《图形的初步认识与三角形》2021年全国中考题分类汇编

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（9）——图形的初步
认识与三角形
一．平行线的性质（共8小题）
1．（2020•朝阳）如图，四边形ABCO 是矩形，点D 是BC 边上的动点（点D 与点B 、点C 不重合），则
∠BAD+∠DOC
∠ADO
的值为（ ）
A ．1
B ．1
2
C ．2
D ．无法确定
2．（2020•鞍山）如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，连接AC ，BC ，若∠ABC ＝54°，则∠1的度数为（ ）
A ．36°
B ．54°
C ．72°
D ．73°
3．（2020•葫芦岛）一个零件的形状如图所示，AB ∥DE ，AD ∥BC ，∠CBD ＝60°，∠BDE ＝40°，则∠A 的度数是（ ）
A ．70°
B ．80°
C ．90°
D ．100°
4．（2020•丹东）如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点B 作BD ∥AC 交CO 延长线于点D ，若∠A ＝45°，∠AOD ＝80°，则∠CBD 的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．135°5．（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（）
A．66°B．56°C．68°D．58°6．（2019•鞍山）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM 交AB于点M，若∠EGB＝50°，则∠GMH的度数为（）
A．50°B．55°C．60°D．65°7．（2019•抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF ＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（）
A．15°B．25°C．45°D．60°8．（2020•盘锦）如图，直线a∥b，△ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，∠ACB＝40°，则∠2的度数是．
二．三角形的面积（共3小题）
9．（2020•阜新）如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形移动的距离AA1是．
10．（2020•葫芦岛）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于．（用含有正整数n的式子表示）
11．（2020•丹东）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作
矩形OA1A2B1使A1A2=2
3OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，
使A2A3=2
3OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4=
2
3OA3，
连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为．
三．三角形内角和定理（共3小题）
12．（2020•沈阳）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）
A．65°B．55°C．45°D．35°13．（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°14．（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．80°
四．三角形的外角性质（共2小题）
15．（2020•锦州）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，CD 平分∠ACB ，则∠ADC 的度数是（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110°
16．（2019•营口）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（ ）
A ．64°
B ．32°
C ．30°
D ．40°
五．全等三角形的判定与性质（共3小题）
17．（2020•朝阳）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BC 边上，且CE ＝2BE ，连接AE 交BD 于点G ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，连接OF 并延长，交BC 于点M ，过点O 作OP ⊥OF 交DC 于点N ，S 四边形MONC =9
4
，现给出下列结论：①
GE AG
=
1
3
；②sin ∠BOF =3√1010；③OF =3√5
5；④OG ＝BG ；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①②④
D ．①③④
18．（2019•盘锦）如图，点A 1，A 2，A 3…，A n 在x 轴正半轴上，点C 1，C 2，C 3，…，∁n
