浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷9

浙江省杭州市2018届高考模拟数学试卷9
参考公式:
如果事件A ，B 互斥，那么柱体的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+V =Sh
如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
)()()(B P A P B A P •=•锥体的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，V =3
1
Sh
那么n 次独立重复试验中事件A 恰好其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 发生k 次的概率球的表面积公式
-()=C (1-)(=0,1,2,...,)k k
n k n n P k p p k n S =4πR 2
台体的体积公式球的体积公式
V =3
1h (S 1+21S S +S 2)V =34πR 3
其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示台体的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{0}A x x a,x =<<∈N 有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,2)
B. [1,2]
C. [1,2)
D. (1,2]
2.已知复数1z 对应复平面上的点(1,1)-，复数2z 满足122z z =-，则2|2i |z +=（）
A
B ．2
C D ．10
3.“3<-b a ”是“圆05622
2=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.函数)0,0,0(cos sin )(≠≠≠+=ϖϖϖb a x b x a x f ,则)(x f ( ) A ．是非奇非偶函数
B ．奇偶性与b a ,有关
C ．奇偶性与ϖ有关
D ．奇偶性与b a ,无关
5.函数2
ln )(x
x
x f =
的图象大致是（） A. B. C. D.
6.已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≤-+≥0
22041
y x y x x ，则11+-
+=y x x y z 的取值范围是（） A ．]41[，
B ．]14
1
[，
C ．]
415
0[，
D ．]
4172[，
7.P 是双曲线116252=-y x 在第一象限．．．．上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且MP M F ⊥2，则OM 的值是（）
A ．4B.5C.8D.10
8.已知平面上的两个向量OA 和OB
a =
b =，且22
1a b +=，
0=⋅OB OA ，若向量),(R ∈+=μλμλ，且()()2
2
2
2
21214a b λμ-+-=
的最大
值为( ) A ．1
B ．
2
3
C ．2
D ．4
9.已知函数()22
2,0,
e e ,0,
x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A.）（1,0
B.）（+∞,e
C.）（）（+∞⋃,e 1,0
D.）（）（+∞⋃,e 1,02
10.如图1，在平面四边形ABCD 中，1AB =
，BC =
，AC CD ⊥
，CD =，
当ABC ∠变化时，当对角线BD 取最大值时，如图2，将ABC ∆沿AC 折起，在将ABC ∆开始折起到与平面ACD 重合的过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是（）
A ．]6
426,
0[+B ．]1,6
426[
+C ．]1,6
426[
-D ．]6
426,
0[-
二、填空题:本大题共7小题，共36分.
11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知
的顶点，，，则的欧拉线方程为
12.若929
0129(1(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯⋯+-)，则
7
a = ，
=+⋯⋯+++9321932a a a a
13.已知函数()11
22f x x x m =
--的最大值为4，则实数m =；若0,02
m m x ><<22
2
x x +
-的最小值为 14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为，表面积为
15.已知数列{}n a 满足11(2)3
2(1)1
n n a n n a ,
a n n ++++==+++，则3=a ，数列{}n a 的通项公式=n a .
16.6辆不同的汽车需停在并排连续的6个车位上，则甲车不能停在首尾两个车位上，且甲车和乙、丙两车中至少一辆相邻的概率是
.
ABC △()2,0A ()0,4B AC BC =ABC
△
17.函数)1(+=x f y 的图像关于直线1-=x 对称,且)(x f y =在),0[+∞上单调递减,若
]3,1[∈x 时,不等式)23(ln )3(2)3ln 2(mx x f f x mx f -+-≥--恒成立,则实数m 的取
值范围为 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）
的内角，，的对边分别为，,已知
.
（1）求； （2）若的面积，求.
19.（本小题满分15分）
已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中54EC BF ==，，四边形是边长为2的正方形，现沿进AD 行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.
（1）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；
（2）已知点H 在线段上BD ，且AH //平面BEF ，求FH 与平面BEF 所成角的正弦值.
ABC ∆A B C a b c 222a c b ++=cos 0A B +=cos C ABC ∆5
2
S =b
20.（本小题满分15分）
已知函数f (x )＝x (m ＋e －
x )(其中e 为自然对数的底数)， （1）当m =-1时，求函数f (x )的单调区间；
（2）曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，求实数m 的取值范围.
21.（本小题满分15分）
已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的焦距是2，点P 是椭圆C 上一动点，点21A A ，是
椭圆C 的左右顶点，且满足直线21PA PA ，的斜率之积为21-
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）A ，B 是抛物线C 2：x 2=4y 上两点，且A ，B 处的切线相互垂直，直线AB 与椭圆C 1相交于C ，D 两点，求OCD ∆的面积的最大值．
22.（本小题满分15分）
已知正项数列{}n a 满足111ln(1)n n n a ,a a a +==++，数列{}n a 的前项和为n S ，求证：对任意正整数n . （1）+1112n n a a <<；（2）-12123n n n a +≤≤；（3）n S n S S n
322121<+++Λ.
【参考答案】
一、选择题
二、填空题
11. 12.1008，10
3 13.
4
14.16π
3
17π2+ 15.32831
322++n n
16.
10
1
17.1ln3+6
[
,]2e 6
三、解答题
18．解：（1）由，得，
∴.
∵，∴.
