九年级数学中考第二轮专题复习-第五讲开放型问题 试题

中考数学中的开放型问题
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

开放探究性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探究性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比拟、概括、推理、判断等探究活动来确定所需求的结论或者条件或者方法，这类题主要考察学生分析问题和解决问题的才能和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比拟高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

给出问题的结论，让解题者分析探究使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。

它要求解题者擅长从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] △ABC内接于⊙O，
⑴当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？
⑵在满足⑴的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？
⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2
，即422==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上〔即O 为AB 的中点〕时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；
⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求〔如以下图所示〕。

[评注]：此题是一个简单的几何条件探究题，它打破了过去“假设——求证〞的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜测、推理、判断等探究活动的要求。

看似平常，实际上非常精彩。

[例2] 〔中考题〕如图，E 、D 是△ABC 中BC 边上的两点，AD ＝AE ，要证明△ABE ≌△ACD ，还应补充什么条件？
[解析]：这是一道条件开放题，解题关键是由AD ＝AE ，可 以得出∠1＝∠2，这样要证明三角形全等就已经具备了两个条
A
件。

在△ABE和△ACD中只需要再有一个条件，即可证明
△ABE≌△ACD。

于是可补充以下条件之一：
⑴BE＝CD〔SAS〕
⑵BD＝CE〔此时BE＝CD〕
⑶∠BAE＝∠CAD〔ASA〕
⑷∠BAD＝∠CAE〔此时∠BAE＝∠CAD〕
⑸∠B＝∠C〔AAS〕
⑹AB＝AC〔此时∠B＝∠C〕，……
[评注]：此题应充分利用已掌握的知识，从多个角度去考虑、分析，并大胆猜测，寻求尽可能多的方法。

[例3] 〔东城区〕在△ABC与△A/B/C/中，∠A=∠A/，CD和C/D/分别为AB边和A/B/边上的中线，再从以下三个条件：①AB=A/B/；②AC=A/C/；③CD=C/D/中任取两个为题设，另一个为结论，那么最多可以构成_____个正确的命题。

[解析]：根据题意，需分情况构造命题，再判断命题的真假性。

⑴假设∠A=∠A/，AB=A/B/，AC=A/C/，那么得△ABC≌△A/B/C/〔SAS〕，∴CD=C/D/〔全等三角形对应线段相等〕，可以构成真命题。

⑵当∠A=∠A/，AB=A/B/，CD=C/D/时，不能推得△ABC与△A/B/C/，或者△ADC与△A/D/C/全等，∴AC与A/C/不一定相等。

⑶同理，当∠A=∠A/，AC=A/C/，CD=C/D/时，也不能证明AB=A/B/成立。

∴真命题只有1个。

[评注]：此题是探究性问题颇具新意的一例，此题需在分类构造命题的根底上，对命题的真假性给出判断，以一种新的方式突出了对考生推理、思维才能的考察，题目新颖，问题开放，贴近根底。

[例4]在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，假如只给出条件“AB∥CD〞，那么
还不能断定四边形ABCD为平行四边形，给出以下6个说法：
①假如再加上条件“AD∥BC〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
②假如再加上条件“AB＝CD〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
③假如再加上条件“∠DAB＝∠DCB〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
④假如再加上条件“BC＝AD〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
⑤假如再加上条件“AO＝CO〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
⑥假如再加上条件“∠DBA＝∠CAB〞，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
其中正确的说法有〔〕
A．3个B．4个C．5个D．6个
[解析]：此题主要考察平行四边形的断定，但命题者别出心裁设计了一道给出结论和局部条件，让考生探究附加条件的各种可能性的开放型试题，解答这类选择题，一定要严格按照平行四边形的定义及断定定理，认真考察给出的6种说法。

说法①符合平行四边形的定义；说法②符合平行四边形的断定定理4；说法③由
AB ∥CD 和∠DAB ＝∠DCB ，可判断出AB ＝CD 或者AD ∥BC ，也正确；说法④可举出等腰梯形反例；说法⑤能证出BO ＝CO ，符合平行四边形的断定定理；说法⑥不符合平行四边形的断定定理。