在y 轴正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在第一象限角平分线OM 上，OB 1＝B 1B 2＝B 1B 3＝…＝B n ﹣1B n =√3
2a ，A 1B 1⊥B 1C 1，A 2B 2⊥B 2C 2，A 3B 3⊥B 3C 3，…，A n B n ⊥B n ∁n ，…，则
第n个四边形OA n B n∁n的面积是．
19．（2020•大连）如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝CE．求证：∠ADE ＝∠AED．
六．等腰三角形的性质（共1小题）
20．（2019•抚顺）若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（）A．2B．3C．4D．2或4
七．等边三角形的性质（共2小题）
21．（2020•阜新）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为．
22．（2019•大连）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为．
八．直角三角形的性质（共1小题）
23．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（）
A．83°B．57°C．54°D．33°
九．含30度角的直角三角形（共2小题）
24．（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为．
25．（2019•丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是．
一十．勾股定理的应用（共1小题）
26．（2020•盘锦）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x﹣1）2+52＝x2
C．x2+52＝（x+1）2D．（x﹣1）2+102＝x2
一十一．等腰直角三角形（共2小题）
27．（2020•辽阳）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）
A．15°B．20°C．25°D．40°28．（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．
一十二．三角形中位线定理（共1小题）
29．（2020•辽阳）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为．
一十三．三角形综合题（共8小题）
30．（2020•大连）如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE＝CE，点G在线段CD上，CG＝CA，GF＝DE，∠AFG＝∠CDE．
（1）填空：与∠CAG相等的角是；
（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；
（3）若∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACD（如图2），求AC
AB
的值．
31．（2020•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N．
（1）填空：AO的长为，AB的长为；
（2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别
表示为S1和S2，当t=4
3时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为．
32．（2020•辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB=1
3时，请直接写出
CE
BE
的值．
33．（2019•铁岭）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E 与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且∠GEF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠B＝45°时，线段AG和CF的数量关系是．
（2）如图2，当∠B＝30°时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若AB＝6，DG＝1，cos B=3
4，请直接写出CF的长．
34．（2019•阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC＝BC，∠ACB＝
∠ADB＝90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE＝BD，连接CD，CE．
①求证：CD＝CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD=√2CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．
35．（2019•锦州）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F 在BC下方，连接EF．
