由垂径定理得BC =2BE =1 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了圆中的弦长计算，熟练掌握垂径定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18、
32
2
【分析】连接AC ，交对称轴于点P ，先通过解方程2023x x =+-，得()30A -,
，()10B ,，通过0x =，得()0,3C -，
于是利用勾股定理可得到AC 的长；再根据三角形中位线性质得1
2DE PC =
，12
DF PB =，所以()1
2
DE DF PB PC +=
+；由点P 在抛物线对称轴上，A 、B 两点为抛物线223y x x =+-与x 轴的交点，得PA PB =；
利用两点之间线段最短得到此时PB PC +的值最小，其最小值为AC 的长，从而得到DE DF +的最小值． 【详解】如图，连接AC ，交对称轴于点P ，则此时PC PB +最小．
∵ 抛物线223y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，
∴当0y =时，2023x x =+-，解得：13x =-，21x =，即()30A -,
，()10B ,， 当0x =时，3y =-，即()0,3C -，
∴3AO CO ==， ∴2232AC AO CO =
+=
∵ 点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点， ∴ 1
2DE PC =
，12
DF PB =， ∴()1
2
DE DF PB PC +=
+， ∵点P 在抛物线对称轴上，A 、B 两点为抛物线2
23y x x =+-与x 轴的交点， ∴PA PB =，
∴PB PC PA PC AC +=+=，
∴此时PB PC +的值最小，其最小值为32 ∴DE DF +的最小值为：
32
2
． 32
． 【点睛】
此题主要考查了抛物线与x 轴的交点以及利用轴对称求最短路线，用到了三角形中位线性质和勾股定理．正确得出P 点位置，以及由抛物线的对称性得出PA PB =是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（1，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（1，1），（﹣7，2），（﹣1，2），（1，2）；（2）
2
9
.
【分析】列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率． （1）直接利用表格或树状图列举即可解答．
（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A 落在第三象限共有两种情况，再除以点A 的所有情况即可．
【详解】解：（1）列表如下：
点A （x ，y ）共9种情况．
（2）∵点A 落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况， ∴点A 落在第三象限的概率是2
9
．
20、（1）1222==x x （1）x 1＝﹣3，x 1＝1． 【分析】（1）用配方法即可得出结论； （1）整理后用因式分解法即可得到结论． 【详解】（1）∵x 1﹣4x +1=0， ∴x 1﹣4x +4=1， ∴(x ﹣1)1=1，
∴1222x x == （1）∵(x ﹣1)(x +1)=4， ∴x 1+x ﹣6=0， ∴(x +3)(x ﹣1)=0， ∴x 1=﹣3，x 1=1． 【点睛】
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 21、两个小球的号码相同的概率为
13
. 【解析】【试题分析】利用树状图求等可能事件的概率，树状图见解析. 【试题解析】
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，这两个小球的号码相同的有2情况，
∴这两个小球的号码相同的概率为：21 63 ．
22、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜1．
【解析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，
即m=1，
故答案为：1；
（2）
如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；
②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是-1＜a＜1，
故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．
23、1 3
【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA ，BB ，CC ， ∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13
． 【点睛】
考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．
24、
2
【分析】（1）要求tanA 的值，应该要求CD 的长.证得∠A=∠BCD ，然后有tanA= tan ∠BCD ，表示出两个正切函数后可求得CD 的长，于是可解.
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ， ∴tanA= tan ∠BCD ，
∴
=CD BD
AD CD , ∴2
4CD CD
=,
∴CD=,
∴tanA= 42
=
. 【点睛】
本题考查了直角三角形三角函数的定义，利用三角函数构建方程求解有时比用相似更简便更直接．
25、此时梯子的顶端与地面的距离A'D 米
【分析】由Rt△ABC求出梯子的长度，再利用Rt△A'DC，求得离A'D的长. 【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠BCA＝45°，
∴AB＝BC＝2米，
∴2222
2222
AC BC AB
=+=+=米，
∴A'C＝AC＝22米，
∴在Rt△A'DC中，A'D＝A'C•sin60°＝22×
3
2
＝6，
∴此时梯子的顶端与地面的距离A'D的长是6米．
【点睛】
此题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键，题中注意：梯子的长度在两个三角形中是相等的.
26、（1）（102+52）cm；（1）50πcm1．
【分析】（1）连接BC，首先证明BC是直径，求出AB，AC，利用弧长公式求出弧BC的长即可解决问题．
（1）根据S阴＝S圆O﹣S扇形ABC计算即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接BC
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴BC＝10cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝2
∴BC＝π，
∴扇形ABC的周长＝（）cm．
（1）S阴＝S圆O﹣S扇形ABC＝π•10150πcm1．
【点睛】
本题考查了弧长计算和不规则图形的面积计算，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．。