应选B 。

[评注]：这是一道确定以附加条件为目的的开放型试题，命题者编拟此题，旨在让考生殊途同归，起到归纳总结之作用。

[题型设计与才能训练]
1．〔中考题〕一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解均
是⎩⎨
⎧==42y x 和⎩
⎨⎧-=-=42
y x , 试写出符合要求的方程组 (只要填写上一个即可)。

2．〔中考题〕：AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，假设使CB =BD ,那么还需
要添加什么条件___________〔填出一个即可〕。

3．如图，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形 ABCD 满足条件： 时，△PBA 的面积始终保持不变。

〔注： 只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形〕。

4．〔中考题〕242
--ax x 在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值是__________ 〔只需填一个〕。

⌒ ⌒ D
P A
C
B
5．如左图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形。

⑴使三角形的三边长分别为3、22、5 〔在图①中画一个即可〕；
⑵使三角形为钝角三角形且面积为4〔在图②中画一个即可〕。

6．〔中考题〕如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切
⊙O 于点A ，BC ∥AE ，
⑴求证：△ABC 是等腰三角形；
⑵设AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 是射线AE 上 的点，假设以A 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这
样的点有几个？并求AP 的长．
7．如图，△ABC ，P 是AB 边上一点，连结CP 。

⑴∠ACP 满足什么条件时，△ACP ∽△ABC ? ⑵AC ∶AP 满足什么条件时，△ACP ∽△ABC ？
[答案与提示]
1．⎩⎨
⎧==82xy x y ，⎩⎨⎧-+==4
222
x x y x
y ，…… 2．AB ⊥CD 或者
CA =DA 3．DC ∥AB 或者AD ∥BC 且AD ＝BC
E
A B
C
P
⌒ ⌒ 图① 图②
4．±23、±10、±5、±2 5．如下图 6．⑴略
⑵设P 点在AE 上，且所作的△ACP 与△ABC 相似，由AE ∥BC ，那么∠CAE ＝∠ACB ，关键在寻找第二个相等的角，过点C 作⊙O 的切线交AE 于P 1，即有∠AC P 1＝∠B ，过点C 作AB 的平行线交AE 于P 2，即有∠AC P 2＝∠BAC ，那么△A P 1C 、△A P 2C 都与△ABC 相似，这样的点有2个，即P 1，P 2两点，且A P 1＝
4
50
，A P 2＝8。

7．从图中可以看出△A PC 与△ABC 中∠A ＝∠A ，根据相似三角形断定定理，只需∠AC P ＝∠B ，或者AC ∶AP ＝AB ∶AC ，就有△A CP ∽△ABC 。

⑴∵∠A ＝∠A ，∴当∠AC P ＝∠B 时，△A CP ∽△ABC 。

⑵∵∠A ＝∠A ，∴当AC ∶AP ＝AB ∶AC 时，△A CP ∽△ABC 。

注意：探究过程要克制思维定势，逆向考虑应具发散性，所寻求的条件往往不止一种，探究过程要防止漏掉某种情形。

给出问题的条件，让解题者根据条件探究相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者者相应的结论的“存在性〞需要解题者进展推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。

它要求解题者充分利用条件进展大
胆而合理的猜测，发现规律，得出结论，这类题主要考察解题者的发散性思维和所学根本知识的应用才能。

[例1] 〔中考题〕将两块完全一样的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内， 答复以下问题：
⑴图中一共有多少个三角形？把它们一
一写出来；
⑵图中有相似〔不包括全等〕三角形 吗？假如有，就把它们一一写出来。

[解析]：⑴先看△ABC 中，一一数来一共有6个三角形，再加上△AFG ，一共七个三角形；⑵由于∠DAE ＝∠B ＝∠C ＝45°，∠ADE ＝∠B ＋∠1＝45°＋∠1＝∠BAE ，同理∠AED ＝∠CAD ，可得出△ADE ∽△BAE ∽△CDA 。

⑴一共有七个三角形，它们是：
△ABD 、△ABE 、△ABC 、△ADE 、△ADC 、△AEC 、△AFG 。

⑵有相似三角形，它们是：
△ADE ∽△BAE ，△BAE ∽△CDA ，△ADE ∽△CDA 〔或者△ADE ∽△BAE ∽△CDA 〕。

[评注]：此题为考生提供了广阔的探究空间，通过分析、判断，有利于学生创新意识的形成和思维才能的培养。

[例2] 如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点E 。

请你根据上述条件，
A B
C
D
E F
G
1
2
写出一个正确的结论〔所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母〕，并给出证明〔证明时允许自行添加辅助线〕。

