河北省邢台市第八中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题(含解析)

河北省邢台市第八中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考
试题（含解析）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若0a b <<，则下列不等式错误的
是（ ） A.
11a b
> B.
11
a b a
>- C. a b >
D.
22a b >
【答案】B 【解析】 【分析】
利用不等式的基本性质即可得出. 【详解】∵0a b <<，∴
11
a b
>，故A 对； ∵0a b <<，∴0b <-，0a a b <-<，∴
11a a b
>-，故B 错； ∵0a b <<，∴0a b ->->，即||||a b ->-，∴||||a b >，故C 对；
∵0a b <<，∴0a b ->->，∴2
2
()()a b ->-，即22a b >，故D 对； 故选B ．
【点睛】该题考查不等式的性质，属于简单题目.
2.不等式(2)(1)0x x +->的解集为 （ ） A. {}
|21x x x -或 B. {}|21x x -<< C. {}
|12x x x -或 D. {}|12x x -<<
【答案】A 【解析】
分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集． 解答：解：不等式（x-1）（x+2）＞0，
可化为：x 10{x 20-+＞＞或x 10{x 20
-+＜＜， 解得：x ＞1或x ＜-2，
则原不等式的解集为{}
|21x x x -或． 故选A ．
3.在下列不等式中，解集为空集的是（ ） A. 221x x -≥- B. 2440x x ++≤ C. 2440x x --< D. 22320x x -+->
【答案】D 【解析】 【分析】
由二次不等式的解法，逐一求解即可.
【详解】解：对于选项A ，221x x -≥-可变为2
2
21(1)0x x x +=-≥-，其解集为R, 对于选项B ，2440x x ++≤，其解集为}{
2-，
对于选项C ，2440x x --<
，其解集为{
|22x x x ---+， 对于选项D ，22320x x -+->，其解集为φ， 故选D.
【点睛】本题考查了二次不等式解法，属基础题.
4.已知实数x ，y 满足约束条件2
26x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则24z x y =+的最大值为（ ）
A. 24
B. 20
C. 16
D. 12
【答案】B 【解析】
【详解】
画出可行域如图所示，z 为目标函数24z x y =+，可看成是直线24z x y =+的纵截距四倍，
画直线240x y +=，平移直线过()2,4A 点时z 有最大值20，故选B.
考点：简单线性规划
5.下列不等式的证明过程正确的是（ ）． A. 若a ，b ∈R ，则
22b a b a a b a b
+≥⋅= B. 若x ，y R +
∈，则lg lg 2lg lg x y x y +≥C. 若x 为负实数，则44
4x x x x
+
≥-⋅=- D. 若x 为负实数，则222222x x x x --+≥⋅= 【答案】D 【解析】
对于A ：a ，b∈R，不满足条件，
对于B ，x ，y∈R +，lgx ，lgy 与0的关系无法确定， 对于C ：x 为负实数则4x x +()44
24x x x x
⎛⎫--+≤--⋅
=- ⎪--⎝⎭
，故错误， 对于D ：正确， 故选D.
6.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（ ） A. 12倍
B. 2倍
倍 D. 22倍
【答案】C 【解析】 【分析】
由斜二测画法可得：其直观图的底长度不变，高变为原三角形的高的4
倍， 运算即可得解.
【详解】解：以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y 轴，则长度减半，则直观图三角形的高为原来的
1sin 452o
故其直观图的面积是原三角形面积的4
倍， 故选C.
【点睛】本题考查了斜二测画法，属基础题.
7.圆锥的高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的
1
2
，则圆锥的体积（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的
12
C. 缩小为原来的
16
D. 不变
【答案】B 【解析】 【分析】
设变化前圆锥的高为h ，半径为r ，变化后，高为2h ，半径为1
2
r ，利用锥体体积公式计算出体积与原体积对比即可得到结果。

【详解】圆锥的体积211
33V Sh r h π=
=，高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的12
，
则其体积变为2
21112326
V r h r h ππ'⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，故体积缩小为原来的12. 【点睛】本题考查锥体体积公式的应用。

