广东省东莞市2019-2020学年中考第三次适应性考试数学试题含解析

广东省东莞市2019-2020学年中考第三次适应性考试数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如果关于x
的分式方程1311a x x x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组2()4,3412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a 的积是 （ ）
A ．-3
B ．0
C ．3
D ．9
2．如图，以∠AOB 的顶点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ．再分别以点C 、D 为圆心，大于12
CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点E ，过点E 作射线OE ，连接CD ．则下列说法错误的是
A ．射线OE 是∠AO
B 的平分线
B ．△COD 是等腰三角形
C ．C 、
D 两点关于O
E 所在直线对称
D ．O 、
E 两点关于CD 所在直线对称
3．下列计算正确的是( )
A ．326⨯=
B ．3+25=
C ．()222-=-
D ．2+2=2
4．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A ．摸出的是3个白球
B ．摸出的是3个黑球
C ．摸出的是2个白球、1个黑球
D ．摸出的是2个黑球、1个白球
6．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（ ）
A ．13.51×106
B ．1.351×107
C ．1.351×106
D ．0.1531×108
7．如图，扇形AOB 中，OA=2，C 为弧AB 上的一点，连接AC ，BC ，如果四边形AOBC 为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．233π-
B ．2233π-
C ．433π-
D ．4233
π- 8．不等式组1240x x >⎧⎨
-≤⎩的解集在数轴上可表示为（ ） A ． B ． C ． D ．
9．下列运算正确的是 （ ）
A ．22a +a=33a
B ．()32m =5m
C ．()222x y x y +=+
D ．63a a ÷=3a
10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于
12
BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
12．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨
>-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣3 B ．a ＜﹣3
C ．a ＞3
D ．a≥3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知二次函数y=x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为____．
15．菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=9，点P 是菱形ABCD 内一点，PB=PD=33，则AP 的长为_____． 16．如图，在Y ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42，则EF ＋CF 的长为 cm ．
17．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y
轴上，且S△ADC=4，反比例函数y=k
x
（x＞0）的图像经过点E，则k=_______ 。

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长=；
（2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
20．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
21．（6分）如图是某旅游景点的一处台阶，其中台阶坡面AB和BC的长均为6m，AB部分的坡角∠BAD 为45°，BC部分的坡角∠CBE为30°，其中BD⊥AD，CE⊥BE，垂足为D，E．现在要将此台阶改造为直接从A至C的台阶，如果改造后每层台阶的高为22cm，那么改造后的台阶有多少层？（最后一个台阶
的高超过15cm 且不足22cm 时，按一个台阶计算．可能用到的数据：
2≈1.414，3≈1.732）
22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过弧BD 上一点T 作⊙O 的切线TC ，且TC ⊥AD 于点C ．
（1）若∠DAB ＝50°，求∠ATC 的度数；
（2）若⊙O 半径为2，TC ＝，求AD 的长．
23．（8分）如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A B C D ，，，分
别为“果圆”与坐标轴的交点，直线334y x =
-与“果圆”中的抛物线234
y x bx c =++交于B C 、两点 (1)求“果圆”中抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y 轴截得的线段BD 的长； (2)如图，E 为直线BC 下方“果圆”上一点，连接AE AB BE 、、，设AE 与BC 交于F ，BEF △的面积记为BEF S V ，ABF V 的面积即为ABF S △，求ABF BEF
S S V V 的最小值 (3)“果圆”上是否存在点P ，使APC CAB ∠=∠，如果存在，直接写出点P 坐标，如果不存在，请说明理由
24．（10分）李宁准备完成题目；解二元一次方程组48x y x y -=⎧⎨+=-⎩W
，发现系数“□”印刷不清楚．他把“□”猜成3，请你解二元一次方程组438x y x y -=⎧⎨+=-⎩
；张老师说：“你猜错了”，我看到该题标准答案的结果x 、y 是一对相反数，通过计算说明原题中“□”是几？
25．（10分）关于x 的一元二次方程()2
3220x k x k -+++=.求证：方程总有两个实数根；若方程有一根小于1，求k 的取值范围.