[解析]：根据图形易得以下结论：
①ED EC EB EA ⋅=⋅；②AC ＞BC ；③AE ＞DE ；…… 可以得出的结论及证明如下：
①ED EC EB EA ⋅=⋅
如图连结AD 、BC ，∵∠A ＝∠C ，∠E ＝∠E ， ∴△AED ∽△CEB ∴EB
ED
CE AE =
，即ED EC EB EA ⋅=⋅ ②AC
＞BC ； 如图，连结AD ，
∵∠1是△ADE 的外角，∠A 是△ADE 的内角
∴∠A ＞∠1 ∵∠1所对的弧是AC ，∠A 所对的弧是BD ，
∴AC ＞BC ； ③AE ＞DE 。

证法一：如图，连结AD 、BD 、BC 。

∵∠2是△BCD 的外角，∠C 是△BCD 的内角， ∴∠2＞∠C 。

而∠ADE ＞∠2，∠C ＞∠A ， ∴在△ADE 中，∠ADE ＞∠A 。

∴AE ＞DE 证法二：∵EA ·EB ＜EA 2，ED ·EC ＞ED 2，
⌒ ⌒
C
C
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C
而EA ·EB ＝ED ·EC ∴EA 2＞ED 2，即EA ＞ED 。

[评注]：这是一道以探究结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探究结论。

因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维才能大有好处。

[例3] 〔东城区中考题〕有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：
甲：对称轴是4=x ；
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3。

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：___________________。

[解析]：此题是一道结论开放型试题，题目条件已确定，而所要求的结论不惟一。

此题以二次函数根本知识的掌握，同时也考察了学生发散思维的才能和数形结合的思想。

由二次函数图象的对称性及条件不难分析得出，假设与x 轴两个交点的坐标分别是〔3，0〕，〔5，0〕，那么与y 轴交点为〔0，3〕或者〔0，3-〕，此时二次函数的解析式为358512+-=
x x y 或者35
8
512-+-=x x y ；假设与x 轴两个交点的坐标分别是〔1，0〕，〔7，0〕，那么与y 轴交点为〔0，1〕或者〔0，1-〕，此时二次函数的解析式为
178
712+-=
x x y 或者17
8712-+-=x x y ，只要得出一个答案即可。

[例4] 关于x 的方程02)15(2
2
=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两
个实数根的倒数和等于4？假设存在，求出满足条件的k 的值；假设不存在，说明理由。

[解析]：先假设存在有满足条件的k 值，利用一元二次方程根与系数的关系，结合
题意得出关于k 的方程。

假设能求出符合题意的k 值，那么k 存在，否那么k 不存在。

设方程的两个实数根是1x ，2x ，由根与系数的关系，得
1521+=+k x x ，2221-=⋅k x x
由题意得
41
12
12121=+=+x x x x x x 。

∴
42
152
=-+k k ∴09542=--k k 又k ＜0， ∴k ＝1-，此时△＝20＞0成立， ∴k ＝1-。

[例5] 〔中考题〕在平面直角坐标系x O y 中，抛物线
)85(3
1)25(2122++--+-
=m x m m x y 的对称轴为21
-=x ，设抛物线与y 轴
交于A 点，与x 轴交于B 、C 两点〔B 点在C 点的左边〕，锐角△ABC 的高BE 交AO 于点H 。

⑴求抛物线的解析式；
⑵在⑴中抛物线上是否存在点P ，使BP 将△ABH 的面积分成1∶3两局部？假如存在，求出P 点的坐标；假如不存在，请说明理由。

[解析]：⑴略；⑵解此题的方法是先假设这样的抛物线存在，然后根据题中的条件进展求解。

⑴抛物线的解析式为62
1
212+--=x x y ； ⑵令0=y ，即062
1
212=+--
x x ，得41-=x ，32=x ∴A (0，6)，B (4-，0)，C (3，0)，由题意，有Rt △BHO ∽Rt △ACO ，得AO BO OC OH =，即6
4
3=OH ，
∴2=OH ，故4=-=OH OA AH 。