（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？
并说明理由．
36．（2019•葫芦岛）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出CE
AB
的值．
37．（2019•沈阳）思维启迪：
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP 的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．
思维探索：
（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，
并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．
2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（9）——图形的初步
认识与三角形
参考答案与试题解析
一．平行线的性质（共8小题）
1．【解答】解：如图，过点D 作DE ∥AB 交AO 于点E ， ∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB ∥OC ， ∵DE ∥AB ，
∴AB ∥DE ，DE ∥OC ，
∴∠BAD ＝∠ADE ，∠DOC ＝∠ODE ， ∴
∠BAD+∠DOC
∠ADO
=
∠ADE+∠EDO
∠ADO
=
∠ADO ∠ADO
=1．
故选：A ．
2．【解答】解：∵l 1∥l 2，∠ABC ＝54°， ∴∠2＝∠ABC ＝54°，
∵以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于B 、C 两点， ∴AC ＝AB ，
∴∠ACB ＝∠ABC ＝54°， ∵∠1+∠ACB +∠2＝180°， ∴∠1＝72°．
故选：C ．
3．【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，
∴∠ADB＝60°，∠ABD＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝80°，
故选：B．
4．【解答】解：∵CO是△ABC的角平分线，∴∠DCB＝∠DCA．
∵BD∥AC，
∴∠A＝∠DBA＝45°，∠D＝∠ACD＝∠DCB．∵∠AOD＝∠D+∠DBA，
∴∠D＝∠AOD﹣∠DBA
＝80°﹣45°
＝35°．
∴∠DCB＝35°．
∵∠D+∠DCB+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝110°．
故选：B．
5．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
6．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°．∵HM平分∠CHG，
∴∠CHM＝∠GHM=1
2∠CHG＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠GMH＝∠CHM＝65°．
故选：D．
7．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°．
故选：A．
8．【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ACB+∠2，
∵∠1＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠2＝60°﹣40°＝20°，
故答案为20°．
二．三角形的面积（共3小题）
9．【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，∴AC∥A1C1，
∴△ABC∽△A1BD，
∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，
∴S△A
1BD
：S△ABC＝4：9，
∴A1B：AB＝2：3，
∵AB＝4，
∴A1B=8 3，
∴AA 1＝4−83=43
． 故答案为：4
3．
10．【解答】解：设△ADC 的面积为S ， 由题意，AC ∥B 1B 2，AC ＝AB ＝2，B 1B 2＝4， ∴△ACD ∽△B 2B 1D ， ∴
S △ADC S △B 1B 2D
=（
AC
B 1B 2
）2=1
4
，
∴S △B 1B 2D =4S ， ∵
CD DB 1
=
AC B 1B 2
=1
2
，CB 1＝2，
∴DB 1=43
， 同法D 1B 2=8
3， ∵DB 1∥D 1B 2， ∴
DE EB 2
=
DB 1D 1B 2
=1
2
，
∴S △DB 1E =
4S 3
， ∴S 1＝S +4S
3=7S
3， ∵△A 1C 1D 1∽△ACD ， ∴
S △A 1C 1D 1S △ACD
=（
A 1C 1AC
）2=1
4，
∴S △A 1C 1D 1=4S ， 同法可得，S △D 1B 1E 1=
16S
3， ∴S 2＝4S +16S
3=28S
3=7S
3×4， …
S n =7S
3×4n ﹣
1，
∵S =12×2×23=2
3，
∴S n =
149
×4n ﹣
1． 故答案为：
149
×4n−1．