8.三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A. 1倍 B. 2倍 C.
9
5
倍 D.
74
倍 【答案】C 【解析】 【分析】
利用三个球的体积之比等于半径比的立方，即可得出答案． 【详解】设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ， 所以各球的表面积分别为4πr 2
，16πr 2
，36πr 2
， 所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：
2
2236416r r r πππ+=95
．
故选：C ．
【点睛】本题考查学生对于球的体积公式的应用，属于基础题．
9.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )
A. 24
B. 80
C. 64
D. 240
【答案】B 【解析】
【详解】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是边长为8和6的长方形，
棱锥的高是5，∴由棱锥的体积公式得
1
86580
3
V=⨯⨯⨯=，故选B
10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A. 12πcm2
B. 15πcm2
C. 24πcm2
D. 36πcm2【答案】C
【解析】
【分析】
由该几何体的三视图，我们易得到该几何体为圆锥，且该圆锥的底面直径为6，圆锥的母线长为5，由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积，进而得到该几何体的表面积．
【详解】由几何体的三视图，我们可得：
底面直径为6，底面半径为3
圆锥的母线长为5，
故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π
故选：C．
【点睛】由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
11.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3正方形，EF∥AB，EF＝3
2
，平
面FBC⊥平面ABCD，且EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A.
92
B. 5
C. 6
D.
152
【答案】D 【解析】
【详解】
取AB 中点G,CD 中点H,连结GE 、GH 、EH,
∴在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为3的正方形,
3
//2
EF AB EF =
，,且点E 到平面ABCD 的距离为2, ∴该多面体的体积:
ABCDEF BCF GHE E AGHD V V V --=+ 1
23
BCF AGHD S EF S ∆=⨯+⨯矩形
131315323222322
=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 故选D.
取AB 中点G,CD 中点H,连结GE 、GH 、EH,该多面体体积ABCDEF BCF GHE E AGHD V V V --=+,由此能求出结果.
12.如图:直三棱柱ABC A B C '''-的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA '和CC '上，
AP C Q ='，则四棱锥B —APQC 的体积为( )
A.
2
V B.
3
V C.
4
V D.
5
V 【答案】B 【解析】
根据题意可知利用相似的性质，以及直三棱柱的性质可知，四棱锥B —APQC 的体积为3
V ，选B
二、填空题。

13.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体 (填”大于、小于或等于”). 【答案】小于 【解析】 【分析】
由题意，通过体积求出球的表面积，求出正方体的表面积，比较大小即可． 【详解】S 正方体＝62
3
V ，S 球23344V ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵23
34 4.8359764ππ⎛⎫≈ ⎪
⎝⎭
＜
所以：S 球小于S 正方体 故答案为：S 球小于S 正方体
【点睛】本题考查球的体积正方体的表面积等知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题．
14.比较大小：()()23x x -+______27x x +-（填入“>”，“<”，“=”之一）. 【答案】>
【解析】 【分析】
将()()23x x -+，27x x +-作差比较大小即可得解. 【详解】解：()()2
23(7)10x x x x -+-+-=>
故()()2
23(7)x x x x -+>+-
【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，属基础题.
15.用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米. 【答案】25 【解析】 【分析】
可设矩形的长和宽为x 、y ，x>0,y>0,求解的是xy 的最大值，利用均值不等式即可解得. 【详解】设矩形的长和宽为小x 、y ，x>0,y>0 因为绳长为20米，则x+y=10
所以2
252x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
当且仅当x=y=5时等号成立. 则围成最大矩形的面积是25平方米
【点睛】本题考查均值不等式求解最值的问题，属于基础题，应用均值不等式，需要注意：一正二定三相等.
16.设,x y 都是正数，
且191x y
+=,则x y +的最小值为________.
【答案】16 【解析】
试题分析：使用基本不等式时，要注意“一正，二定，三相等”，否则就不成立．另外注意使用含绝对值不等式性质的应用． 详解：
x+y=（x+y ）×1=（x+y ）×（19x y +）=1+9+y 9x x y + ≥10+2y 9·x x y
=10+2×3=16，当且仅当
3y
x
=时取等号，故（x+y ）min =16， 点睛：本题考查了基本不等式及含绝对值不等式性质的应用，熟练掌握以上知识（特别是等号成立的条件）是解决问题的关键．本题还考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
三、解答题。

