(山东专用)版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案(含解析)-

第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
知识点二圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
重要结论
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点． 2．过圆x 2
＋y 2
＝r 2
上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
．
过圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2
．
3．过圆x 2
＋y 2
＝r 2
外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
．
4．直线与圆相交时，弦心距d ，半径r ，弦长的一半12l 满足关系式r 2＝d 2
＋(12
l )2．
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是( CD )
A ．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交
B ．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2
＋y 2
＝1相交”的必要不充分条件
C ．过圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，
B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
D ．圆C 1：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有2条 题组二 走进教材
2．(必修2P 132A5改编)直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝
10 ．
[解析] 圆心的方程可化为(x －1)2
＋(y －2)2
＝(5)2， 又圆心(1,2)到直线l 的距离为
102
， ∴|AB |＝25－
10
2
2
＝10．
题组三 考题再现
3．(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝__－2__，r ＝
5 ．
[解析] 解法一：设直线2x －y ＋3＝0为l ， 则AC ⊥l ，又k l ＝2，∴k AC ＝
m ＋1
0＋2＝－12
， 解得m ＝－2，∴C (0，－2)，
∴r ＝|AC |＝0＋2
2
＋－2＋1
2
＝5．
解法二：由题知点C 到直线的距离为|－m ＋3|
5
，
r ＝|AC |＝22＋m ＋1
2
，
由直线与圆C 相切得22
＋m ＋12
＝|－m ＋3|5
，
解得m ＝－2，∴r ＝22
＋－2＋1
2
＝5．
4．(2019·怀柔二模)若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( C ) A ．21 B ．19 C ．9
D ．－11
[解析] 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)
2
＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32
＋42
＝5，由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C ．
5．(2020·四川资阳、遂宁等七市联考)圆x 2
＋y 2
＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y ＋2＝0的距离为1的点共有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
[解析] 与直线l 距离为1的直线分别为l 1：x ＋y ＝0，l 2：x ＋y ＋22＝0，又圆C ：x
2
＋y 2
＋2x －2y －2＝0，即(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝4的圆心C (－1,1)到l 1、l 2的距离分别为d 1＝0<r 、
d 2＝2＝r (r 为圆C 的半径2)，∴l 1、l 2分别与圆C 相交、相切，故选C ．
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 直线与圆的位置关系的判定——自主练透
例1 (1)(2019·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2
＋y 2
＝1有
公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( D )
A ．(－3，3)
B ．[－3，3]
C ．(－
33，3
3
) D ．[－
33，3
3
] (2)(多选题)(2020·山东日照一中期中)已知ab ≠0，O 为坐标原点，点P (a ，b )是圆x
2
＋y 2
＝r 2
外一点，过点P 作直线l ⊥OP ，直线m 的方程是ax ＋by ＝r 2
，则下列结论正确的是
( AD )
A ．m ∥l
B ．m ⊥l
C ．m 与圆相离
D ．m 与圆相交
[解析] (1)数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于或等于半径1，即|2k |1＋k
2
≤1，解得－33≤k ≤3
3
，故选D ．
(2)∵点P (a ，b )在圆x 2
＋y 2
＝r 2
外，∴a 2
＋b 2
>r 2
，又直线l 的方程为y －b ＝－a
b
(x －a )，
即ax ＋by ＝a 2
＋b 2
，又m ：ax ＋by ＝r 2
，∴m ∥l ，又圆心O 到直线m 的距离d ＝r 2
a 2＋b
2<r ，∴m
与圆相交，故选AD ．
名师点拨 ☞
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 〔变式训练1〕
(多选题)(2020·湖南五市十校联考改编)已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线3x －4y ＋