11．【解答】解：在矩形OAA 1B 中，∵OA ＝3，AA 1＝2， ∴∠A ＝90°，
∴OA 1=√OA 2+A 1A 2=√22+32=√13， ∵A 1A 2OA 1=AA 1OA =2
3
，
∴
A 1A 2AA 1
=
OA 1OA
，
∵∠OA 1A 2＝∠A ＝90°， ∴△OA 1A 2∽△OAA 1， ∴∠A 1OA 2＝∠AOA 1， ∵A 1B ∥OA ， ∴∠CA 1O ＝∠AOA 1， ∴∠COA 1＝∠CA 1O ， ∴OC ＝CA 1，
∵∠A 2OA 1+∠OA 2A 1＝90°，∠OA 1C +∠A 2A 1C ＝90°， ∴∠CA 2A 1＝∠CA 1A 2， ∴CA 1＝CA 2＝OC ， 同法可证OC 1＝A 3C 1， ∴CC 1∥A 2A 3，CC 1=1
2A 2A 3， ∴S △CC 1A 3=S △CC 1A 2， ∵A 1A 2=
2√13
3
， ∴OA 2=√A 1O 2+A 1A 22=(√13)2+(2√13
3)2=13
3， ∴A 2A 3=23×133=26
9， ∴CC 1=12A 2A 3=13
9，
∴S △CC 1A 3=S △CC 1A 2=12×139×136=169
108， 同法可证S △C 1C 2A 4=S
△C 1C 2A 3，
由题意，
A 3C 1A 2C
=
OA 3OA 2
=
OA 2OA
=
√13
3
， ∵△C 2A 3C 1∽△C 1A 2C ， ∴相似比为：A 3C 1A 2C
=
√13
3
， ∴S △C 1C 2A 4
=（√133）2×169108=13333×36，S △C 2C 3A 5=13
435×36
，…，
由此规律可得，△C 2019C 2020A 2022的面积为132021
34039×36
．
故答案为
132********×36
．
三．三角形内角和定理（共3小题） 12．【解答】解：∵AC ⊥CB ， ∴∠ACB ＝90°，
∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣∠BAC ＝90°﹣35°＝55°， ∵直线AB ∥CD ，
∴∠ABC ＝∠BCD ＝55°， 故选：B ．
13．【解答】解：∵∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ，∠A ＝60°，∠B ＝40°， ∴∠C ＝80°， ∵DE ∥BC ，
∴∠AED ＝∠C ＝80°， 故选：D ．
14．【解答】解：连接AC 并延长交EF 于点M ．
∵AB∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∴∠BAD＝∠3+∠4＝∠1+∠2＝∠FCE，
∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BAD＝∠FCE＝50°，
故选：B．
四．三角形的外角性质（共2小题）
15．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=1
2∠ACB=
1
2
×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．
故选：C．
16．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝64°﹣32°＝32°，
故选：B．
五．全等三角形的判定与性质（共3小题）
17．【解答】解：如图，过点O作OH∥BC交AE于点H，过点O作OQ⊥BC交BC于点Q，过点B作BK⊥OM交OM的延长线于点K，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴OB =1
2BD ，OC =1
2AC ，AC =BD ，∠OBM =∠OCN =45°，OB ⊥OC ，AD ∥BC ， ∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°， ∴∠BOM +∠MOC ＝90°． ∵OP ⊥OF ， ∴∠MON ＝90°， ∴∠CON +∠MOC ＝90°， ∴∠BOM ＝∠CON ， ∴△BOM ≌△CON （ASA ）， ∴S △BOM ＝S △CON ，
∴S 四边形MONC =S △BOC =1
2OB ⋅OC =9
4， ∴OB =OC =3√2
2， ∴BC =
3√2
2
×√2=3． ∵CE ＝2BE ， ∴BE =13
BC =1，
∴AE =√AB 2+BE 2=√10． ∵BF ⊥AE ， ∴1
2
AE ⋅BF =
12
AB ⋅ME ，
∴BF =3√1010，
∴AF =√AB 2−BF 2=9√10
10， ∴HF =
2√10
5，EF =√1010
，
∴
OF FM
=
HF EF =
OH ME
=4，
∴ME =14
OH =
14×1=14， ∴BM =3
4，MQ =3
4． ∵AD ∥BC ， ∴
GE AG
=
BE AD
=1
3
，故①正确；
∵OH ∥BC ， ∴
OH EC
=
AO AC
=
AH AE
=
12
，∠HOG =∠GBE ，
又∵CE ＝2BE ，
∴OH ＝BE ，AH ＝HE =√10
2． ∵∠HGO ＝∠EGB ， ∴△HOG ≌△EBG （AAS ）， ∴OG ＝BG ，故④正确； ∵OQ 2+MQ 2＝OM 2， ∴OM =√OQ 2+MQ 2=
3√5
4
， ∴OF =3√5
4×4
5=3√5
5，故③正确； ∵1