假设在抛物线上存在点P ，使BP 将△ABH 的面积分成1∶3两局部，那么BP 必过点(0，5)或者(0，3)。

当BP 过点(4-，0)和(0，5)时，设BP 的解析式为
b kx y +=，那么⎩⎨⎧==+-504b b k ，解得⎪⎩⎪
⎨⎧==5
4
5b k ，∴545+=x y 。

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+--=+=621215452x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=0411y x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==845
2122y x ，∴P 点坐标为(21，845)
当BP 过点(4-，0)和(0，3)时，设BP 的解析式为b kx y +=，那么⎩
⎨
⎧==+-30
4b b k ，
解得⎪⎩⎪⎨⎧==343b k ，∴343+=x y 。

由⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+--=+=621213432x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=0411y x ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==8332322y x ， ∴P 点坐标为(
23，8
33) 故抛物线上存在两点1P (
21，845)，2P (23，8
33
)，使BP 分△ABH 的面积为1∶3。

[评注]：探究存在性问题的根本思路是，可先假设结论存在或者成立，以此为前提进展运算或者推理，假设推出矛盾可否认假设，否那么给出肯定的证明。

[例6] 〔中考题〕：如图，AB ⊥CD ，CD ⊥BD ，
垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，
A
E
C
我们可以证明
EF
CD AB 1
11=
+成立〔不要求考生证明〕。

假设将图中的垂直改为斜交，如图，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，那么： ⑴
EF
CD AB 1
11=
+还成立吗？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由； ⑵请找出S △ABD 、S △BCD 和S △BED 间的关系式，并给出证明。

[解析]：右图所表示的是一般情况，在探究结论的过程中，应
设法将之转化为上图这样的特殊情况，故可过A 、E 、C 点
作BD 的垂线。

⑴EF
CD AB 111=+仍成立。

证明：过点A 、E 、C 点作BD 的垂线，交BD 或者其延长线于点M 、N 、K 。

易证Rt △ABM ∽Rt △EFN ∽Rt △CDK 。

∴AB ∶EF ∶CD =AM ∶EN ∶CK 。

由题设 EN CK AM 111=+，知EF CD AB 1
11=
+成立。

⑵由题设 EN CK AM 1
11=
+， ∴EN
BD CK BD AM BD ⋅=
⋅+⋅222； 即EN BD CK BD AM BD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅211
211211； 又 ∵=⋅AM BD 21S △ABD ，=⋅CK BD 21S △BCD ，=⋅EN BD 2
1
S △BED 。

∴
BED
BCD
ABD
S S S ▲▲▲111=
+。

A
B
M
F N
E
C
K
D
[评注]：此题从特殊情形入手，通过图形的变换，寻找数量上的内在规律，颇具新意。

[例7] 〔中考题〕△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上〔与点A 、C 不重合〕，Q 点在BC 上。

⑴当△PQC 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长； ⑵当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；
试问，在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？假设不存在，请说明理由；假设存在，恳求出PQ 的长；
[解析]：此题是纯几何探究性问题，解这类题时，是先假设结论存在。