m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →
＝0，则实数m 的值可以是( BCD )
A ．－12
B ．0
C ．2
D ．5
[解析] 设P (x ，y )，则PM →＝(－1－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )，由PM →⊥PN →得x 2＋y 2
＝1，因P 在直线3x －4y ＋m ＝0上，故圆心到直线的距离d ＝|m |32
＋4
2
≤1，故m ∈[－5,5]，故选B 、
C 、
D ．
考点二 直线与圆的综合问题——多维探究
角度1 圆的切线问题
例2 (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1的切线，则切线方程为( C ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0
D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0
(2)由直线y ＝x ＋1上的动点P 向圆C ：(x －3)2＋y 2
＝1引切线，则切线长的最小值为( C )
A ．1
B ．2 2
C ．7
D ．3
[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝4
3，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，
故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0．
(2)如图：切线长|PM |＝|PC |2
－1，显然当|PC |为C 到直线y ＝x ＋1的距离即3＋12＝22
时|PM |最小为7，故选C ．
[引申](1)若将本例(1)中“P (2,4)”改为“P (1＋22，1－2
2
)”，则切线方程为 x －y －2＝0 ．
(2)本例(1)中过切点的直线方程为__x ＋3y －5＝0__．
(3)本例(2)中切线长最小时切线的方程为 (4－7)x ＋3y －10＋7＝0或(4＋7)＋3y －10－7＝0 ．
角度2 圆的弦长问题
例3 (1)(2018·课标全国Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2
＋y 2
＋2y －3＝0交于A ，B 两点，
则|AB |＝ 2 2 ．
(2)(2019·河南中原名校联盟第三次联考)设圆x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线，过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( D )
A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0
B ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0
C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0
D ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0
[解析] (1)将圆x 2＋y 2＋2y －3＝0化为标准方程为x 2＋(y ＋1)2
＝4， 则圆心坐标为(0，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22
＝2，
∴|AB |＝2r 2
－d 2
＝222
－
2
2
＝22．
(2)圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4，由|AB |＝23知，圆心(1,1)到直线l 的距离为1，
当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝0时，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －0)，即kx －y ＋3＝0，由|k ＋2|
k 2＋1
＝1得k ＝－3
4
，此时直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，故选D ．
名师点拨 ☞
直线与圆综合问题的常见类型及解题策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 注：①过圆C 内一点P 的最短弦所在直线与PC 垂直，最长弦所在直线是PC ．②过圆C 外
P 作圆的切线，切点为A 、B ，则AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2020·吉林长春模拟)已知直线x ＋y ＝0与圆(x －1)2
＋(y －b )2
＝2相切，则
b ＝( C )
A ．－3
B ．1
C ．－3或1
D ．52
(2)(角度2)(2020·河北衡水中学调研)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆截直线x ＋ay ＋2＝0所得弦长的最小值等于( B )
A ．2 3
B ．4 3
C ．13
D ．213
[解析] (1)由圆心到切线的距离等于半径， 得|1＋b |12
＋1
2
＝2，∴|1＋b |＝2，
∴b ＝1或b ＝－3，故选C ．
(2)设圆心坐标P 为(a ，－2)，则r 2
＝(1－a )2
＋(3＋2)2
＝(4－a )2
＋(2＋2)2
，解得a ＝1，
r ＝5，所以P (1，－2)．又直线过定点Q (－2,0)，当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆
的性质可知弦长为2r 2
－PQ 2
＝225－13＝43，∴直线x ＋ay ＋2＝0被圆截得的弦长为4 3.故选B ．
考点三 圆与圆的位置关系——师生共研
例4 已知圆C 1：(x －a )2
＋(y ＋2)2
＝4与圆C 2：(x ＋b )2
＋(y ＋2)2
＝1相外切，则
ab 的最大值为( C )
A ．
6
2
B ．32
C ．94
D ．2 3
[解析] 由圆C 1与圆C 2相外切， 可得
a ＋b
2
＋－2＋2
2
＝2＋1＝3，
即(a ＋b )2
＝9，根据基本(均值)不等式可知ab ≤(a ＋b
2)2