2OM ⋅BK =
12
BM ⋅OQ ，
即12×
3√54⋅BK =12×34×3
2， ∴BK =3√5
10，
∴sin ∠BOF =BK
OB =√10
10，故②错误； ∴正确的有①③④． 故选：D ．
18．【解答】解：如图，过点C 1作C 1E ⊥OB 1于点E ，过点A 1作A 1F ⊥OB 1于点F ，过点B 1分别作B 1H ⊥OC 1于点H ，B 1N ⊥OA 1于点N ， ∵∠B 1OC 1＝∠B 1OA 1， ∴B 1H ＝B 1N
∵∠HB 1N ＝∠C 1BA 1＝90°
∴∠HB 1C 1＝∠NB 1A 1 ∵∠B 1HC 1＝∠B 1NA 1＝90° ∴△B 1HC 1≌△B 1NA 1（AAS ） ∴B 1C 1＝B 1A 1
∵∠C 1B 1F +∠A 1B 1F ＝90°，∠A 1B 1F ＝90° ∴∠C 1B 1F ＝∠B 1A 1F ∵∠C 1EB 1＝∠B 1F A 1＝90° ∴△B 1C 1E ≌△A 1B 1F （AAS ） ∴C 1E ＝B 1F ∵∠B 1OA 1＝45° ∴∠F A 1O ＝45° ∴A 1F ＝OF
∴C 1E +A 1F ＝B 1F +OF ＝OB 1
S 四边形OA 1B 1C 1=S △OB 1C 1+S △OB 1A 1=1
2
OB 1•C 1E +12
OB 1⋅A 1F =12
OB 1（C 1E +A 1F ）=
12OB 12=12(√3a 2
)2=38a 2， 同理，S 四边形OA 2B 2C 2=12OB 22=12
(√3a
2
⋅2)2=38
a 2⋅22，
S 四边形OA 3B 3C 3=12
OB 32=12
(√3a
2
⋅3)2=38
a 2⋅32，
…，
S 四边形OA n B n C n =12OB n 2=12(√3a 2⋅n)2=3
8a 2⋅n 2=3n 2a 2
8
． 故答案为：
3n 2a 28
．
19．【解答】证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C （等边对等角）， 在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC
∠B =∠C BD =CE
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE（全等三角形对应边相等），
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角）．
六．等腰三角形的性质（共1小题）
20．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，
所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为4．
故选：C．
七．等边三角形的性质（共2小题）
21．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；
故答案为：102°．
22．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD=
AB
tan30°
=
√3
3
=2√3．
故答案为2√3．
八．直角三角形的性质（共1小题） 23．【解答】解：过点C 作CF ∥AB ， ∴∠BCF ＝∠B ＝25°． 又AB ∥DE ， ∴CF ∥DE ．
∴∠FCE ＝∠E ＝90°﹣∠D ＝90°﹣58°＝32°． ∴∠BCE ＝∠BCF +∠FCE ＝25°+32°＝57°．
故选：B ．
九．含30度角的直角三角形（共2小题）
24．【解答】解：在Rt △OA 1B 1中，∵∠OA 1B 1＝90°，∠MON ＝60°，OA 1＝1， ∴A 1B 1＝A 1A 2＝OA 1•tan60°=√3， ∵A 1B 1∥A 2B 2， ∴A 2B 2A 1B 1=OA 2OA 1
，
∴
22√3
=
1+√3
1
， ∴A 2B 2=√3（1+√3），
同法可得，A 3B 3=√3（1+√3）2， …
由此规律可知，A 2020B 2020=√3（1+√3）2019， 故答案为√3（1+√3）2019．
25．【解答】解：∵AD 平分∠BAC ，且DE ⊥AB ，∠C ＝90°， ∴CD ＝DE ＝1，
∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ， ∴∠B ＝∠DAB ，
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，
故答案为：3．
一十．勾股定理的应用（共1小题）26．【解答】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x﹣1）2+52＝x2，
故选：B．
一十一．等腰直角三角形（共2小题）27．【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，
故选：C．
28．【解答】解：过点E作EH⊥BF于H．∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，
∴AD＝AC＝4√2，
∵DF＝FC，AE＝EC，
∴EF=1
2AD＝2√2，EF∥AD，
∴∠FEC＝∠DAC＝90°，∵∠ABC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2√2，