假设从条件和定义、定理出发，进展推理或者计算得出相应的结论，那么结论确实存在；假设推证出矛盾或者计算无解，那么结论不存在。

⑴、⑵略。

⑶如图，△PQM 为等腰直角三角形可能有两种情况：
①由右图假设，∠MPN ＝90°，PM ＝PQ 时，由勾股定理逆定理那么得∠C ＝90°。

∴△ABC 的AB 上的高为
5
12。

设PM ＝PQ ＝x ，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB 。

∴5
125125x x -=，解之得 3760=x ，即 3760=PQ 。

当∠MQ ′P ＝90°，QP ＝QM ′时，同理得 37
60
=PQ 。

A B
C
P
Q
M N
C
②由右图，假设∠PMQ ＝90°，MP ＝MQ 时， M 到PQ 的间隔 为
2
1
PQ 。

设PQ ＝x ，∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB 。

∴5
12215125x x -=，解之得 49120=x ，即 49120=PQ 。

∴综上所述，在AB 上存在点M ，使△PQM 为等腰直角三角形。

[评注]：“存在性〞探究题，往往与传统的综合题相结合，来加大对考生分析、探究才能的考察，这类问题的情景新颖，富有挑战性，是启迪智慧的好素材。

[题型设计与才能训练]
1．〔广西中考题〕如图，OE 、OF 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的弦
心距，假如OE =OF ，那么____________2．〔HY 中考题〕如图，等腰△
ABC 中， ∠A =
2
1
∠C ，底边BC 为⊙O 的直径，两腰AB 、AC 分别与 ⊙O 交于点D 、E ，有以下序号的四个结论：
①AD =AE ；②DE ∥BC ；③∠A =∠CBE ；④BE ⊥AC 。

其中结论正确的序号是________________。

注：把你认为正确结论的序号都填上。

3．〔中考题〕如图，在直角坐标系中，第一次将
△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第 三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3。

A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，
B (2，0)， B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)。

⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按
此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，那么A 4的坐标 是__________，B 4的坐标是__________。

⑵假设按⑴题找到的规律将△OAB 进展了n 次变换，得到的△OA n B n ，比拟每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推出A n 的坐标是___________，B n 的坐标是__________。

4．〔中考题〕在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
⑴当1
1121+==AC AE 时，有122
32+=
=AD AO 〔如图1〕； ⑵当2
1131+==AC AE 时，有22242+=
=AD AO 〔如图2〕； ⑶当3
1141+==AC AE 时，有32252+=
=AD AO 〔如图3〕；
O x
B 3 B 2
B 1
B A O
E A O
E
A
O E
A O
E
F
图4
草
草
在图4中，当
n AC AE +=
11时，参照上述研究结论，请你猜测用n 表示AD
AO
的一般结论，并给出证明〔其中n 是正整数〕。

5．〔中考题〕图形的操作过程〔此题中四个矩形的程度方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b 〕：
在图1中，将线段A 1A 2向右移1个单位到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2 B 1B 2〔即阴影局部〕；
在图2中，将折线A 1A 2 A 3向右移1个单位到B 1B 2 B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3 B 1B 2 B 3
〔即阴影局部〕；
⑴在图3中，请你类似地面一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影。

⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影局部后剩余局部的面积：
1S ＝_________，2S ＝_________，3S ＝__________；
⑶联想与探究：
如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路
A 1
B 1
A 2
B 2 图1 B 2
B 1
B 3 A 1 A 2
A 3 图2
图3
〔小路任何地方的程度宽度都是1个单位〕，请你猜测空白 局部表示的草地面积是多少？并说明你的猜测是正确的。

6．〔中考题〕如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且∠BAC =∠BDC =∠DAE 。

⑴求证：AE CD AD BE ⋅=⋅； ⑵根据图形的特点，猜测
DE
BC
可能等于哪两条线段 的比〔注：只需写出图中已有线段的一组比即可〕？并 证明你的猜测。

7．〔中考题〕如图，△ABC 中，AB =4，D 在AB 边上挪动〔不与A 、B 重合〕，DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD 。

设S △ABC =S ，S △DEC =S 1。

⑴当D 为AB 中点时，求S 1∶S 的值； ⑵假设AD =x ，
y S
S =1
，求y 关于x 的函数关系式及 自变量x 的取值范围；
⑶是否存在点D ，使得S 1＞S 4
1
成立？
假设存在，求出点D 位置；假设不存在，请说明理由。

8．〔中考题〕：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过C 点作直线CD ⊥AB 于D 〔AD ＜DB 〕，点E 是DB 上任意
一点〔点D 、B 除外〕，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF 与
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
直线CD 交于点G 。

⑴求证：AF AG AC ⋅=2
；
⑵假设点E 是AD 〔点A 除外〕上任意一点，上述结论是否仍然成立？假设成立，请画出图形并给予证明；假设不成立，请说明理由。

9．〔中考题〕如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，其延长线交⊙O 于点C ，弦CD 交AM 于点E 。