＝94
，当且仅当a ＝b 时等号成立．故选C ．
[引申1]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． [解析] 由C 1与C 2内切，得a ＋b
2
＋－2＋2
2
＝1．
即(a ＋b )2
＝1，又ab ≤(
a ＋b
2)2
＝14
， 当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为1
4
．
[引申2]把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程． [解析] 把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程． 圆C 1：x 2
＋y 2
－2ax ＋4y ＋a 2
＝0， ① 圆C 2：x 2
＋y 2
＋2bx ＋4y ＋b 2
＋3＝0，
②
由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2
－a 2
＝0，
即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2
－a 2
＝0为所求公共弦所在的直线方程．
[引申3]将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝1的位置关系．
[解析] 由两圆存在四条公切线，故两圆外离，
故a ＋b
2
＋－2＋2
2
>3，
∴(a ＋b )2
>9，即a ＋b >3或a ＋b <－3．
∴圆心(a ，b )到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋b －1|
2>1，
∴直线x ＋y －1＝0与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝1相离． 名师点拨 ☞
如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2
、y 2
项得到．
〔变式训练3〕
(1)(2019·山东模拟)已知圆M ：x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2＝1的位置关系是( B )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
(2)若⊙O ：x 2
＋y 2
＝5与⊙O 1：(x －m )2
＋y 2
＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__4__．
[解析] (1)由垂径定理得(
a
2
)2＋(2)2＝a 2，解得a 2
＝4，又a >0，所以a ＝2，所以圆M ：
x 2＋(y －2)2＝4，所以圆M 与圆N 的圆心距d ＝
0－1
2
＋2－1
2
＝ 2.因为2－1<2<2
＋1，所以两圆相交．故选B ．
(2)由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心， ∴O 1A ⊥OA ．
又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称， ∴AB 为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． ∴|AB |＝2×
5×25
5
＝4．
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升 解决直线与圆问题中的数学思想
1．数形结合思想
例5 (2019·长春模拟)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2
相交于A 、B 两点，
O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( B )
A ．
33 B ．－
33
C ．±33
D ．－ 3
[解析] ∵S △AOB ＝1
2|OA ||OB |sin ∠AOB
＝12sin ∠AOB ≤12
． 当∠AOB ＝π
2
时，△AOB 面积最大．
此时O 到AB 的距离d ＝
22
． 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |
k 2＋1＝22
得k ＝－33．
2．转化与化归
例6 (2019·江西临川一中、南昌二中联考)已知两点A (－2,0)，B (2,0)以及圆C ：
(x ＋4)2＋(y －3)2＝r 2
(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足PA →·PB →＝0，则r 的取值范围是( B )
A ．[3,6]
B ．[3,7]
C ．[4,6]
D ．[4,7]
[解析] 由PA →·PB →＝0知PA ⊥PB ，即P 在以AB 为直径的圆D ：x 2＋y 2
＝4上，由题意可知圆C 与圆D 相交或相切，∴|r －2|≤42
＋32
≤r ＋2，解得3≤r ≤7.故选B ．
[引申]若将“PA →·PB →＝0”改为“PA →·PB →
<0”，则r 的取值范围为__(3,7)__． 名师点拨 ☞
根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，以形助数，使问题变得简单．——数形结合
将生疏、复杂、难解的问题通过变换化为熟悉、简单、易解的问题．——转化与化归 〔变式训练4〕
(2019·山西模拟)直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2
有且仅有1个公共点，则b 的取值范围是( B )
A ．{2，－2}
B ．(－1,1]∪{－2}
C ．[－1,1]
D ．[－1,1]∪{2，－2}
[解析] x ＝1－y 2
可化简为x 2
＋y 2
＝1(x ≥0)，所以它表示单位圆在y 轴及其右侧的半圆，其与y 轴的交点分别为(0,1)，(0，－1)．直线y ＝x ＋b 与直线y ＝x 平行，b 表示直线y ＝x ＋b 的纵截距，将直线y ＝x 上下平移，可知当b ∈(－1,1]时，直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y
2
有一个交点；当直线与曲线在第四象限相切时，只有一个公共点，此时b ＝－ 2.综上，b 的取值范围是(－1,1]∪{－2}．。