17.已知圆台的上、下底面半径分别是2 ,5 , 且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. 【答案】
297
【解析】
【详解】设圆台的母线长为l ,
则圆台的上底面面积为2
24S ππ=⋅=上, 圆台的下底面面积为2
525S ππ=⋅=下, 所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上, 又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧, 于是729l ππ=, 即29
7
l =
为所求. 主要考查圆台上下底面，侧面面积公式的计算.
18.在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为
的圆柱，求圆柱的表面积．
【答案】．
【解析】
试题分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．
解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，
则圆柱的上底面为中截面，可得r=1
∴2，
∴．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
19.如图所示(单位:cm),四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
【答案】表面积68π，体积
1403
π 【解析】 试题分析:该几何体为一个圆台去掉一个半球，分别求圆台侧面机和半球表面积及圆台下底面积，其和即为所求.
试题解析：
12S 球＝12
×4π×22＝8π(cm 2)，
S 圆台侧＝π(2＋()35cm π=，
S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．
点睛：本题考查了旋转体的生成以，旋转体表面积、体积，以及空间想象力，属于中档题.解决本类问题时，首先要作出旋转体的直观图，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据，这类问题对空间想象力，转化能力及计算能力都有较高的要求，需要特别强化训练注意总结解题规律.
20.已知函数()2
6f x x ax =++. （Ⅰ）当5a =时，求不等式()0f x <的解集；
（Ⅱ）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) {}
32x x -<<- (2) a -<<【解析】
试题分析：（1）将参数值代入得到二次不等式，因式分解求解即可；（2）将式子配方得到对称轴和最小值，使得最小值大于0即可。

.
解析：
（Ⅰ）当5a =时，2560x x ++<
即()()230x x ++<，
所以()0f x <的解集是{}
32x x -<<- （Ⅱ）()22624a a f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭ 因为不等式()0f x >的解集为R ，所以2
604
a ->，
即实数a 的取值范围是a -<<
21.解不等式()21100x a x a a ⎛
⎫-++<≠ ⎪⎝⎭
. 【答案】1x
x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
【解析】
【分析】 此不等式可以分解为：()10x a x a ⎛⎫--
< ⎪⎝⎭
，故对应的方程必有两解，本题只需讨论两根的大小即可. 【详解】解：原不等式可化为：()10x a x a ⎛
⎫--< ⎪⎝⎭，令1a a
=，可得：1a =±， ∴当1a <-或01a <<时，1a a <，故原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1a =或1a =-时，1a a
=，可得其解集为φ； 当10a -<<或1a >时，1a a >，解集为1x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】本题考查了含参不等式的解法，属中档题.
22. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．
（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最
大？
（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的
长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【答案】（1）每间虎笼的长4.5m ，宽3m 时，可使每间虎笼面积最大；（2）每间虎笼的长6m ，宽4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
【解析】
试题分析：（1）设每间虎笼长xm ，宽为ym ，得到2318x y +=，设每间虎笼面积为S ，得到S xy =，利用基本不等式，即可求解结论；（2）依题知24S xy ==，设钢筋网总长为l ，则46l x y =+，即可利用基本不等式求解结论．
试题解析：（1）设每间虎笼长xm ，宽为ym ，∴则由条件知4636x y +=，即2318x y +=， 设每间虎笼面积为S ，则S xy =， 由于2322?3x y x y +≥23x y =时，等号成立，即272
S ≤ 由2318{23x y x y +==，∴ 4.5{3x y ==， ∴每间虎笼的长4.5m ，宽3m 时，可使每间虎笼面积最大； （2）依题知24S xy ==，设钢筋网总长为l ，则46l x y =+， ∴2322?324x y x y +≥=当且仅当23x y =时，等号成立， ∴4648l x y =+≥， 由24{23xy x y ==，∴6{4x y ==，每间虎笼的长6m ，宽4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小． 考点：基本不等式的应用．。