26．（12分）阅读材料，解答问题．
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P 1(﹣3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y ＝x 2上向右跳动，得到点P 2、P 3、P 4、P 5…(如图1所示)．过P 1、P 2、P 3分别作P 1H 1、P 2H 2、P 3H 3垂直于x 轴，垂足为H 1、H 2、H 3，则S △P1P2P3＝S 梯形P1H1H3P3﹣S 梯形P1H1H2P2﹣S 梯形P2H2H3P3＝12(9+1)×2﹣12(9+4)×1﹣12
(4+1)×1，即△P 1P 2P 3的面积为1．” 问题：
(1)求四边形P 1P 2P 3P 4和P 2P 3P 4P 5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
(2)猜想四边形P n ﹣1P n P n+1P n+2的面积，并说明理由(利用图2)；
(3)若将抛物线y ＝x 2改为抛物线y ＝x 2+bx+c ，其它条件不变，猜想四边形P n ﹣1P n P n+1P n+2的面积(直接写出答案)．
27．（12分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD，求证：AE=FB．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
解：
2()4
34
1
2
a x x
x
x
①
②
-≥--
⎧
⎪
⎨+
<+
⎪⎩
，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥
﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即
7
2
x=-，
符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即
5
2
x=-，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即
3
2
x=-，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即
1
2
x=-，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为1．故选D．
2．D
【解析】
试题分析：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE．
∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE，
∴△EOC≌△EOD（SSS）．
∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意．
B、根据作图得到OC=OD，
∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意．
C、根据作图得到OC=OD，
又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线．
∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意．
D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，
∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．
故选D．
3．A
【解析】
【分析】
原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
A、原式23=6
⨯，正确；
B、原式不能合并，错误；
C、原式()222
-=，错误；
D、原式2
故选A．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选C．
【点睛】
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
5．A
【解析】
由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.
6．B
【解析】
【分析】
根据科学记数法进行解答.
【详解】
1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.
【点睛】
本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.
7．D
【解析】
连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，四边形AOBC是菱形可知OA=AC=2，再由OA=OC可知△AOC 是等边三角形，可得∠AOC=∠BOC=60°，故△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形，再根据锐
角三角函数的定义得出AD=OA•sin60°=2×3
=3，因此可求得S 阴影=S 扇形AOB ﹣2S △AOC =21202360π⨯﹣2×12×2×3=
43
π﹣23． 故选D ．
点睛：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式及菱形的性质是解答此题的关键． 8．A
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
【详解】
解：1240x x >⎧
⎨-≤⎩①② ∵不等式①得：x ＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：
， 故选A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
9．D
【解析】
【分析】
根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
A 、22a 与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 、()32m =6m ，不符合题意；
C 、原式=22x 2y xy ++，不符合题意；
D、63
a a
÷=3a，符合题意，
故选D．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．B
【解析】
试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=1．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=2．故选B．
考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
11．C
【解析】
如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=3，AB=4，OD⊥AB，
∴BD=1
2
AB=
1
2
×4=2，
在Rt△BOD中，2222
325
OB BD
-=-=
故选C．
12．A
【解析】
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【详解】∵不等式组
32
4
x a
x a
<+
⎧
⎨
>-
⎩
无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．增大．
【解析】
【分析】
根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】
∵二次函数y=x2
的对称轴是y轴，开口方向向上，∴当y随x的增大而增大.
故答案为：增大.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
14．1
【解析】
【分析】
题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【详解】
①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=1，因为6-6＜1＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为1．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
15．
【解析】
【分析】
分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．
【详解】
设AC和BE相交于点O．
当P 在OA 上时，
∵AB=AD ，∠A=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=AB=9，OB=OD=12BD=92． 则222293=9-()22
AB OB -=． 在直角△OBP 中，2222933(33)()22PB OB -=
-=． 则AP=OA-OP-3333322
-= 当P 在OC 上时，933363= 故答案是：33
【点睛】
本题考查了菱形的性质，注意到P 在AC 上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．
16．5
【解析】
分析：∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF=∠FAD ．
∵Y ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠FAD =∠AEB ．∴∠BAF=∠AEB ．
∴△BAE 是等腰三角形，即BE=AB=6cm ．
同理可证△CFE 也是等腰三角形，且△BAE ∽△CFE ．
∵BC= AD=9cm ，∴CE=CF=3cm ．∴△BAE 和△CFE 的相似比是2：1．
∵BG ⊥AE ， BG=42，∴由勾股定理得EG=2cm ．∴AE=4cm ．∴EF=2cm ．
∴EF ＋CF=5cm ．
17．10或1
【解析】
【分析】
分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.