，得
∴
∴. （2）由（1），得. 由及题设条件，得，∴. 由
，
∴，∴.
19．（1）证明：由平面⊥
EDAF 平面ABCD ，AD ED ⊥,平面⋂EDAF 平面AD ABCD =,
⊂ED 平面EDAF ，又⊂AC
平面ABCD DE AC
⊥∴
由ABCD 为正方形得DB AC ⊥,BDE AC 平面⊥∴， 又⊂AC 平面AEC ，所以平面⊥AEC 平面BDE ，
230x y -+=222a c b ++=222
a c
b +-=222cos 2a
c b B ac +-===0B π<<34B π=cos 0A B +=sin (A B ===
cos A ==cos cos()4C A A A π=-+==
sin C ==1sin 2S ac B =135
sin
242ac π=ac =sin sin sin a b c
A B C ===225b ==5b =
（2）如图建立空间直角坐标系，
则)202(),300(),022(,0,0,2，，，，，，）（F E B A ,设λ=，则），（02,2λλH ，
设平面BEF 的一个法向量为),,(z y x =，)102()322(-=---=，，，，，，
)2,2,1(102032200==⎩
⎨⎧=-=+--⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅x z x z y x BE n 得取， 3
1
0422),
0222(,//=
=+-∴-=λλλλλ，，，平面BEF AH Θ ),
2,3
2
,34(),0,32,32(--=H 设FH 与平面BEF 所成角为θ，则7
14
sin =
θ， FH ∴与平面BEF 所成角的正弦值为
7
14. 20. 解：（1）当m =-1时，f ′(x )＝-1+e －x
－x e －x
=e 1e
x x
x
-+-， 设()e 1x
g x x =-+-，()e 10'x g x ,=--<即)(x g 在R 上单调递减，且0)0(=g ，
）上单调递增，在（即）上，在（0)(,0)(',0)(0-∞->>∞∴x f x f x g ，
()0()0()00g x ,f 'x ,f x ∴+∞≤<+∞在（，）上即在（，）上单调递增，
（2）曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于函数f (x )有两个不同的极值点，等价于方程f ′(x )＝0有两个不同的实根． 令f ′(x )＝m ＋e －x －x e －
x ＝0，得m ＝x －1e
x
.
令g (x )＝x －1
e x ，则条件等价于直线y ＝m 与曲线y ＝g (x )有两个不同的交点．
g ′(x )＝e x －（x －1）e x （e x ）2
＝2－x e x .
当x ＝2时，g ′(x )＝0；当x ＞2时，g ′(x )＜0；当x ＜2时，g ′(x )＞0. g (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 从而当x ＝2时，g (x )取得最大值g (2)＝e －
2. 当x →－∞时，g (x )→－∞；当x →＋∞时，g (x )→0. 从而m ∈(0，e －
2)．
21. 解：(Ⅰ)设P （x 0，y 0），则2
000220001
2y y y x a x a x a ==-+--g ，
即22
002221x y a a
+=，∴22
2b a =， 且,2=c ∴,2,42
2
==b a 即椭圆的方程12422=+y x .
（2）设直线AB 为),,(),,(,2211y x B y x A m kx y +=),(),,(4433y x D y x C ， 由⎩⎨
⎧=--=+=044,42
2
m kx x y
x m kx y 得， 则,4,42121m x x k x x -==+ 由2
,2,2',4112x k x k x
y y x PB PA ==∴=
=得， 112
21
1=∴-=⋅m x x ，所以直线AB 为,1+=kx y 02421124
12222
=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ）得（， ,212
,2142
21243k
x x k k x x +-=+-=
+ ,21)41(8112
22
432k k k x x k CD +++=-+=
原点到直线AB 的距离,112
k
d +=
OCD ∆的面积,21)41(221)41(8111
21212
22
222
k
k k
k k k CD d S ++=
++++⋅
==
设2
1
),1(212
2
-=
≥+=t k t k t 则代如上式得,21)11
(212212222
≤+--⋅=-⋅=-=
t t
t t t S 所以OCD ∆的面积的最大值是2.
22.解：(Ⅰ)由0>n a ，0)1ln(1>+=-+n n n a a a ，11
<∴
+n
n a a ，又n n a a <+)1ln(Θ，n n n n a a a a <+=-∴+)1ln(1，211>∴
+n n a a ，所以121
1
<<+n n a a ； (Ⅱ)有(Ⅰ)知
211>+n n a a ，则111
221112...2----+≤⋅⋅⋅⋅=⇒<n n n n n n n n a a a
a a a a a a a ； 又322ln )1ln()1ln(11>≥+≥+=-+a a a a n n n ，则当2≥n 时，
3
1
32)1(321+=+->n a n a n . 又11=a ，所以3132+≥
n a n ，所以123
1
2-≤≤+n n a n ； (Ⅲ)有(Ⅱ)得n a n ≤+312，则3)2(+≥n n S n ，3
2
+≥⇒n n S n )12(321
232223223+-+=+++<+=+≤⇒
n n n n n n S n n ； 所以
)]23(...)1()12[(32...2121-++-+++-+<+++n n n n S n
S S n
)22(32-+=n ；
又因为n n n n n 220)2()2(2222<⇔+<+⇔<
-+显然恒成立，
所以
n S n S S n
32...2121<+++.。