∴EF＝BE＝2√2，
∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，∴∠EAB＝∠EBA＝15°，
∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，∴∠FEB＝90°+30°＝120°，
∴∠EFB＝∠EBF＝30°，
∵EH⊥BF，
∴EH=1
2EF=√2，FH=√3EH=√6，
∴BF＝2FH＝2√6，
∴S△EFB=1
2•BF•EH=
1
2
×2√6×√2=2√3．
故答案为2√3．
一十二．三角形中位线定理（共1小题）29．【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=1
2BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
一十三．三角形综合题（共8小题）30．【解答】解：（1）∵CA＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA，故答案为：∠CGA；
（2）AD=1
2BD，理由是：
如图，在CG上取点M，使GM＝AF，连接AM，EM，∵∠CAG＝∠CGA，AG＝GA，
∴△AGM≌△GAF（SAS），
∴AM＝GF，∠AFG＝∠AMG，
∵GF＝DE，∠AFG＝∠CDE，
∴AM＝DE，∠AMG＝∠CDE，
∴AM∥DE，
∴四边形AMED为平行四边形，
∴AD＝EM，AD∥EM，
∵BE＝CE，即点E为BC中点，
∴ME为△BCD的中位线，
∴AD＝ME=1
2BD，
即AD=1
2BD．
（3）延长BA至点N，使AD＝AN，连接CN，∵∠BAC＝∠NAC＝90°，
∴AC垂直平分DN，
∴CD＝CN，
∴∠ACD＝∠ACN，
设∠ACD＝α＝∠ACN，则∠ABC＝2α，
则∠ANC＝90°﹣α，
∴∠BCN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴BN＝BC，即△BCN为等腰三角形，
设AD＝1，则AN＝1，BD＝2，
∴BC＝BN＝4，AB＝3，
∴AC=√BC2−AB2=√7，
∴
AC AB
=
√73
．
31．【解答】解：（1）∵A （4，4），B （6，0），
∴OA =√42+42=4√2，AB =√(6−4)2+42=2√5． 故答案为4√2，2√5．
（2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，将A （4，4），B （6，0）代入得到，{4k +b =46k +b =0，
解得{k =−2b =12
，
∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +12， 由题意点N 的纵坐标为1， 令y ＝1，则1＝﹣2x +12， ∴x =11
2， ∴N （112，1）．
（3）当0＜t ＜4时，令y ＝t ，代入y ＝﹣2x +12，得到x =12−t
2
， ∴N （
12−t 2
，t ），
∵∠AOB ＝∠AOP ＝45°，∠OPM ＝90°， ∴OP ＝PM ＝t ， ∴MN ＝PN ﹣PM =12−t 2−t =12−3t
2
． 故答案为12−3t 2
．
（4）．如图，当t=4
3时，MN=
12−3×43
2
=4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．
由题意S1•S2=1
2•m×4×
1
2（4﹣m）×4＝﹣4m
2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16．
故答案为16．
32．【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：
∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE=√3BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，{AF=CE ∠A=∠C AB=CB
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF=1
2
×（180°﹣∠FBE）=12×（180°﹣120°）＝30°，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，BH=1
2BE，FH＝EH=√3BH=
√3
2BE，
∴EF＝2EH＝2×√3
2BE=√3BE，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴AE=√3BE+CE；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
由（2）得：FH＝EH=√3
2BE，
∵tan∠DAB=BH
AH
=13，
∴AH＝3BH=3
2BE，
∴CE＝AF＝AH﹣FH=3
2BE−
√3
2BE=
3−√3
2BE，
∴CE
BE =
3−√3
2
；
②当点D在线段CB的延长线上时，
在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：
同①得：FH＝EH=√3
2BE，AH＝3BH=
3
2BE，
∴CE＝AF＝AH+FH=3
2BE+
√3
2BE=