如图，作半径OD AB ⊥于C ，连接OB ，
由垂径定理得：BC =12AB=12
×60=30cm ， 在Rt OBC V 中，22OC 503040cm =-=，
当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm 时， 则22OC'504030cm =-=，
水面上升的高度为：403010cm -=；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：403070cm +=，
综上可得，水面上升的高度为30cm 或1cm ，
故答案为：10或1．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
18．8
【解析】
【分析】
设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，
DE=EF=OF=n ，BF=OB+OF=m+n ，然后根据S △ADF =S 梯形ABOD +S △DOF -S △ABF =4，得到关于n 的方程，解方程求得n 的值，最后根据系数k 的几何意义求得即可．
【详解】
设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，DE=EF=OF=n ，
∴BF=OB+OF=m+n ，
()()2111=m m+n +n -m m+n =4222
ADF DOF ABF ABOD S S S S ∴=+-=V V V 梯形， ∴2n =8，
∵点E(n.n)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2n =8，
故答案为8.
【点睛】
本题考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k,
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）1；（2）点D（8﹣2，0）；（3）点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
【解析】
分析：（Ⅰ）由点B的坐标知OA=8、AB=1、OB=10，根据折叠性质可得BA=BA′=1，据此可得答案；
（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，据此知AD=ABtan∠ABD=2，继而可得答案；
（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．
详解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=1，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=1，∴OA′=1．故答案为1；
（Ⅱ）如图2，连接AA′．
∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA=AA′．
∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，
∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，
∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，
∴∠A′BA=10°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，
∴AD=ABtan∠ABD=1tan30°=2，
∴OD=OA﹣AD=8﹣2，
∴点D（8﹣2，0）；
（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时．
由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=1﹣2，
由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，
则=，即=，
解得：DN=3﹣5，
则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，
∴D（3﹣1，0）；
②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N，则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，
则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+1，
由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，
则=，即=，
解得：ME=，则OE=MO﹣ME=1+．
∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，
∴△DOE∽△A′ME，
∴=，即=，
解得：DO=3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0）．
综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
点睛：本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．
20．（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.
【解析】
【分析】
（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可.
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.
【详解】
（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
()2
⨯-=，
100001x12100
解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%.
（2）12100×（1+10%）=13310元.
答：第四天该单位能收到13310元捐款.