⑴假如CD ⊥AB ，求证：EN ＝NM ；
⑵假如弦CD 交于AB 点F ，且CD ＝AB ，求证：CE 2＝EF ·ED ； ⑶假如弦CD 、AB 的延长线交于点F ，且CD ＝AB ，那么⑵的结 论是否仍成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。

10．〔中考题〕⑴操作并观察：如图1，两个半径为r 的等圆⊙O 1与⊙O 2外切于点P 。

将三角板的直角顶点放在点P ，再将三角形绕点P 旋转，使三角板的两直角边中的一边P A 与⊙O 1相交于A ，另一边PB 与⊙O 2相交于点B 〔转动中直角边与两圆都不相切〕。

在转动过程中，线段AB 的长与半径r 之间有什么关系？请答复并证明你得到的结论；
M
图
2
A
B
图1
⑵如图2，设⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，半径分别为1r 、2r (1r ＞2r )，重复⑴中的操作过程，观察线段AB 的长度与1r 、2r 之间有怎样的关系，并说明理由。

11．〔中考题〕：抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为A (1-，0)。

⑴求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
⑵D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD
的
面积为9，求此抛物线的解析式；
⑶E 是第二象限内到x 轴、y 轴的间隔 的比为5∶2的点，假如点E 在⑵中的抛物
上，
且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由。

12．〔中考题〕抛物线c bx ax y ++=2〔a ＜0〕x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，又此抛物线交y 轴于点C ，连AC 、BC ，且满足△OAC 的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA 与OB 的积〔即S △OAC －S △OBC = OA ·OB 〕。

⑴求b 的值； ⑵假设tan ∠CAB =2
1
，抛物线的顶点为点P ，是否存在这样的抛物线，使得△P AB 的外接圆半径为
4
13
？假设存在，求出这样的抛物线的解析式；假设不存在，请说明理
由。

13．〔中考题〕如图，圆心A 〔0，3〕，⊙A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴
的正半轴上，且⊙B 与⊙A 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N 。

⑴假设5
4
sin =
∠OAB ，求直线MP 的解析式及经过 M 、N 、B 三点的抛物线的解析式。

⑵假设⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正 半轴上挪动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的
切线MC ，切点为C 。

在此变化过程中探究：
①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以 证明；
②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？假设存在，表示出
来；假设不存在，说明理由。

[答案与提示]
1．AB =CD 或者AB =CD ； 2．①、②、④；
3．△OAB 在变换中，A 、B 点的纵坐标保持不变，横坐标按2倍递增，∴A 4 (16，3)， B 4(32，0)。