3+√3
2BE，
∴CE
BE =
3+√3
2
；
综上所述，当α＝120°，tan∠DAB=1
3时，
CE
BE
的值为
3−√3
2
或
3+√3
2
．
33．【解答】解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝AE，∠BAE＝∠EAC＝∠C＝45°，
∵∠GEF+∠BAC＝180°，
∴∠AGE+∠AFE＝360°﹣180°＝180°，
∵∠AFE+∠CFE＝180°，
∴∠AGE＝∠CFE，
∵∠GAE＝∠C＝45°，
∴△AEG ≌△CEF （AAS ）， ∴AG ＝CF ； 故答案为：AG ＝CF ；
（2）AG =1
2
CF ， 理由：如图2，连接AE ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°， ∴∠BAC ＝120°， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE ，
∴∠BAE ＝∠B ＝30°， ∴∠CAE ＝90°，∠BAE ＝∠C ， ∵∠GEF +∠BAC ＝180°， ∴∠AGE +∠AFE ＝180°， ∵∠CFE +∠AFE ＝180°， ∴∠AGE ＝∠CFE ， ∴△AGE ∽△CFE ， ∴
AG CF
=
AE CE
，
在Rt △ACE 中，∵∠C ＝30°， ∴AE CE =sin C =12
， ∴
AG CF
=1
2，
∴AG =12CF ；
（3）①当G 在DA 上时，如图3，连接AE ， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ＝3，AE ＝BE ， ∵cos B =BD
BE ，
∴BE =
BD cosB
=3
34
=4， ∴AE ＝BE ＝4， ∴∠BAE ＝∠B ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠C ＝∠BAE ，
∵∠GEF +∠BAC ＝180°，
∴∠AGE +∠AFE ＝360°﹣180°＝180°， ∵∠AFE +∠CFE ＝180°， ∴∠CFE ＝∠AGE ， ∴△CFE ∽△AGE ， ∴
CF AG
=
CE AE
，
过A 作AH ⊥BC 于点H ， ∵cos B =3
4，cos45°=√2
2， ∵3
4＞
√22， ∴∠B ＜45°， ∴E 在H 的左侧， ∵cos B =BH
AB =3
4， ∴BH =3
4AB =3
4×6=9
2， ∵AB ＝AC ， ∴BC ＝2BH ＝9， ∵BE ＝4， ∴CE ＝9﹣4＝5，
∵AG ＝AD ﹣DG ＝3﹣1＝2， ∴
CF 2
=5
4
，
∴CF ＝2.5；
②当点G 在BD 上，如图4，同（1）可得，△CFE ∽△AGE ，
∴
CF AG
=
CE AE
，
∵AG ＝AD +DG ＝3+1＝4， ∴
CF 4
=5
4
，
∴CF ＝5，
综上所述，CF 的长为2.5或5．
34．【解答】（1）证明：①在四边形ADBC 中，∠DAC +∠DBC +∠ADB +∠ACB ＝360°， ∵∠ADB +∠ACB ＝180°， ∴∠DAC +∠DBC ＝180°， ∵∠EAC +∠DAC ＝180°， ∴∠DBC ＝∠EAC ， ∵BD ＝AE ，BC ＝AC ， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）， ∴CD ＝CE ，∠BCD ＝∠ACE ， ∵∠BCD +∠DCA ＝90°， ∴∠ACE +∠DCA ＝90°， ∴∠DCE ＝90°，
∴CD⊥CE；
②∵CD＝CE，CD⊥CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=√2CD，
∵DE＝AD+AE，AE＝BD，
∴DE＝AD+BD，
∴AD+BD=√2CD；
（2）解：AD﹣BD=√2CD；
理由：如图2，在AD上截取AE＝BD，连接CE，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC＝90°﹣∠BAD﹣45°＝45°﹣∠BAD，∵∠CAE＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，
∴∠CBD＝∠CAE，∵BD＝AE，BC＝AC，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠BCE＝90°，
即∠DCE＝90°，
∴DE=√CD2+CE2=√2CD2=√2CD，
∵DE＝AD﹣AE＝AD﹣BD，
∴AD﹣BD=√2CD．
35．【解答】（1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF +∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝∠CDF ；
②作FH ⊥BC 交BC 的延长线于H ， 在△ACD 和△DHF 中， {∠CAD =∠HDF
∠ACD =∠DHF =90°AD =DF
， ∴△ACD ≌△DHF （AAS ） ∴DH ＝AC ， ∵AC ＝CB ， ∴DH ＝CB ，
∴DH ﹣CD ＝CB ﹣CD ，即HG ＝BD ， ∴BD ＝EF ； （2）BD ＝EF ，
理由如下：作FG ⊥BC 交BC 的延长线于G ， ∵∠CAD ＝∠GDF ，∠ACD ＝∠DGF ＝90°， ∴△ACD ∽△DGF ， ∴