21．33层．
【解析】
【分析】
根据含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质得到BD和CE的长，二者的和乘以100
后除以20即可确定台阶的数．
【详解】
解：在Rt △ABD 中，BD=AB•sin45°=32m ，
在Rt △BEC 中，EC=
12
BC=3m ， ∴
BD+CE=3+32，
∵改造后每层台阶的高为22cm ，
∴改造后的台阶有（3+32）×100÷22≈33（个）
答：改造后的台阶有33个．
【点睛】
本题考查了坡度的概念：斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值，即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正弦．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰直角三角形的性质．
22．（2）65°；（2）2．
【解析】
试题分析：（2）连接OT ，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT ⊥OT ，CT 为⊙O 的切线；
（2）证明四边形OTCE 为矩形，求得OE 的长，在直角△OAE 中，利用勾股定理即可求解．
试题解析：（2）连接OT ，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠OTA ，又∵AT 平分∠BAD ，∴∠DAT=∠OAT ，∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ，又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ，∴CT 为⊙O 的切线；
（2）过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点，又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ，∴四边形OTCE 为矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt △OAE 中，AE ＝，∴AD=2AE=2．
考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理．
23． (1)239344y x x =
--；6；(2)ABF BEF
S S V V 有最小值54；(3)103P -（，），23P -（3，）. 【解析】
【分析】
（1）先求出点B ，C 坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A 坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D 的坐标即可求出BD ；
（2）先判断出要求ABF BEF
S S V V 的最小值，只要CG 最大即可，再求出直线EG 解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG 解析式，即可求出CG ，结论得证．
（3）求出线段AC ，BC 进而判断出满足条件的一个点P 和点B 重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P ．
【详解】
解:(1) 对于直线y=
34x-3，令x=0， ∴y=-3，
∴B （0，-3），
令y=0， ∴34
x-3=0， ∴x=4，
∴C （4，0），
∵抛物线y=34
x 2+bx+c 过B ，C 两点， ∴3164043
b c c ⎧⨯++⎪⎨⎪-⎩＝＝ ∴943b c ⎧-⎪⎨⎪-⎩＝，＝
∴抛物线的解析式为y=
239344x x --; 令y=0， ∴239344
x x --=0, ∴x=4或x=-1，
∴A （-1，0），
∴AC=5，
如图2，记半圆的圆心为O'，连接O'D ，
∴O'A=O'D=O'C=1 2
AC=
5
2
，
∴OO'=OC-O'C=4-
5
2
=
3
2
,
在Rt△O'OD中，OD=22
O D OO
'-'=2,
∴D（0，2），
∴BD=2-（-3）=5；
(2) 如图3，
∵A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，
过点E作EG∥BC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，∴S△ABF=
1
2
AF•h，S△BEF=
1
2
EF•h，
∴ABF
BEF
S
S
V
V
=
1
•
2
1
•
2
AF h
EF h
=
AF
EF
∵ABF
BEF
S
S
V
V
的最小值，
∴
AF
EF
最小，
∵CF∥GE，
∴
AF AC5
EF CG CG
==
∴5CG 最小，即：CG 最大， ∴EG 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，
CG 最大，
∵直线BC 的解析式为y=
34
x-3， 设直线EG 的解析式为y=34
x+m ①， ∵抛物线的解析式为y=34x 2-94x-3②， 联立①②化简得，3x 2-12x-12-4m=0，
∴△=144+4×3×（12+4m ）=0，
∴m=-6，
∴直线EG 的解析式为y=
34x-6， 令y=0，
∴34
x-6=0， ∴x=8，
∴CG=4，
∴ABF BEF S S V V =54
AF AC EF CG ==； (3)103P -（，），23
3P -（，）.理由：
如图1，∵AC 是半圆的直径，
∴半圆上除点A ，C 外任意一点Q ，都有∠AQC=90°， ∴点P 只能在抛物线部分上，
∵B （0，-3），C （4，0），
∴BC=5，
∵AC=5，
∴AC=BC ，
∴∠BAC=∠ABC ，
当∠APC=∠CAB 时，点P 和点B 重合，即：P （0，-3），
由抛物线的对称性知，另一个点P 的坐标为（3，-3），
即：使∠APC=∠CAB ，点P 坐标为（0，-3）或（3，-3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG 最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．
24．（1）15x y =-⎧⎨=-⎩
；（2）-1 【解析】
【分析】
（1）②+①得出4x=-4，求出x ，把x 的值代入①求出y 即可；
（2）把x=-y 代入x-y=4求出y ，再求出x ，最后把x 、y 代入②求出答案即可．
【详解】
解：（1）438x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②
①+②得，1x =-.