按此规律，显然A n (n
2，3)，B n (1
2+n ，0)。

4．依题意可猜测：当
n AC AE +=11时，有n AD AO ＋＝
22
成立。

⌒ ⌒
过点D 作DF ∥BC 交AC 于点F ，∵D 为BC 边的中点，∴F 是EC 的中点
由
n AC AE +=11，可知n EC AE 1
=。

∴n EF AE 2=，n AF AE +=22，∴n
AF AE AD AO ＋22=
=。

5．⑴画图〔要求对应点在程度位置上，宽度保持一致〕。

⑵b ab -，b ab -，b ab -。

⑶猜测：根据前面的有关计算，可以猜测草地的面积仍然是b ab -。

方案：①将“小
路〞
沿着左右两个边界“剪去〞；②将左侧的草地向右平移一个单位；③得到一个新的矩形〔如图〕。

理由略。

6．⑴证△ABE ∽△ACD ；⑵AD AC DE BC =
(或者AE
AB
)。

先证△ABE ∽△ACD ，再证△BAC ∽△EAD 。

7．⑴411=S S ；⑵x x y 41
1612+-=〔0＜x ＜4〕
；⑶不存在点D ，使得S 1＞S 4
1成立。

8．⑴延长线CG 交于⊙O 于H ，易证△ACG ∽△AFC ；
⑵当点E 是AD 〔点A 除外〕上任意一点时，上述结论仍成立。

证略。

9．⑴连结BM ，先证∠ECN ＝∠MBN ，再证Rt △CEN ≌Rt △BMN 。

草
草
⑵连结BD 、BE 、AC ，先证△ABE ≌△ACE ，再证△BED ∽△FEB 。

⑶结论成立，仿⑵可证之。

10．⑴连结O 1A ，O 1B ，O 1 O 2。

∵⊙O 1与⊙O 2相切于点P ，∴点P 在O 1 O 2上。

∵∠APB ＝90°， ∴∠2＋∠4＝90°。

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠O 1＋∠O 2＝180°，O 1A ∥O 2B 。

又⊙O 1与⊙O 2的半径均为r ，∴四边形O 1 AB O 2是平行四边形。

∴AB ＝O 1 O 2＝r 2。

⑵连结O 1A ，O 1 O 2，O 2B ，同⑴可证O 1A ∥O 2B 。

过点B 作BC ∥O 1 O 2，交O 1A 于点
C 。

在△ACB 中，21r r BC +=，21r r AC -=。

由三角形三边关系，得AC BC -＜AB ＜BC AC +。

∴22r ＜AB ＜12r 。

11．⑴B 〔3-，0〕；⑵342
++=x x y 或者342
---=x x y ； ⑶存在点P 〔2-，2
1
-
〕，使△APE 的周长最小。

12．解：⑴设A 〔1x ，0〕、B (2x ，0)，由题设可求得C 点的坐标为〔0，c 〕，且1x ＜
0，
2x ＞0，∵a ＜0，∴c ＞0
由S △AOC －S △BOC ＝OA ·OB 得：21212
1
21x x c x c x -=-- 得：
a
c
a b c =-)(21 得：2-=b ⑵设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，与△P AB 的外接圆交于点N ，
∵tan ∠CAB =
2
1
，∴c OC OA 22==，∴A 点的坐标为〔c 2-，0〕 ∴A 点在抛物线上， ∴c x 2-=，0=y 代入c x ax y +-=22
，得c
a 45-= 又 ∵1x 、2x 为方程022
=+-c x ax 的两根，
∴a a b x x 221=-
=+，即：c a x c 58222-==+- ∴c x 522= ∴B 点的坐标为〔c 5
2
，0〕，
∴顶点P 的坐标为〔c 54-，c 5
9
〕
由相交弦定理得： AM ·BM =PM ·MN
又 ∵c AB 512=
， ∴AM =BM =c 56，PM =c 5
9
∴)59213(59)56(2c c c -=， ∴25=c ，2
1-=a
∴所求的抛物线的函数解析式是：2
5
2212+--=x x y
13．⑴在Rt △AOB 中，∵OA =3，sin ∠OAB =5
4
，
∴cos ∠OAB =5
3
，∴AB =5，OB =4，BP =5－3=2。

在Rt △APM 中，AM AP =cos ∠OAB =5
3
，
∴AM =5，OM =2，∴点M 〔0，－2〕 又 △NPM ∽△AOB
∴
OB AB BP BN = ∴2
5425=⨯=BN
∴23254=-=-=BN OB ON ∴点N 〔2
3
，0〕
设MP 的解析式为b kx y +=， ∵MP 经过M 、N 两点，
∴得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0232
b k b ，解之，得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=342k b
∴MP 的解析式为23
4
-=
x y 。

设过M 、N 、B 的抛物线解析式为)4)(2
3(--=x x a y ，且点M 〔0，2-〕，可得3
1-=a 。

∴抛物线的解析式为)4)(23(31
---=x x y ，即26
11
312-+-=x x y 。

⑵①四边形OMCB 是矩形。

证明：在⊙A 不动、⊙B 运动变化过程中，
恒有∠BAO ＝∠MAP ，OA ＝OP ，∠AOB ＝∠APM ＝90°，∴△AOB ≌△APM 。

∴OB ＝PM ，AB ＝AM 。

∴PB ＝OM 。

而PB ＝BC ， ∴OM ＝BC 。

由切线长定理知 MC ＝MP ， ∴MC =OB 。

∴四边形MOBC 是平行四边形。

又 ∵∠MOB ＝90°， ∴四边形MOBC 是矩形。

②存在。

由上述证明可知Rt △MON ≌Rt △BPN ，∴BN ＝MN 。

因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在。

由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN ＝B M ′。

这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB 。

策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或者解题途径不明确的问题，这类问题要求解
题者不墨守成规，擅长标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