DG AC
=
GF CD
=
DF AD
=2，即DG ＝2AC ，GF ＝2CD ，
∵BC ＝2AC ，CE ＝2CD ， ∴BC ＝DG ，GF ＝CE ， ∴BD ＝CG ，
∵GF ∥CE ，GF ＝CE ，∠G ＝90°， ∴四边形FECG 为矩形， ∴CG ＝EF ， ∴BD ＝EF ．
36．【解答】解：（1）当点D 与点C 重合时，CE ∥AB ， 理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝45°，
∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴∠ADE ＝45°， ∴∠CAB ＝∠ADE ， ∴CE ∥AB ；
（2）当点D 与点C 不重合时，（1）的结论仍然成立， 理由如下：在AC 上截取AF ＝CD ，连接EF ， ∵∠AED ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EAF ＝∠EDC ， 在△EAF 和△EDC 中， {AE =ED
∠EAF =∠EDC AF =DC
， ∴△EAF ≌△EDC （SAS ）， ∴EF ＝EC ，∠AEF ＝∠DEC ， ∵∠AED ＝90°， ∴∠FEC ＝90°， ∴∠ECA ＝45°， ∴∠ECA ＝∠CAB ， ∴CE ∥AB ；
（3）如图②，∠EAC ＝15°， ∴∠CAD ＝30°，
∴AD ＝2CD ，AC =√3CD ，
∴FC ＝（√3−1）CD ， ∵△CEF 为等腰直角三角形， ∴EC =
√2
2
FC =
√6−√2
2
CD ，
∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB =√2AC =√6CD ，
∴CE AB
=
√6−√22
√6
=
3−√3
6
， 如图③，∠EAC ＝15°，
由（2）得，∠EDC ＝∠EAC ＝15°， ∴∠ADC ＝30°，
∴CD =√3AC ，AB =√2AC ， 延长AC 至G ，使AG ＝CD ，
∴CG ＝AG ﹣AC ＝DC ﹣AC =√3AC ﹣AC ， 在△EAG 和△EDC 中， {AG =DC
∠EAG =∠EDC AE =DE
， ∴△EAG ≌△EDC （SAS ）， ∴EG ＝EC ，∠AEG ＝∠DEC ， ∴∠CEG ＝90°，
∴△CEG 为等腰直角三角形， ∴EC =√2
2CG =√6−√2
2
AC ，
∴
CE AB
=
√3−1
2
， 综上所述，当∠EAC ＝15°时，CE
AB 的值为3−√36或√3−1
2
．
37．【解答】（1）解：∵CD ∥AB ，∴∠C ＝∠B ， 在△ABP 和△DCP 中， {BP =CP
∠APB =∠DPC ∠B =∠C
， ∴△ABP ≌△DCP （AAS ）， ∴DC ＝AB ． ∵AB ＝200米． ∴CD ＝200米， 故答案为：200．
（2）①PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知∴△FBP ≌△EDP （AAS ）， ∴PF ＝PE ，BF ＝DE ， 又∵AC ＝BC ，AE ＝DE ， ∴FC ＝EC ， 又∵∠ACB ＝90°，
∴△EFC 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ，
∴PC ＝PE ，PC ⊥PE ．
②PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC ＝PE ，PC ⊥PE ．
理由如下：如解图2，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同①理，可知△FBP ≌△EDP （AAS ）， ∴BF ＝DE ，PE ＝PF =1
2EF ， ∵DE ＝AE ，
∴BF ＝AE ，
∵当α＝90°时，∠EAC ＝90°， ∴ED ∥AC ，EA ∥BC ∵FB ∥AC ，∠FBC ＝90， ∴∠CBF ＝∠CAE ， 在△FBC 和△EAC 中， {BF =AE
∠CBF =∠CAE BC =AC
， ∴△FBC ≌△EAC （SAS ）， ∴CF ＝CE ，∠FCB ＝∠ECA ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠FCE ＝90°，
∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP ＝FP ，
∴CP ⊥EP ，CP ＝EP =1
2EF ．
③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE ＝150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC ＝∠EAC ＝α＝150° 同②可得△FBP ≌△EDP （AAS ），
同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP ＝EP =√2
2CE ， 在Rt △AHE 中，∠EAH ＝30°，AE ＝DE ＝1， ∴HE =12，AH =√3
2， 又∵AC ＝BC ＝3， ∴CH ＝3+√3
2，
∴EC 2＝CH 2+HE 2=10+3√3 ∴PC 2=1
2EC 2=
10+3√3
2
．。