将1x =-时代入①得，5y =-，
∴15
x y =-⎧⎨=-⎩. （2）设“□”为a ，
∵x 、y 是一对相反数，
∴把x=-y 代入x-y=4得：-y-y=4，
解得：y=-2，
即x=2，
所以方程组的解是22x y =⎧⎨=-⎩
， 代入ax+y=-8得：2a-2=-8，
解得：a=-1，
即原题中“□”是-1．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于a 的方程是解（2）的关键． 25．（2）见解析；（2）k<2．
【解析】
【分析】
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-2）2≥2，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k+2，根据方程有一根小于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
（2）证明：∵在方程()2
3220x k x k -+++=中，△=[-（k+3）]2-4×2×（2k+2）=k 2-2k+2=（k-2）2≥2， ∴方程总有两个实数根．
（2） ∵x 2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-2）=2，
∴x 1=2，x 2=k+2．
∵方程有一根小于2，
∴k+2<2，解得：k<2，
∴k 的取值范围为k<2．
【点睛】
此题考查根的判别式，解题关键在于掌握运算公式.
26． (1)2，2；(2)2，理由见解析；(3)2．
【解析】
【分析】
（1）作P 5H 5垂直于x 轴，垂足为H 5，把四边形P 1P 2P 3P 2和四边形P 2P 3P 2P 5的转化为S P1P2P3P2＝S △OP1H1
﹣S △OP3H3﹣S 梯形P2H2H3P3﹣S 梯形P1H1H2P2和S P2P3P2P5＝S 梯形P5H5H2P2﹣S △P5H5O ﹣S △OH3P3﹣S 梯形P2H2H3P3来求解；
（2）（3）由图可知，P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的横坐标为n ﹣5，n ﹣2，n ﹣3，n ﹣2，代入二次函数解析式，
可得P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的纵坐标为（n ﹣5）2，（n ﹣2）2，（n ﹣3）2，（n ﹣2）2，将四边形面积转化为S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2来解答．
【详解】
(1)作P 5H 5垂直于x 轴，垂足为H 5，
由图可知S P1P2P3P2＝S △OP1H1﹣S △OP3H3﹣S 梯形P2H2H3P3﹣S 梯形P1H1H2P2＝
931114492222
⨯⨯++---＝2， S P2P3P2P5＝S 梯形P5H5H2P2﹣S △P5H5O ﹣S △OH3P3﹣S 梯形P2H2H3P3＝3(14)1111142222+⨯⨯+---＝2； (2)作P n ﹣1H n ﹣1、P n H n 、P n+1H n+1、P n+2H n+2垂直于x 轴，垂足为H n ﹣1、H n 、H n+1、H n+2，
由图可知P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的横坐标为n ﹣5，n ﹣2，n ﹣3，n ﹣2，
代入二次函数解析式，可得P n ﹣1、P n 、P n+1、P n+2的纵坐标为(n ﹣5)2，(n ﹣2)2，(n ﹣3)2，(n ﹣2)2， 四边形P n ﹣1P n P n+1P n+2的面积为S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2
＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2
＝222222223(5)(2)(5)(4)(4)(3)(3)(2)2222
n n n n n n n n ⎡⎤-+--+--+--+-⎣⎦
---＝2； (3)S 四边形Pn ﹣1PnPn+1Pn+2＝S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣5Hn ﹣5Hn ﹣2Pn ﹣2﹣S 梯形Pn ﹣2Hn ﹣2Hn ﹣3Pn ﹣3﹣S 梯形Pn ﹣3Hn ﹣3Hn ﹣2Pn ﹣2 =22223(5)(5)(2)(2)(5)(5)(4)(4)-22
n b n c n b n c n b n c n b n c ⎡⎤-+-++-+-+-+-++-+-+⎣⎦-2222(4)(4)(3)(3)(3)(3)(2)(2)22
n b n c n b n c n b n c n b n c -+-++-+-+-+-++-+-+-＝2． 【点睛】
本题是一道二次函数的综合题，考查了根据函数坐标特点求图形面积的知识，解答时要注意，前一小题为后面的题提供思路，由于计算量极大，要仔细计算，以免出错，
27．见解析
【解析】
【分析】
根据CE ∥DF ，可得∠ECA=∠FDB ，再利用SAS 证明△ACE ≌△FDB ，得出对应边相等即可．
【详解】
解：∵CE ∥DF
∴∠ECA=∠FDB ，
在△ECA 和△FDB 中
EC BD ECA F
AC FD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△ECA ≌△FDB ，
∴AE=FB ．
【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．。