[例1] 〔中考题〕如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝BC ＝4。

假设将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图〔标出图中的直角〕，并分别写出所拼四边形的对角线的长〔不要求写计算过程，只需写出结果〕。

[解析]：经过适当拼合可以组成以下四种不同形状的四边形。

①矩形〔如图1〕：
此时两条对角线的长相等，均为52； ②平行四边形〔如图2〕：
此时两条对角线的长分别为4和24； ③平行四边形〔如图3〕：
此时两条对角线的长分别为2和172
； ④四边形〔如图4〕：
此时两条对角线的长分别为52和
55
8
； [评注]：这是一道集开放探究、操作应用于一体的试题，既可考察学生的探究才能，又可锻炼学生的动手操作才能，是一道难得的好题。

[例2] 〔中考题〕在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料。

现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成
B
D
2
4
图1
2
4
图2
2 4
图3
2
2
4
4
图4
不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切。

请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径〔只要求画出扇形，并直接写出扇形半径〕。

[解析]：根据题意，可考虑圆心在顶点和直角边、斜边上，设计出符合题意的方案示意图。

可以设计如以下图的四种方案：
[评注]：此题要求设计出符合题意的方案示意图，因此，在分类讨论时要做到不重复、不遗漏，特别是圆心在顶点上的两种情况不能遗漏，这是一道考察思维广阔性与周密性的好题。

[例3] 〔中考题〕反比例函数x
k
y 2=
和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过〔a ，b 〕，〔1+a ，k b +〕两点。

⑴求反比例函数的解析式；
⑵如图，点A 在第一象限，且同时在上述两个函数
A C
B
的图象上，求A 点的坐标；
⑶利用⑵的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？假设存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；假设 不存在，请说明理由。

[解析]：易求⑴x
y 1
=
；⑵A 点的坐标为〔1，1〕； ⑶讨论OA 为腰、为底时，得出P 点的坐标。

OA ＝2112
2
＝＋，OA 与x 轴所夹的锐角为45°。

①当OA 为腰时，由OA =OP ，得P 1(2，0)，P 2(2-，0)；由OA =AP ，得P 3〔2，0〕；
②当OA 为底时，得P 4〔1，0〕。

∴这样的点有4个，分别是(2，0)，(2-，0)，〔2，0〕，〔1，0〕。

[评注]：第⑶小题是一个“存在性〞问题，也是一个分类讨论问题，解题的过程呈开放型，有利于考察学生的思维才能和全面考虑的才能。

[例4] 〔中考题〕：⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，过点P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于点B 、A ，⊙O 1的切线BN 交⊙O 2于点M 、N ，AC 为⊙O 2的弦。

⑴如图，设弦AC 交BN 于点D ，求证：AP ·AB =AC ·AD 。

⑵如图，当弦AC 绕点A 旋转，弦AC 的延长线交直线BN 于点D 时，试问AP ·AB = AC ·AD 是否仍然成立？证明你的结论。

[解析]：⑴略。

⑵当弦AC 绕点A 旋转后，假设探究AP ·AB =AC ·AD 是否仍然成立，其实是探究△APC 与△ADB 是否仍然相似？
⑴略；⑵仍然成立。

连结PC ，过点P 作⊙O 1和⊙O 2的公切线EF ，那么∠MBP =∠EPB ， ∴∠ABD =∠APE 。

∵∠ACP =∠APE ， ∴∠ABD =∠ACP 。

又∠A =∠A ， ∴△APC ∽△ADB ，∴
AB
AC
AD AP =
，即AP ·AB =AC ·AD 。

[评注]：在给定条件下探究尚不明确的结论，其解法是，需要对题目的条件进展详细分析、判断，通过推理来获取结论。

[题型设计与才能训练]
1．〔中考压轴题〕用水清洗一堆青菜上残留的农药，对用水清洗一次的效果作如下规定：用一桶水可洗掉青菜上残留农药量的
2
1
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在青菜上。

设用x 桶水清洗一次后，青菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为y 。

⑴试解释“0=x 时，1=y 〞的实际意义；
⑵设当x 取1x 、2x 时，对应的y 值分别为1y 、2y ，假如1x ＞2x ＞1，试比拟1y 、
2y 、2
1
的大小关系〔直接写出结论〕
；。